第三章《一元一次方程》单元测试卷(困难)（含答案）

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湘教版初中数学七年级上册第三章《一元一次方程》单元测试卷
考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分：120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
小颖带元去买甜点，若全买红豆汤圆刚好可买杯，若全买豆花刚好可买杯已知豆花每杯比红豆汤圆便宜元，依题意可列方程式为
A. B. C. D.
某车间有名工人，每人每天可以生产个螺钉或者个螺母，个螺钉需配个螺母，为使每天生产的螺钉和螺母刚好配套，令安排生产螺钉的工人为人，则可列方程为( )
A. B.
C. D.
轮船沿江从港顺流行驶到港，比从港返回港少用小时，若船在静水中的速度为千米时，水速为千米时，求港和港相距多少千米．设港和港相距千米．根据题意，可列出的方程是( )
A. B.
C. D.
下列根据等式的性质变形不正确的是( )
A. 由，得到 B. 由，得到
C. 由，得到 D. 由，得到
下列说法正确的是( )
A. 单项式的次数是
B. 最小的非负数是
C. 的绝对值、相反数、倒数都等于它本身
D. 如果，那么
根据等式性质，下列结论正确的是( )
A. 由 ，得 B. 若 ，则
C. 由，得 D. 若，则
下列变形中正确的是( )
A. 变形得
B. 变形得
C. 变形得
D. 变形得
如图框图内表示解方程的流程，其中依据“等式性质”是( )
A. B. C. D.
若关于的方程的解是整数，则整数的取值个数是( )
A. B. C. D.
某商场的老板销售一种商品，标价为元，可以获得的利润，则这种商品进价多少( )
A. 元 B. 元 C. 元 D. 元
某商店以每件元的价格卖出两件衣服，其中一件盈利，另一件亏损，那么商店卖出这两件衣服总的是( )
A. 盈利元 B. 亏损元 C. 盈利元 D. 亏损元
已知两个完全相同的大长方形，长为，各放入四个完全一样的白色小长方形后，得到图、图，那么，图阴影部分的周长与图阴影部分的周长的差是
A. B. C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
在植树节活动中，班有人，班有人，现要从班调一部分人去支援班，使班人数为班人数的倍，那么应从班调出多少人？如设从班调人去班，根据题意可列方程：______．
方程可变形为______ ．
若关于的方程，无论为任何数时，它的解总是，那么 ．
新年联欢，某公司为员工准备了、两种礼物，礼物单价元、重千克，礼物单价元，重千克，为了增加趣味性，公司把礼物随机组合装在盲盒里，每个盲盒里均放两样，随机发放，小林的盲盒比小李的盲盒重千克，则两个盲盒的总价钱相差 元，通过称重其他盲盒，大家发现：
称重情况 重量大于小林的盲盒的 与小林的盲盒一样重 重量介于小林和小李之间的 与小李的盲盒一样重 重量小于小李的盲盒的
盲盒个数
若这些礼物共花费元，则 元．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
如图，点、和线段都在数轴上，点、、、对应的数字分别为、、、线段沿数轴的正方向以每秒个单位的速度移动，移动时间为秒．
用含有的代数式表示的长为_______________．
当_______秒时，．
若点、与线段同时移动，点以每秒个单位的速度向数轴的正方向移动，点以每秒个单位的速度向数轴的负方向移动，在移动过程中，和可能相等吗？若相等，请求出的值，若不相等，请说明理由．
本小题分
备小颖年后上大学的学费元，她的父母现在想为她做教育储蓄．他们考虑从下面三种储蓄方式中选择一种附：中国银行年月最新存款年利率表
直接存一个年期
先存一个年期，年后将本息和再转存一个年期；
先存一个年期，年后将本息和再转存一个年期．
请按照提供的分析思路，完成以下填空：
解：设开始存入的本金为元．
如果按照第一种储蓄方式，年后本息和要达到元，则可列方程______．
如果按照第二种储蓄方式，年后本息和是______再将此本息和转存年后达到元，可列方程为______．
