开学考试答案
选择题：
1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12
D B A C A C A B ABD BC BD BCD
填空题
_____ 14.____ 15.__45°__ _60°__ 16._________
解答题
17.（1）由 （3分）
所以； （5分）
（2）由题意，复数，，
， （8分）
∵复数在复平面上对应的点在第一象限，
∴解得，
∴实数a的取值范围． （10分）
18.（1）因为（6，1），（，3），（2，2），
∴（6，1）+（，6） （2，2）=（0，5）． （2分）
（2）（10，5），（2 2k，2+3k）， （3分）
∵，
∴10（2+3k） 5（2 2k）=0， （5分）
解得． （7分）
（3）与的夹角是钝角，
∴，且，
∵， （9分）
且， （10分）
解得且． （12分）
19.【小问1详解】
本次考试成绩的平均数为.
【小问2详解】
因为前3组频率之和为，前4组频率之和为，
所以第百分位数在第4组中，设为，
则，解得.
第百分位数是.
【小问3详解】
第五组与第六组学生总人数为，
其中第五组有人，记为、、、，第六组有人，记为、、，
从中随机抽取人的情况有：、、、、、、、、、、、、、、、、、、、、共有种，
其中至少人成绩优秀的情况有种，
所抽取的人中至少人成绩优秀的概率．
21.解：（1）对于函数6cosx（sinxcosx）sin2x﹣3
＝3（sin2x cos2x）＝3sin（2x），
故它的最小正周期为π．
令2xkπ，求得x，k∈Z，
故f（x）的对称轴方程为x，k∈Z．
（2）∵函数y＝f（x）﹣a在存在零点，即sin（2x），在[，]上有解．
当x∈[，]，2x∈[0，]，sin（2x）∈[0，1]，
∴∈[0，1]，∴a∈[0，3]．
22.齐市第八高级中学2022-2023学年高二上学期9月开学考试
数学试题
分值：150分 时间：120 分钟
一．单选题（本题共 8 小题，每小题 5 分，共 40 分.每题四个选项中只有一个正确选项）
z 1 3i1.已知复数 在复平面内对应的点的坐标为 1,2 ，则 （ ）
z i
A. 2 2i B. 1 i C. 2 2i D. 1 2i
2.已知 f x 是R 上的偶函数，在 ( ,0]上单调递增，且 f (2) 0，则下列不等式成立的
是（ ）
A. 0 f 1 f 5 f 3 B. f 5 f 3 0 f 1
C. f 3 f 1 0 f 1 D. f 3 0 f 1 f 5
2 1
3. 若 x 0，y 0，且 1，x 2y m2 7m恒成立，则实数 m的取值范围是（ ）x y
A. 8 m 1 B. m 8或m >1
C. m 1或m 8 D. 1 m 8
4.《九章算术》中将底面为直角三角形且侧棱垂直于底面的三棱柱称为“堑堵”；底面为矩
形，一条侧棱垂直于底面的四棱锥称之为“阳马”；四个面均为直角三角形的四面体称为“鳌
臑”.如图，在堑堵 ABC A1B1C1中，AC BC ，且 AA1 AB 2 ,下列说法错误的是（ ）
A．四棱锥 B A1ACC1为“阳马”
B．四面体 A1C1CB为“鳖臑”
2
C．四棱锥 B A1ACC1体积的最大值为 3
D.过 A 点作 AE A1B于点 E，过 E 点作 EF A1B
于点 F，则 A1B 面AEF
A
5. 在 ABC中，角 A,B,C的对边分别为 a,b,c，已知三个向量m a, cos ，
2
B n b, cos
C
2
, p c, cos 共线，则 ABC的形状为（ ）
2
A. 等边三角形 B. 钝角三角形
C. 有一个角是 的直角三角形 D. 等腰直角三角形
6
1
6.若 P(AB) 1 2 ， P(A) ， P(B) 1 ，则事件 A与 B的关系正确的是（ ）
9 3 3
A．事件 A与 B互斥 B．事件 A与B对立
C．事件 A与B相互独立 D．事件 A与 B既互斥又独立
7.新冠肺炎疫情发生以来，医用口罩成为抗疫急需物资．某医用口罩生产厂家生产 A、B、
C三种不同型号的 N95口罩，A、B、C三种型号的口罩产量之比为 2 :m :1．为了提高这三
种口罩的质量，用分层抽样的方法抽取一个容量为 n的样本．在样本中 B种口罩数量比 A
种口罩数量多 40只，比 C种口罩数量多 80只，则 n=（ ）
A. 240 B. 280 C. 320 D. 360
8.灯笼起源于中国的西汉时期，两千多年来，每逢节日人们便会挂起象征美好团圆意义的红
灯笼，营造一种喜庆的氛围．如图 1，某球形灯笼的轮廓由三部分组成，上下两部分是两个
相同的圆柱的侧面，中间是球面的一部分（除去两个球冠）．如图 2，球冠是由球面被一个
平面截得的，垂直于截面的直径被截得的部分叫做球冠的高，若球冠所在球的半径为 R，球
冠的高为 h，则球冠的面积 S 2 Rh．已知该灯笼的高为 46 cm，圆柱的高为 3 cm，圆柱
的底面圆直径为 30 cm，则围成该灯笼所需布料的面积为（ ）
A． 2090 cm2 B． 2180 cm2 C． 2340 cm2 D． 2430 cm2
