第三章《图形的相似》单元测试卷（困难）（含答案）

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湘教版初中数学九年级上册第三章《图形的相似》单元测试卷
考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分。在每小题列出的选项中，选出符合题目的一项）
美是一种感觉，当人体的下半身长与身高的比值越接近时越给人一种美感．已知某女士身高，下半身长与身高的比值是，为尽可能达到好的效果，她应穿的高跟鞋的高度约为( )
A. B. C. D.
一种零件的长是毫米，在一幅设计图上的长是厘米，这幅设计图的比例尺是( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
若，则( )
A. B. C. D. 或
如图，在四边形中，，，，是的中点，，，于点下列结论错误的是( )
A. 四边形的周长是 B. ∽
C. D. 的长为
由四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形如图所示．作若，则：的值为( )
A.
B.
C.
D.
已知中，，用尺规过作一条直线，使其将分成两个相似的三角形，其作法不正确的是( )
A. B.
C. D.
下列关于相似的命题：菱形都相似等腰直角三角形都相似正方形都相似矩形都相似正六边形都相似其中，真命题有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
如图，在正方形中，是等边三角形，、的延长线分别交于点、，连接、，与相交于点，给出下列结论：
；
；
；
．
其中正确的个数是( )
A. B. C. D.
如图，在正方形的对角线上取一点使得，连接并延长到，使，与相交于点，若，有下列结论：；；；则其中正确的结论有( )
A. B. C. D.
如图，一个斜边长为的红色直角三角形纸片，一个斜边长为的蓝色直角三角形纸片，一张黄色的正方形纸片，拼成一个直角三角形，则红、蓝两张纸片的面积之和是( )
A. B. C. D.
为了测量被池塘隔开的，两点之间的距离，根据实际情况，作出图形如图所示，其中，，交于点，点在上。有四位同学分别测量出以下四组数据，能根据所测数据求出，间距离的有．( )
，
，，
，，
，，
A. 组 B. 组 C. 组 D. 组
如图，已知与位似，位似中心为点，且的面积等于面积的，则：的值为( )
A. ： B. ： C. ： D. ：
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
两个数与的比例中项是______．
如图，直线，若，，，则线段的长是_____________
如图，等边的边长为，点在边上，，线段在边上运动，，若与相似，则的长是______．
如图，在河对岸有一矩形场地，为了估测场地大小，在笔直的河岸上依次取点，，，使，，点，，在同一直线上．在点观测点后，沿方向走到点，观测点发现测得米，米，米，，则场地的边为______米，为______米．
三、解答题（本大题共9小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤）
本小题分
已知、、均为非零的实数，且满足，求的值．
本小题分
如图，点把线段分成两条线段和，若，则称线段被点黄金分割，点叫作线段的黄金“右割”点，根据图形不难发现，线段上另有一点把线段分成两条线段和，若，则称点是线段的黄金“左割”点．
请根据以上材料，回答下列问题：
如图，若，点和点分别是线段的黄金“右割”点、黄金“左割”点，则 ；
如图，若数轴上有，，，四个点，它们分别对应的实数为，，，，且，，点和点分别是线段的黄金“右割”点、黄金“左割”点，求的值．
本小题分
如图，，，点是射线上的一个动点，是上的一点，长度不变，交于点，点是上一点，且，连接．
若，求的值．
若
求用含的式子表示；
求证：；
若，求的值．
本小题分
如图，方格纸上的小正方形的边长均为个单位长度，点，都在格点上两条网格线的交点叫格点，请用无刻度直尺完成下列问题：
将线段绕点逆时针旋转，得到旋转后的线段；
连接，则的面积_________；
在线段上画出点，使要求只能通过连接格点方式作图．
本小题分
如图，在等腰直角三角形中，，点是的中点，以为边作正方形，连接，将正方形绕点顺时针旋转，旋转角为．
如图，在旋转过程中，
判断与是否全等，并说明理由；
当时，与交于点，求的长．
如图，延长交直线于点．
求证：；
在旋转过程中，线段的长度是否存在最大值？若存在，求出最大值；若不存在，请说明理由．
本小题分
如图所示，已知正方形的顶点为正方形对角线、的交点，连接、．
求证：≌；
若，正方形的边长为，线段与线段相交于点，，求正方形的边长．
本小题分
如图，身高米的人站在两棵树之间，距较高的树米，距较矮的树米，若此人观察的树梢所成的视线的夹角是，且较矮的树高米，那么较高的树有多少米？
本小题分
如图，是一块锐角三角形余料，边，高，要把它加工成矩形零件，使一边在上，其余两个顶点分别在边、上．
若这个矩形是正方形，那么边长是多少？
若这个矩形的长是宽的倍，则边长是多少？
本小题分
如图，在由边长为的小正方形组成的网格图中，已知点及的顶点均为网格线的交点．
将绕着点顺时针旋转，得到，请在网格中画出；
以点为位似中心，将放大为原来的三倍，得到，请在网格中画出．
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了黄金分割的应用．关键是明确黄金分割所涉及的线段的比．先求得下半身的实际高度，再根据黄金分割的定义求解．
【解答】
解：根据已知条件得下半身长是，
设需要穿的高跟鞋是，则根据黄金分割的定义得：，
解得：．
故选D．
2.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查比例尺的计算方法，解答时要注意单位的换算．图上距离和实际距离已知，依据“比例尺”即可求得这幅设计图的比例尺．
【解答】
解：因为毫米厘米，
则厘米：厘米：；
所以这幅设计图的比例尺为：；
故选A．
3.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了比例的性质，利用了等比性质，分式的性质．分类讨论：当时，根据等比性质，可得答案；当时，根据分式的性质，可得答案．