如果按照第三种储蓄方式，年后的本息和是______，再将此本息和转存年后要达到元，可列方程为______．
根据以上的分析，如果计算出来哪种方式开始存入的资金______填多或少，哪种方式更合算．
整存整取定期存款 年利率
一年
二年
三年
五年
本小题分
概念学习：若，则称与是关于的平衡数
初步探究：与 是关于的平衡数， 与是关于的平衡数
灵活运用：若，，试判断，是不是关于的平衡数并说明理由．
本小题分
李老师在课堂中提问：“由，得”，这个数学变形的依据是等式性质几？
小明回答：等式的性质________；
李老师继续提问：“由，得”，是如何变形的？
小明回答：等式左右两边都________；
小明的回答得到李老师的肯定．
请把小明的回答补充完整．
“由，得，请你说明：这个数学变形的依据有哪些？是如何变形的？
本小题分
先阅读下列解题过程，然后解答问题、、．
例：解绝对值方程：．
解：讨论：当时，原方程可化为，它的解是．
当时，原方程可化为，它的解是．
原方程的解为和．
问题：依例题的解法，方程的解是______；
问题：尝试解绝对值方程：；
问题：在理解绝对值方程解法的基础上，解方程：．
本小题分
如图所示，在四边形中，，厘米，厘米，，分别从点，同时出发，点以厘米秒的速度由点向点运动，点以厘米秒的速度由点向点运动．
几秒时四边形为平行四边形？
几秒时直线将四边形截出一个平行四边形？
本小题分
用“”定义一种新运算：对于任意有理数和，规定．
如：
求的值；
若其中为有理数，试比较，的大小；
若，求的值．
本小题分
如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距为动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
数轴上点表示的数是_______点表示的数是___________用含的代数式表示
动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、时出发，求：
当点运动多少秒时，点与点相遇
当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度
本小题分
某数学兴趣小组研究我国古代算法统宗里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房可住；如果每一间客房住人，那么就空出一间房．
求该店有客房多少间？房客多少人？
假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费钱，且每间客房最多入住人，一次性定客房间以上含间，房费按折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？请写出你作出这种决策的理由．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了由实际问题抽象出一元一次方程，解此类题的关键是找出题中存在的等量关系．首先要找到题中存在的等量关系：豆花价钱红豆汤圆根据等量关系列方程即可．
【解答】
解：由题意知红豆汤圆每杯元，豆花每杯元，
又因豆花每杯比红豆汤圆便宜元，
即，
．
故选A．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了由实际问题抽象出一元一次方程审题找出题中的未知量和所有的已知量，直接设要求的未知量或间接设一关键的未知量为，然后用含的式子表示相关的量，找出之间的相等关系列方程题目已经设出安排名工人生产螺钉，则人生产螺母，由一个螺钉配两个螺母可知螺母的个数是螺钉个数的倍从而得出等量关系，就可以列出方程．
【解答】
解：设安排名工人生产螺钉，则人生产螺母，
由题意得，
故选D．

3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元一次方程的应用，找到题目中的相等关系是解决问题的关键．根据“轮船沿江从港顺流行驶到港，比从港返回港少用小时”，得出等量关系：轮船从港顺流行驶到港所用的时间它从港返回港的时间小时，据此列出方程即可．
【解答】
解：设港和港相距千米，可得方程：
．