二．多选题（本题共 4小题，每小题 5 分，共 20 分.每小题有多项正确选项，全部选对得
5分，有选错的得 0分，部分选对得 2分）
9.下列说法正确的是（ ）
A. 圆柱的侧面展开图是矩形
B. 球面可以看成是一个圆绕着它的直径所在的直线旋转180 所形成的曲面
C. 直角梯形绕它的一腰所在直线旋转一周形成的几何体是圆台
D. 圆柱、圆锥、圆台中，平行于底面的截面都是圆面
10. 函数 f (x) cos( x )( 0, 0)
的部分图像如图所示，下列说法正确的是（ ）
4
A. f (x)图像的一条对称轴可能为直线 x
3
B. 函数 f (x)的解折式可以为 f (x) sin x
3
4
C. f (x)的图像关于点 ,0 对称
3
2
17 , 23 D. f (x)在区间 上单调递增 6 6
11.下列命题中是真命题的有（ ）
A．有 A，B，C三种个体按 3：1：2的比例分层抽样调查，如果抽取的 A个体数为 9，则
样本容量为 30
B．一组数据 1，2，3，3，4，5的平均数、众数、中位数相同
C．若甲组数据的方差为 5，乙组数据为 5，6，9，10，5，则这两组数据中较稳定的是甲
D．某一组样本数据为 125，120，122，105，130，114，116，95，120，134，则样本数据
落在区间[114.5，124.5]内的频率为 0.4
12．如图所示是正方体的平面展开图，那么在正方体中
（ ）
A．AC⊥EF
B．EF和 BC所成的角是 60°
C．直线 AC和平面 ABE所成的角是 30°
D．如果平面 ABC 平面 CEF=l，那么直线 EF∥直线 l．
三．填空题（本题共 4小题，每题 5分，共 20 分）
13. 已知向量 a 3,1 ,b , 3 ，若 a //b，则 a b __________.
14.在四面体 S ABC 中，SA＝SB＝2，且 SA⊥SB，BC＝ 5，AC＝ 3，则该四面体外接球的表
面积为________
15.如图所示，已知在长方体 ABCD EFGH 中，AB＝2 3，AD＝2 3，AE＝2，则 BC 和 EG 所
成角的大小是________，AE 和 BG 所成角的大小是________
(15 题图) （16 题图）
16.如图，圆锥的底面直径 AB 2，其侧面展开图为半圆，底面圆的弦 AC 1， 则异面直线
AC与 SB所成角的余弦值为________________
四．解答题（本题共 6 小题，共 70 分.解答过程应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17.(10 分)已知复数 z1 3 4i， z2 2i，i为虚数单位．
z
（1）若 z 1 ，求 z的共轭复数；
z2
（2）若复数 z1 az2 在复平面上对应的点在第一象限，求实数 a的取值范围
18.（12分）已知向量 a （6，1），b （ 2，3）， c （2，2）， d （ 3，k）．
（1）求 a 2b c；（2）若 a 2c ∥ c kb ，求实数 k的值；
3
（3）若 a与 d 的夹角是钝角，求实数 k的取值范围．
19.（12 分）为了选择奥赛培训对象，今年5月我校进行一次数学竞赛，从参加竞赛的同学
中，选取50名同学将其成绩分成六组：第1组 40,50 ，第 2组 50,60 ，第3组 60,70 ，
第4组 70,80 ，第5组 80,90 ，第6组 90,100 ，得到频率分布直方图（如图），观察
图形中的信息，回答下列问题：
（1）利用组中值估计本次考试成绩的平均
数；
（2）从频率分布直方图中，估计第65百分
位数是多少；
（3）已知学生成绩评定等级有优秀、良好、
一般三个等级，其中成绩不小于90分时为
优秀等级，若从第 5 组和第 6 组两组学生中，随机抽取 2人，求所抽取的 2 人中至少 1 人成
绩优秀的概率．
20.（12 分）
记△ABC的内角 A，B，C的对边分别为 a，b，c，已知________．
在① 2cos 2C 8cos A B 5 0 sin2，② A sin2 B sin Asin B sin2 C 这两个
条件中任选一个，补充在上面的横线上，并解答下列问题：
（1）求 C的大小；
（2）若△ABC的面积为 3，且 c 14 ，求△ABC的周长．
21.（12 分）已知函数 ( ) = 6 ( 36 ) + 2．
（1）求 f（x）的最小正周期和对称轴方程；
2 y f x a ∈ [ 5 （ ）若函数 ＝ （ ）﹣ 在 12， 12 ]存在零点，求实数 a的取值范围．
22.（12 分）在四棱锥 P﹣ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD＝2BC＝2AD＝4，∠DAB＝60°，
AE＝BE，△PAD为正三角形，且平面 PAD⊥平面 ABCD．
（1）求二面角 P﹣EC﹣D的余弦值；
6
（2）线段 PC上是否存在一点 M，使得异面直线 DM和 PE所成的角的余弦值为 ？
8
若存在，指出点 M的位置；若不存在，请说明理由．
4
