高三数学考试参考答案（理科）
1.C【解析】本题考查集合的运算，考查数学运算的核心素养.
因为B={x-受≤x≤2AnB={x-1≤x≤1，所以-号=-1，解得a=2.
2.A【解析】本题考查复数的四则运算，考查数学运算的核心素养
设x=a十bi,a,b∈R,因为一(x十x)十2(x-)=一4一4i,所以一2a十4bi=一4一4i,解得a=2,b=一1，则x=
2-i.
3.B【解析】本题考查函数的图象和性质，考查逻辑推理与直观想象的核心素养。
因为-)=osx…h行是-x,所以八x)是奇函数，排除A,D.当xE0,受)时，os>0,n
元一x
>0,所以f(x)>0,排除C,故选B.
4,C【解析】本题考查等比数列的通项公式及求和公式，考查数学运算的核心素养。
设公比为g,由题设知4-g2=90,即4024十2=90.又a11-)=36,所以6=0.解
1-9
1-9
得g=2或g=-3(含去)，所以a=48,从而a,=3.
5.B【解析】本题考查统计的知识，考查数据分析与数学运算的核心素养.
设女生身高频率分布直方图中的组距为△x,由(a十1.5a十2a十2.5a十3a)△x=1,得a△x=0.1,所以女生身
高频率分布直方图中A层次频率为20%，B层次频率为30%，C层次频率为25%，D层次频率为15%，E层
次频率为10%.因为男、女生样本数未知，所以A层次中男、女生人数不能比较，即选项A错误：同理，D层次
女生在女生样本数中频率与E层次男生在男生样本数中频率相等，都是15%，但因男、女生人数未知，所以
在整个样本中频率不一定相等，即C错误；设女生人数为n,男生人数为1000一n,但因男、女生人数可能不相
等，则B层次的学生数为0.3n十0.25×(1000一n)=0.05m十250，C层次的学生数为0.25n十0.3×(1000一
)=300一0.05i,因为i不确定，所以0.051十250与300一0.05n可能不相等，即D错误：女生A,B两个层
次的频率之和为50%，所以女生的样本身高中位数为B,C层次的分界点，男生A,B两个层次的频率之和为
35%,显然中位数落在C层次内，所以样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大，B正确
6.A【解析】本题考查函数的性质，考查逻辑推理的核心素养
因为-)=x),所以x)是偶函数，当>0时)=年。-4是增函数又因为)=2所
以f(2x-3)<2可化为2x-3|<1,解得17,D【解析】本题考查三视图，考查直观想象与数学运算的核心素养，
如图，这是所求多面体的直观图，它可以看成由直三棱柱与四棱锥组合而成，所以体积
V=(2×2×3)×2+号×(2×2)X3=10.
8.C【解析】本题考查三角函数的性质，考查数学运算与直观想象的核心素养.
由题意，g(x)=sin受(x一吾)+看]=i血（受x+石一管，因为y=g(x)为奇函数，所以百一管-kr(∈
Z),解得w=2一12k(k∈Z),又w>0,所以当k=0时，w取得最小值2.
9.B【解析】本题考查三棱锥中线面角的正弦值的计算，考查直观想象与数学建模的核心素养，
设AB=BC=2,CD的中点为E,连接AE,BE(图略)，易知∠BAE是直线AB与平面ACD所成的角，因为
AB⊥BE,所以sin∠BAE=B=2
√22+37
10.D【解析】本题考查排列组合的知识，考查数学抽象与数学建模的核心素养
先选出2名志愿者安排到A社区，再把剩下的4名志愿者分成两组，分配到其他两个社区，则不同的安排方
法共有C(CC+C)N=210种
【高三数学·参考答案第1页（共6页）理科】
1003C靖远县2022-2023学年高三上学期9月开学考试数学考试(理科)
（考试时间：120分钟 试卷满分：150分）
一、选择题:本大题共12小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.