故选A．

4.【答案】
【解析】解：、由，得到，正确；
B、由，得到，正确；
C、当时，由，，错误；
D、由，得到，正确；
故选：．
根据等式的性质：等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数或字母，等式仍成立，可得答案．
本题主要考查了等式的基本性质，等式的两边同时加上或减去同一个数或字母，等式仍成立；等式的两边同时乘以或除以同一个不为的数或字母，等式仍成立．
5.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了单项式的定义、的性质和倒数的定义及等式的性质等知识，正确把握相关定义是解题关键．
直接利用单项式的定义、的性质和倒数的定义及等式的性质分别分析得出答案．
【解答】
解：、单项式的次数是，故此选项错误；
B、最小的非负数是，正确；
C、的绝对值、相反数都等于它本身，没有倒数，故此选项错误；
D、如果，那么，故此选项错误；
故选：．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了等式的性质；性质：等式两边加同一个数或式子结果仍得等式；
性质：等式两边乘同一个数或除以一个不为零的数，结果仍得等式．根据等式的性质进行判断．
【解答】
解：由，两边，得，故错误；
B.若，则，当时，不成立，故错误；
C.由，得，故错误；
D.若，则，正确．
故选D．

7.【答案】
【解析】解：、变形得：，故选项错误；
B、变形得：，故选项正确；
C、变形得：，故选项错误；
D、变形得，故选项错误．
故选B．
各项利用去分母，去括号，移项合并，将系数化为的方法计算得到结果，即可做出判断．
此题考查了解一元一次方程，其步骤为：去分母，去括号，移项合并，将未知数系数化为，求出解．
8.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了解一元一次方程和等式的性质，解一元一次方程的步骤为：去分母，去括号，移项，合并同类项，化系数为，其中去分母，移项和化系数为都是根据等式的性质．
【解答】
解：框图内表示解方程的流程，其中依据“等式性质”有：移项，根据等式的基本性质，化系数为根据等式的基本性质，
依据等式性质的是，
故选D．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元一次方程的解，正确掌握解一元一次方程的方法是解题的关键．原方程依次去括号，移项，合并同类项，系数化为，得到关于的的值，根据“该方程的解是整数”，得到几个关于的一元一次方程，解之即可．
【解答】
解：方程整理化简，可得
，即，
该方程的解是整数，为整数，
或或或，
即或或或，
解得：或或或，
整数的取值个数是个．
故选C．
10.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查一元一次方程的应用，将现实生活中的事件与数学思想联系起来，读懂题列出方程即可求解．
设这件商品的进价为，根据题意列出方程解答即可．
【解答】
解：设这件商品的进价为，可得：
解得：，
故选B．
11.【答案】
【解析】
【试题解析】
【分析】
本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是根据题意，列方程求出两件衣服的进价，进而求出总盈亏．分别列方程求出两件衣服的进价，然后可得两件衣服分别赚了多少和赔了多少，则两件衣服总的盈亏就可求出．
【解答】
解：设第一件衣服的进价为元，
依题意得：，
解得：，
所以赚了：元；
设第二件衣服的进价为元，
依题意得：，
解得：，
所以赔了：元，
则两件衣服一共赔了元．
故选B．

12.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元一次方程的应用以及平面图形的周长，观察图通过解一元一次方程用含的代数式表示出小长方形的长和宽是解题的关键．
设小长方形的长为，宽为，观察图可用含的代数式表示出、，再根据周长的定义找出图阴影部分周长与图阴影部分周长，二者做差后即可得出结论．
【解答】
解：设小长方形的长为，宽为，
根据图得：，
解得：
则
