重庆市万州区2022-2023学年高二上学期9月开学考试（数学）
一、单项选择题（共8小题，每小题5分，共40分）.
1．已知复数z满足（z﹣1）i＝1+i，则复数z在复平面内对应的点位于（ ）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
2. 已知向量满足，则（ ）
A. B. C. 1 D. 2
3.某社区通过公益讲座以普及社区居民的垃圾分类知识．为了解讲座效果，随机抽取10位社区居民，让他们在讲座前和讲座后各回答一份垃圾分类知识问卷，这10位社区居民在讲座前和讲座后问卷答题的正确率如下图：
则（ ）
A. 讲座前问卷答题的正确率的中位数小于
B. 讲座后问卷答题的正确率的平均数大于
C. 讲座前问卷答题的正确率的标准差小于讲座后正确率的标准差
D. 讲座后问卷答题的正确率的极差大于讲座前正确率的极差
4．一个电路如图所示，A，B，C，D，E，F为6个开关，其闭合的概率为，且是相互独立的，则灯亮的概率是( )
A． B． C． D．
5．在△ABC中，AB＝3，BC＝4，∠ABC＝120°，若把△ABC绕直线AB旋转一周，则所形成的几何体的体积是（ ）
A．11π B．12π C．13π D．14π
6．甲、乙两支田径队的体检结果为：甲队体重的平均数为60kg，方差为200，乙队体重的平均数为70kg，方差为300，又已知甲、乙两队的队员人数之比为1：4，那么甲、乙两队全部队员的平均体重和方差分别是（ ）
A．65，280 B．68，280 C．65，296 D．68，296
7.沈括的《梦溪笔谈》是中国古代科技史上的杰作，其中收录了计算圆弧长度的“会圆术”，如图，是以O为圆心，OA为半径的圆弧，C是的AB中点，D在上，．“会圆术”给出的弧长的近似值s的计算公式：．当时，（ ）
A. B. C. D.
8．在锐角中，角A，B，C所对的边为a，b，c，若，且，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
二、多项选择题：本题共4小题，每小题5分，共20分。在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得5分，部分选对的对2分，有选错的得0分。
9. 若复数，则下列正确的是（ ）
A. 当或时，z为实数
B. 若z为纯虚数，则或
C. 若复数z对应的点位于第二象限，则
D. 若复数z对应的点位于直线上，则
10. 在中，内角，，所对的边分别为，，，已知，，且，则有（ ）
A. B. C. D.
11．△ABC中，A＝，AB＝AC＝2，则下列结论中正确的是（ ）
A．若G为△ABC的重心，则
B．若P为BC边上的一个动点，则为定值4
C．若M、N为BC边上的两个动点，且的最小值为
D．已知Q是△ABC内部（含边界）一点，若AQ＝1，且，则λ+μ的最大值是1
12．已知三棱锥P﹣ABC的每个顶点都在球O的球面上，AB＝BC＝2，PA＝PC＝，AB⊥BC，过B作平面ABC的垂线BQ，且BQ＝AB，PQ＝3，P与Q都在平面ABC的同侧，则（ ）
A．三棱锥P﹣ABC的体积为 B．PA⊥AB
C．PC∥BQ D．球O的表面积为9π
三、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.
13、若，则_____
14.从2至8的7个整数中随机取2个不同的数，则这2个数互质的概率为（ ）
15.我国南宋著名数学家秦九韶，发现了从三角形三边求面积的公式，他把这种方法称为“三斜求积”，它填补了我国传统数学的一个空白．如果把这个方法写成公式，就是，其中a，b，c是三角形的三边，S是三角形的面积．设某三角形的三边，则该三角形的面积___________．
16.在中，．P为所在平面内的动点，且，则的取值范围是（ ）
四、解答题：本题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.