1. 设集合, 且, 则
A. 1 B. -1 C. 2 D. -2
2. 设, 则
A. B. C. D.
3. 函数在上的图象大致为
4. 设正项等比数列的前4项和为90, 且, 则
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
5. 某市教育局为得到高三年级学生身高的数据, 对高三年级学生进行抽样调查, 随机抽取了1000 名学生,他们的身高都在五个层次内,分男、女生统计得到以下样本分布统计图, 则下列叙述正确的是
A. 样本中层次的女生比相应层次的男生人数多
B. 估计样本中男生身高的中位数比女生身高的中位数大
C. 层次的女生和层次的男生在整个样本中频率相等
D. 样本中层次的学生数和层次的学生数一样多
6. 已知函数, 则不等式的解集是
A. B. C. D.
7. 如图,网格纸上绘制的是一个多面体的三视图,网格小正方形的边长为 1 , 则该多面体的体积为
A.
B. 8
C.
D. 10
8. 将函数图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍, 再向右平移个单位长度, 得到函数的图象, 若为奇函数, 则的最小值为
A. 4 B. 3 C. 2 D. 1
9. 已知三棱锥的底面是正三角形, 平面, 且, 则直线与平面所成角的正弦值为
A. B. C. D.
10. 6名志愿者要到三个社区进行志愿服务, 每个志愿者只去一个社区, 每个社区至少安排1名志愿者, 若要2名志愿者去社区, 则不同的安排方法共有
A. 105 种 B. 144 种 C. 150 种 D. 210 种
11. 已知双曲线的左、右焦点分别是, 过右焦点且不与轴垂直的直线交的右支于两点, 若, 且, 则的离心率为
A. B. C. D.
12. 已知，若对任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是
A. B. C. D.
二、填空题: 本大题共 4 小题,每小题 5 分, 共 20 分. 把答案填在答题卡中的横线上.
13. 设是等差数列, 且, 则_____.
14. 已知向量满足, 且, 则_____.
15. 已知抛物线的焦点是是的准线上一点, 线段与交于点, 与轴交于点, 且(为原点), 则的方程为_____.
16. “康威圆定理”是英国数学家约翰康威引以为豪的研究成果之一. 定理的内容如下: 如图, 的三条边长分别为. 延长线段至点, 使得, 延长线段至点, 使得, 以此类推得到点, 那么这六个点共圆, 这个圆称为康威 圆. 已知, 则由生成的康威圆的半径为_____.
三、解答题: 共 70 分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 第题为必考题,每个 试题考生都必须作答. 第 22 、23 题为选考题, 考生根据要求作答.
(一)必考题:共 60 分.
17. (12 分)
的内角的对边分别是, 且.
(1)求;
(2) 若的面积为, 且, 求的周长.
18. (12 分)
第 24 届冬季奥林匹克运动会于 2022 年 2 月 4 日至 20 日在北京和张家口举行, 而北京也成为全球唯一主办过夏季奥运会和冬季奥运会的双奥之城. 某学校为了庆祝北京冬奥会的召开, 特举行奥运知识竞赛. 参加的学生从夏奥知识题中抽取 2 题, 冬奥知识题中抽取 1 题回答, 已知学生 (含甲) 答对每道夏奥知识题的概率为, 答对每道冬奥知识题的概率为, 每题答对与否不影响后续答题.
(1)学生甲恰好答对两题的概率是多少
(2) 求学生甲答对的题数的分布列和数学期望.
19. (12 分)
在四棱锥中, 点是棱上一点, .
(1)证明: 平面.
(2) 若, 求二面角的正弦值.
20. (12 分)
已知椭圆的右顶点是, 离心率为.
(1)求椭圆的标准方程.
(2) 过点作直线与椭圆交于不同的两点, 点关于轴的对称点为, 问直线是否过定点 若是, 求出该定点的坐标; 若不是, 请说明理由.
21. (12 分)
已知函数有两个零点.
(1) 求的取值范围;
(2)证明: .
(二)选考题:共 10 分.请考生在第 22 、23 题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题计分.
22. [选修 4-4:坐标系与参数方程] (10 分)
在直角坐标系中，曲线的参数方程为，（为参数），以坐标原点为极点,轴正半轴为极轴建立极坐标系, 已知直线的极坐标方程为.
(1) 求曲线的普通方程与直线的直角坐标方程;
(2) 若直线过点且与直线平行, 直线交曲线于两点, 求的值.
23. [选修 4-5:不等式选讲] (10 分)
已知均为正数, 且, 证明:
(1) ;
(2) .