图阴影部分周长；
图阴影部分周长
图阴影部分的周长与图阴影部分的周长的差，
图阴影部分周长与图阴影部分周长的差是．
故选C．
13.【答案】
【解析】解：设从班调人去班，则：
从班调人去班后，班还剩个人，班有人，
班人数为班人数的倍
故答案是：．
根据题意可得到本题中含有的相等关系是：调过人后班人数调过后班人数，因而用含的代数式表示出、班人数，就可以列出方程．
考查了由实际问题抽象出一元二次方程．对于人员调动问题，要弄清楚调动前后两个班级的人数变化，再根据题目给出的等量关系列出方程．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查了解一元一次方程和分数的性质，是基础题．
观察等式的左边，根据分数的性质，分子分母都乘以相同的数，分数的值不变．要注意和等式的性质的区别．
【解答】
解：变形为，是利用了分数的性质，
右边不变，
即，
故答案为．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是一元一次方程的解以及解一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的概念．
将代入原方程即可求出答案．
【解答】
解：将代入得，
，
，
由题意可知：无论为任何数时恒成立，
，
，，
，
故答案为．
16.【答案】

【解析】解：礼物重千克，礼物重千克，
礼物比礼物重千克，
每个盲盒里均放两样，小林的盲盒比小李的盲盒重千克，
小李的盲盒中为件礼物和件礼物，小林的盲盒中为件礼物；或小李的盲盒中为件礼物，小林的盲盒中为件礼物和件礼物；
不管以上哪种情况，两个盲盒的礼物总价格都相差元，
由表格中数据可知，重量小于小李的盲盒的有盒可知小李的盲盒中为件礼物和件礼物，不可能为件礼物，
小李的盲盒中为件礼物和件礼物，小林的盲盒中为件礼物，
重量小于小李的盲盒为件礼物，
与小林的盲盒一样重盲盒有盒，与小李的盲盒一样重的盲盒有盒，重量小于小李的盲盒有盒，
件礼物的有盒，件礼物和件礼物有盒，件礼物有盒，
，
解得，
故答案为：，．
根据小林的盲盒比小李的盲盒重千克可判断两个盲盒的总价钱相差元，再根据重量小于小李的盲盒的为盒可以得出结论：小李的盲盒中为件礼物和件礼物，小林的盲盒中为件礼物，然后再根据表格中的数据列一元一次方程求解即可．，
本题主要考查一元一次方程的应用，能根据已知数据准确判断小李与小林的盲盒中的礼物时解答此题的关键．
17.【答案】解：；
；
假设能相等，则点表示的数为，表示的数为，表示的数为，表示的数为，
，，
，
，
解得，，
即在移动过程中，和相等，此时运动的时间为秒和秒．
【解析】
【分析】
本题考查了数轴及一元一次方程的应用，解题关键是根据数量关系列出方程．
根据点开始表示的数结合其运动速度和时间，即可得出运动后点表示的数，再依据点表示的数为，根据两点间的距离即可得出；
分别找出、，根据即可列出关于的一元一次方程，解出即可；
假设相等，找出、，根据列出关于的含绝对值的一元一次方程，解出即可．
【解答】
解：点、、、对应的数字分别为、、、线段沿数轴正方向以每秒个单位的速度移动，移动时间为秒，
移动后对应的数为，对应的数为，
；
故答案为；
由可知：，
，
解得，
故答案为；
见答案．
18.【答案】 少
【解析】解：由题意可得，
，
故答案为：；
如果按照第二种储蓄方式，年后本息和是：，
再将此本息和转存年后达到元，可列方程为：，
故答案为：、；
如果按照第三种储蓄方式，年后的本息和是：，
再将此本息和转存年后要达到元，可列方程为：，
故答案为：、；
根据以上的分析，如果计算出来哪种方式开始存入的资金少，则那种方式更合算，
故答案为：少．
根据题意和表格中的数据可以解答本题；
根据题意和表格中的数据可以求出相应的本息和和列出相应的方程；
根据题意和表格中的数据可以求出相应的本息和和列出相应的方程；
根据题意，可知存入的本金越少越合算，即可解答本题．
本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，解答本题的关键是明确题意，找出所求问题需要的条件，列出相应的方程．
19.【答案】解：初步探究：
，，，两边都减去，得，
与是关于的平衡数．
