第一章空间向量与立体几何章末模拟测试（答案）
单项选择题：
1—5 A C A D C 6—8 D B D
多项选择题：
9 AC 10 ABD 11 BCD 12 BD
填空题：
13.
14.或
15.
16.
解答题：
17．解：（1）由已知可得，，
．
（2），，
，存在实数使得，
，，，联立解得．
（3），，
即，解得．
18．解：(1)证明：取PD的中点G，连接CG，EG，
因为E，F分别为PA，BC的中点，所以，
又底面ABCD为菱形，所以，所以，
所以四边形EGCF为平行四边形，所以
又平面PCD．平面PCD，所以EF//平面PCD．
(2)解：连接，
因为PD⊥平面ABCD，平面ABCD，所以，
因为四边形ABCD为菱形，，所以为等边三角形，
因为F为BC的中点，所以，
因为∥，所以，所以两两垂直，
所以以D为坐标原点建立如图所示的空间直角坐标系D—xyz．
因为，所以D（0，0，0），F(，0，0），A（0，2，0），E（0，1，2），
则．
设平面DEF的法向量，则
，令，得．
设直线AF与平面DEF所成的角为θ，
则，
所以直线AF与平面DEF所成角的正弦值为
19.解：(1)证明：如图，取AB的中点O，连接CO，PO，AC．
因为四边形ABCD为菱形，所以AB＝BC＝AD＝CD.
由∠ABC＝60°，知△ABC为等边三角形．
因为O为AB的中点，所以CO⊥AB，由勾股定理得CO＝.
因为PA⊥PB，PA＝PB，所以PO⊥AB，且PO＝AB＝1.
由PO2＋CO2＝PC2得CO⊥OP，
又PO⊥AB，OC∩AB＝O，所以PO⊥平面ABCD，
因为PO 平面PAB，所以平面ABCD⊥平面PAB.
(2)以O为原点，，，的方向分别为x轴，y轴，z轴的正方向，建立空间直角坐标系，
则A(0，－1，0)，B(0，1，0)，C(，0，0)，D(，－2，0)，P(0，0，1)，H.
从而＝，＝(0，2，0)，＝(，－1，0)．
设平面DCH的法向量为n1＝(x1，y1，z1)，由n1⊥，n1⊥，得取n1＝(1，0，2)．
设平面BCH的法向量为n2＝(x2，y2，z2)，由n2⊥，n2⊥，得取n2＝(1，，3)．
设所求二面角为θ，则|cos θ|＝|cos〈n1，n2〉|＝＝＝＝.
因为θ是钝角，所以所求二面角的余弦值为－
20.
；（2）①；②
21.解：（1）因平面ABCD，平面ABCD
所以，，，因为，故以A为坐标原点，所在直线为x轴，y轴，z轴建立空间直角坐标系，因为过点C作CE⊥AD于点E，则CE=AB=2，AE=BC=1，因为，所以DE=CE=2，故，，，，，，设异面直线PC与AD所成角为，所以，异面直线PC与AD所成角的余弦值为.