17．（本题满分10分）在△ABC中，角A，B，C对应的边分别是a，b，c，已知，
（1）求A的值；
（2）若b＝3，求△ABC外接圆的面积．
18．（本题满分12分）为响应十九大报告中提出的“绿水青山就是金山银山”的号召，某市旅游局投入若干经费对全市各旅游景区的环境进行综合治理，并且对各旅游景区收益的增加值做了初步的估计，根据旅游局的治理规划方案，针对各旅游景区在治理后收益的增加值绘制出如下频率分布直方图，由于版式设置不当导致打印时图中横轴的数据丢失，但可以确实横轴是从0开始计数的．
（1）利用频率分布直方图估算收益增加值的第90百分位数；
（2）利用频率分布直方图估算全市旅游景区收益增加值的平均数和方差s2（以各组的区间中点值代表该组的取值）．
19．（本题满分12分）在一次猜灯谜活动中，共有20道灯谜，两名同学独立竞猜，甲同学猜对了12个，乙同学猜对了8个，假设猜对每道灯谜都是等可能的，试求：
（1）任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率；
（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率．
20、（本题满分12分）如图，已知和都是直角梯形，，，，，，，二面角的平面角为．设M，N分别为的中点．
（1）证明：；
（2）求直线与平面所成角的正弦值．
21．（本题满分12分）在中，，，，D、E分别是AC、AB上的点，满足且DE经过的重心，将沿DE折起到的位置，使，M是的中点，如图所示.
(1)求证：平面BCDE；
(2)求CM与平面所成角的大小；
(3)在线段上是否存在点N（N不与端点、B重合），使平面CMN与平面DEN垂直 若存在，求出与BN的比值；若不存在，请说明理由.高 2021级高二上入学考试试题（数学）参考答案
一、单项选择题
DCB BBD BD
二、多项选择题
AC BC BC ABD
三、填空题
2
13. 1 3 i 14. 15. 23 16.
3 3 3 4 [ 4,6]
四、解答题：
17、解：（1）因为 ，
所以由正弦定理可得 ，即 tanA＝ ，
因为 A∈（0，π），
所以 A＝ ． ………………5分
（2）因为 b＝3，c＝ ＝2，A＝ ，
所以由余弦定理可得 a＝ ＝ ＝ ，
所以△ABC外接圆的半径 R＝ ＝ ＝ ，可得△ABC外接圆的面积 S＝πR2＝ ．
………………10分
18、解：（1）设组距为 a，
则有（0.08+0.10+0.14+0.12+0.04+0.02）×a＝1，解得 a＝2，
所以横轴的数据依次为 0，2，4，6，8，10，12，
因为 10～12所占频率为 2×0.02＝0.04，
8～10所占频率为 2×0.04＝0.08，
故 8～12所占频率为 0.12＞0.10，故第 90百分位数在[8，10]之间，即为 10﹣ ；
………………6分
（2）由频率分布直方图可得， ＝（1×0.08+3×0.10+5×0.14+7×0.12+9×0.04+11×0.02）×2＝5；
s2＝[（1﹣5）2×0.08+（3﹣5）2×0.10+（5﹣5）2×0.14+（7﹣5）2×0.12+（9﹣5）2×0.04+（11﹣5）
2×0.02]×2＝7.04． ………………12分
19、解：（1）设事件 A表示“甲猜对”，事件 B表示“乙猜对”，
则 P（A）＝ ＝ ，P（B）＝ ＝ ，
∴任选一道灯谜，恰有一个人猜对的概率为：
P（A + ）＝P（A）P（ ）+P（ ）P（B）＝ +（1﹣ ）× ＝ ．
………………7分
（2）任选一道灯谜，甲、乙都没有猜对的概率为：
P（ ）＝P（ ）P（ ）＝（1﹣ ）（1﹣ ）＝ ． ………………12分
20、证明：过点 E、D分别做直线DC、 AB的垂线 EG、DH 并分别交于点交于点G、H ．
∵四边形 ABCD和 EFCD都是直角梯形， AB / /DC,CD / /EF , AB 5,DC 3,EF 1，
BAD CDE 60 ，由平面几何知识易知，