，，，两边都加上，得，
与是关于的平衡数．
灵活运用：
．
与是关于的平衡数．
【解析】略
20.【答案】，加；
依据有：等式性质，等式性质
等式左右两边先乘，再加．

【解析】本题主要考查等式的性质．运用等式性质必须注意等式两边所加上的或减去的必须是同一个数或整式；运用等式性质必须注意等式两边所乘的或除的数或式子不为，才能保证所得的结果仍是等式．
根据等式性质解题即可；
根据等式性质和解题即可．
21.【答案】解：和；
，
当时，原方程可化为，它的解是；
当时，原方程可化为，它的解是；
原方程的解为和．
，
当，即时，原方程可化为，它的解是；
当，即时，原方程可化为，它的解是；
当时，原方程可化为，此时方程无解；
原方程的解为和．
【解析】解：，
当时，原方程可化为，它的解是；
当时，原方程可化为，它的解是；
原方程的解为和，
故答案为：和．
见答案．
见答案．
本题考查了含绝对值符号的一元一次方程的应用，关键是能去掉绝对值符号，用了分类讨论思想．
分为两种情况：当时，当时，去掉绝对值符号后求出即可．
分为两种情况：当时，当时，去掉绝对值符号后求出即可．
分为三种情况：当，即时，当，即时，当时，去掉绝对值符号后求出即可．
22.【答案】解：设秒后四边形是平行四边形；
根据题意得：，，
则；
，
当时，四边形是平行四边形，
，
解得：，
即秒时四边形是构成平行四边形；
由知，秒时四边形是平行四边形，
根据题意得：，，
则；
，
当时，四边形是平行四边形，
，
解得：，
因此或秒时直线将四边形截出一个平行四边形．
【解析】
【分析】此题主要考查了平行四边形的判定，关键是掌握一组对边平行且相等的四边形是平行四边形．注意要分情况讨论，不要漏解．
设秒后四边形是平行四边形；根据题意得：，，由得出方程，解方程即可；
由知，秒时四边形是平行四边形，第二种情况：四边形是平行四边形，根据题意得：，，则，进而可得方程，再解即可．
23.【答案】解：．
，
，
，
故．
，，
即，解得：．
答：当时，的值为．
【解析】本题考查的解一元一次方程，解题的关键是：根据给定定义式，代入数据求值；根据给定定义式，求出、；重复套用给定定义式找出方程．
根据给定定义式，代入数据求值即可；
根据给定定义式，表示出和，做差后即可得出结论；
重复套用定义式，得出关于的一元一次方程，解方程求出值即可．
24.【答案】；；
由题意，点表示的数为，
点运动秒时追上点，
根据题意得，
解得，
答：当点运动秒时，点与点相遇；
设点运动秒时，点与点间的距离为个单位长度，
当、相遇前，则，解得；
当、相遇后，则，解得；
答：当点运动或秒时，点与点间的距离为个单位长度．
【解析】
【试题解析】
【分析】
由已知得数轴上点表示的数为，，从而写出数轴上点所表示的数；动点从点出发，运动时间为秒，所以运动的单位长度为，因为沿数轴向左匀速运动，所以点所表示的数是；
点表示的数为，点运动秒时追上点，则，然后解方程得到；
设点运动秒时，点与点间的距离为个单位长度，分两种情况：当、相遇前，则；当、相遇后，则；由此求得答案解即可．
此题考查的知识点是一元一次方程的应用及数轴，注意分类讨论．
【解答】
解：
数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧，，
，数轴上点所表示的数为；
点运动秒的长度为，
动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
所表示的数为：；
故答案为；；
见答案

25.【答案】解：设客房有间，则根据题意可得：
，
解得；
即客人有人；
答：客人有人．
如果每人一个房间，需要，需要间客房，总费用为钱，
如果定间，其中有四个人一起住，有三个人一起住，则总费用钱钱，
所以他们再次入住定间房时更合算．
答：他们再次入住定间房时更合算．
【解析】根据题意设出房间数，进而表示出总人数得出等式方程求出即可；
根据已知条件分别列出两种住房方法所用的钱数，进而比较即可．
本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的解题方法是解题的关键．
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