（2），，设平面PCD的法向量为，则，即，令，解得：，，故，设点A到平面PCD的距离为，则
22．解：（1）在三棱锥中，连接，，
因为是以为斜边的等腰直角三角形，，为中点，
所以，，
又平面平面，平面平面，平面，
∴平面，
又平面，∴，∴，，两两垂直．
∴，
又，
∴，
∴点到平面的距离为．
（2）与平面所成角的正弦值的取值范围为．
以选条件①为例（亦可使用综合法、综合与向量混用法）
在三棱锥中，以为坐标原点，为正交基底，
建立空间直角坐标系，
则，，，，，
设，则，，，
，，
设平面的法向量为，则，
即，即，
不妨令，则；
同理可求得平面的法向量，
（选条件①）因为平面，平面，
∴，即，
即，∴，
又，∴，∴，
又平面，∴是平面的一个法向量，
设直线与平面所成角为，
则，
令，，，
∴，
令，则，
∴在上单调递增，
∴，∴，∴，
∴直线与平面所成角的正弦值的取值范围为．第一章空间向量与立体几何章末模拟测试
一、单项选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1．已知空间向量，，且与垂直，则等于（ ）
A．4 B．1 C．3 D．2
2.点到原点的距离为（ ）
A. 1 B. 3 C. 5 D. 9
3已知正四面体的棱长为1，点、分别是、中点，则 ）
A． B． C． D．
4. 如图，在三棱锥S—ABC中，点E，F分别是SA，BC的中点，点G在棱EF上，且满足，若，，，则（ ）
A. B.
C. D.
5.设点，，，若，则点的坐标为（ ）
A． B． C． D．
6.在正方体中，点，分别是面对角线与的中点，若，，，则（ ）
A． B． C． D．
7.已知正方形ABCD的边长为4，CG⊥平面ABCD，CG=2，E、F分别是AB、AD的中点，则点B到平面GEF的距离为（ ）
8．如图，在三棱锥中，，，，点在平面内，且，设异面直线与所成的角为，则的最大值为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题（共4小题，每小题5分，在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分）
9．在正方体中，设，，，构成空间的一个基底，则下列向量不共面的是（ ）
A．，， B．，，
C．，， D．，，
10.下列说法不正确的是（ ）
A．若直线l的方向向量与平面α的法向量的夹角等于150°，则直线l与平面α所成的角等于30°
B．两条异面直线的夹角等于它们的方向向量的夹角
C．二面角的大小范围是
D．二面角的大小等于其两个半平面的法向量的夹角的大小
11．设是空间的一个基底，若，，．给出下列向量组可以作为空间的基底的是（ ）
A． B． C． D．
12.在正三棱柱中，，点满足，其中，，则（ ）
A. 当时，的周长为定值
B. 当时，三棱锥的体积为定值
C. 当时，有且仅有一个点，使得
D. 当时，有且仅有一个点，使得平面
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分
13.空间两点，间的距离是______ ，A关于平面的对称点坐标为_________．
14．在△ABC中，，，．若向量与平面ABC垂直，且，则的坐标为___________．
15.如图，在直三棱柱中，，，点 分别是 的中点，点是上的动点．若，则线段长度为__________．
三棱柱的侧棱与底面垂直，，，是的中点，点在上，且满足，当直线与平面所成的角取最大值时，的值为 .
解答题：本大题共6个大题，共70分，解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17．已知，．
（1）若，求的值；
（2）若，求实数的值；
（3）若，求实数的值．
18．如图，在四棱锥P—ABCD中，底面ABCD为菱形，E，F分别为PA，BC的中点．
(1)证明：EF∥平面PCD
(2)若PD⊥平面ABCD，，且，求直线AF与平面DEF所成角的正弦值．
19.、如图，在四棱锥P ABCD中，底面ABCD是边长为2的菱形，∠ABC＝60°，PA⊥PB，PA＝PB，PC＝2.
(1)证明：平面PAB⊥平面ABCD；
(2)若H为PA的中点，求二面角D CH B的余弦值．
20.如图，已知正方形的边长为，为两条对角线的交点，如图所示，将Rt△BED沿BD所在的直线折起，使得点E移至点C，满足．
（1）求四面体的体积；
（2）请计算：
①直线与所成角的大小；
②直线与平面所成的角的正弦．
21.如图.在四棱锥P-ABCD中，平面ABCD，且，.
（1）求异面直线PC与AD所成角的余弦；
（2）求点A到平面PCD的距离.
22．在①平面，②平面平面，③这三个条件中任选一个，补充在下面的问题中，并解决该问题．
问题：如图，在三棱锥中，平面平面，是以为斜边的等腰直角三角形，，，为中点，为内的动点（含边界）．
（1）求点到平面的距离；
（2）若__________，求直线与平面所成角的正弦值的取值范围．