DG AH 2, EFC DCF DCB ABC 90 ，则四边形EFCG和四边形DCBH 是矩形，
∴在 Rt EGD和 Rt DHA， EG DH 2 3，
∵DC CF ,DC CB，且CF CB C ，
∴DC 平面 BCF , BCF是二面角 F DC B的平面角，则 BCF 60 ，
∴△BCF是正三角形，由DC 平面 ABCD，得平面 ABCD 平面 BCF，
∵ N 是 BC 的中点， FN BC ，又 DC 平面 BCF ， FN 平面 BCF ，可得 FN CD，而
BC CD C，∴FN 平面 ABCD，而 AD 平面 ABCD FN AD．………………6分
（2）因为 FN 平面 ABCD，过点 N 做 AB平行线 NK ，所以以点 N 为原点， NK ，NB、NF所在
直线分别为 x轴、 y轴、 z轴建立空间直角坐标系 N xyz，
3 3
设 A(5, 3,0),B(0, 3,0),D(3, 3,0),E(1,0,3)，则M 3, ,
2 2
3 3
BM 3, , ,AD ( 2, 2 3,0),DE ( 2, 3,3)
2 2
设平面 ADE 的法向量为 n (x, y, z)
n
AD 0 2x 2 3y 0
由
，得 ，取 n ( 3, 1, 3)，
n DE 0 2x 3y 3z 0
设直线 BM 与平面 ADE所成角为 ，
3 3 3 3 3
sin cos n , BM | n B
2 2
M | 5 3 5 7∴ ．……………12分| n | BM | 3 9 7 2 3 143 1 3 9
4 4
21、(1)因为在Rt△ABC中， C 90 ，DE∥BC，所以DE AD,DE CD，
因为折叠前后对应角相等，所以DE A1D，所以 DE 平面 A1CD，DE A1C，
又 A1C CD，CD DE D，所以 A1C 平面 BCDE； ………………3分
(2)因为 DE经过 ABC的重心，故 DE 2 BC 2，由（1）知 A1C 平面 BCDE，以CD为 x轴，CB为 y轴，3
CA1为 z轴，建立空间直角坐标系，由几何关系可知，CD 2,AD 4,A1C 2 3 ，
故 C 0,0,0 ,D 2,0,0 ,E 2,2,0 ,B 0,3,0 , A1 0,0,2 3 ,M 1,0, 3 ， CM 1,0, 3 ，
n A B 0 3y 2 3z 0
A1B 0,3, 2 3 , A1E 2,2, 2 3 ，设平面 A1BE 的法向量为n x, y, z ，则 1 ，即 ，
n A1E 0 x y 3z 0
令 y 2 ， 则 z 3, x 1,n 1,2, 3 ， 设 CM 与 平 面 A1BE 所 成 角 的 大 小 为 ， 则 有
sin cos CM, n CM n 4 2
CM n 2 2 2 2 ，故
，即 CM 与平面
4
A1BE
所成角的大小为 ； ………………7分
4
(3)设N x1, y1, z1 ， BN BA1 ，即 x1, y1 3, z1 0, 3,2 3 ，
即 x1 0, y1 3 1 , z1 2 3 ， N 0,3 1 ,2 3 ，CM 1,0, 3 ，
CN 0,3 1 ,2 3 n 2 CM ，设平面 CMN的法向量为 n x , y , z ，则有 02 2 2 2 ，
n2 CN 0
x2 3z2 0
即 ，令 x 3,则 z2 1， y
2 3
2 2
3 1 y 2 3 z 0 3 1
，
2 2
n2 3,
2 3 , 1
3 1
，
同理，设平面 DEN的法向量为 n3 x3 , y3 ,z3 ，
DE 0,2,0 ,DN 2,3 1 , 2 3 ，
n 3 D
y 0
E 0 3 1x 1 3 z n 3,0, 则 ，即 ，令 ，则 ，故 ，
n3 DN
3
0 2x3 2 3 z 0
3 3
3
1 1 1
若平面 CMN与平面 DEN垂直，则满足 n2 n3 0，即 3 0， ，故存在这样的点， BN BA ， 3 3 1
A1N 2所以 2。 ………………
BN 1 12分