【解答】
解：当时，由等比性质，得
，
当时，得，，，
，
故选D．
4.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查的是平行四边形的判定和性质，勾股定理，菱形的判定和性质，平行线分线段成比例，平行线的性质，直角三角形斜边上的中线等有关知识，由题意对给出的各个选项进行逐一分析即可．
【解答】
解：，，，
，
为的中点，
，，
，，
四边形是平行四边形，
，，
，
四边形是菱形，
四边形的周长为，故A正确；
，四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，故C正确；
连接，交于点，
四边形是菱形，
，
，
，
，
，
，
则，
则菱形的面积为，
，故D正确，
在中，，，
，
在中，，，，
，，，且，，，
与不相似，故B选项错误，符合题意．
故选B．
5.【答案】
【解析】解：四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，
，，，，
，
∽，
，
，
，
，
，
为中点，
为中点，
，
同理，
，
如图，连接，
四边形为平行四边形，
，
为中点，，
，
，
在中，，，
：：，
故选：．
根据四个全等的直角三角形和一个小正方形组成的大正方形，可得，，，，证明∽，可得，连接，证明四边形为平行四边形，所以，可得，然后根据勾股定理，可得，进而可以解决问题．
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，相似三角形的判定与性质，平行四边形的判定与性质，解决本题的关键是得到∽．
6.【答案】
【解析】解：、由作图可知：，可以推出，故与相似，故本选项不符合题意；
B、由作图可知：，，故∽，故本选项不符合题意；
C、由作图可知：，，故∽，故本选项不符合题意；
D、无法判断∽，故本选项符合题意；
故选：．
根据相似三角形的判定方法即可一一判断；
本题考查作图相似变换，解题的关键是熟练掌握相似三角形的判定方法，属于中考常考题型．
7.【答案】
【解析】
【分析】
此题主要考查了相似图形，应注意：
相似图形的形状必须完全相同；
相似图形的大小不一定相同；
两个物体形状相同、大小相同时它们是全等的，全等是相似的一种特殊情况．
利用相似图形的概念分别判断得出即可．
【解答】
解：菱形不一定相似，故错误．
等腰直角三角形都相似，故正确．
正方形都相似，故正确．
矩形不一定相似，故错误．
正六边形都相似，故正确．
故选C．
8.【答案】
【解析】解：四边形是正方形，
，
是等边三角形，
，
，
，故正确，
，
，
，
又，，
，
，
，
∽，故正确，
，
与不相似，故错误，
，
，
，
∽，
，
，故正确，
故选：．
正确．利用直角三角形度角的性质即可解决问题．
正确，根据两角相等两个三角形相似即可判断．
错误．通过计算证明，即可判断．
正确．利用相似三角形的性质即可证明．
本题考查相似三角形的判定和性质，等边三角形的性质，正方形的性质，直角三角形度角的性质等知识，解题的关键是熟练掌握基本知识，属于中考常考题型．
9.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查对正方形的性质，相似三角形的判定与性质，全等三角形的性质和判定，三角形的面积，勾股定理，含度角的直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，综合运用这些性质进行证明是解此题的关键．
由正方形的性质可以得出，，通过证明≌，就可以得出；
在上取一点，使，连结，再通过条件证明≌就可以得出；
过作交于，根据勾股定理求出，根据三角形的面积公式即可求出高，根据三角形的面积公式即可求得；
解直角三角形求得，根据等边三角形性质得到，然后通过证得∽，求得．
【解答】
证明：四边形是正方形，
，，．
在和中，
，
≌，
，故正确；
在上取一点，使，连结，
≌，
，
，
，
，
，
，
，
，
，
是等边三角形．
，，
，
，
在和中，
≌，
，
，
，故正确；
过作交于，
根据勾股定理求出，
由面积公式得：，
，
，，
，，
，故正确；
在中，，
是等边三角形，
，
，
，
∽，
，故错误；
综上，正确的结论有，
故选：．
10.【答案】
【解析】
【分析】因为，，所以将绕点逆时针旋转后，得到，此时，，共线，证明，求出的面积即可．
本题考查了正方形的性质，三角形的面积等知识，解题关键是学会利用旋转法添加辅助线．
【解答】
解：如图，
，，
将绕点逆时针旋转后，得到，
此时，，共线，，
，
，
，
，
即，
红、蓝两张纸片的面积之和的面积．
故选：．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查相似三角形的应用和解直角三角形的应用，解答这道题的关键是将实际问题转化为数学问题，本题只要把实际问题抽象到相似三角形，解直角三角形即可求出．根据三角形相似可知，要求出，只需求出即可．所以借助于相似三角形的性质，根据即可解答．
【解答】
解：此题比较综合，要多方面考虑，
因为知道和的长，所以可利用的正切来求的长；
可利用和的正切求出；
因为∽可利用，求出；
无法求出，间距离．
故共有组可以求出，间距离．
故选C．
12.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查了位似图形的性质．注意掌握位似是相似的特殊形式，位似比等于相似比，其对应的面积比等于相似比的平方．
由经过位似变换得到，点是位似中心，根据位似图形的性质得到：：，进而得出答案．
【解答】
解：与位似，位似中心为点，且的面积等于面积的，
，，
，
．
故选B．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了比例线段，理解比例中项的概念：当比例式中的两个内项相同时，即叫比例中项．根据比例的基本性质进行计算．设它们的比例中项是，根据比例的基本性质得出，再进行计算即可．
【解答】
解：设它们的比例中项是，则，
解得．
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
考查了平行线分线段成比例定理，明确线段之间的对应关系．根据平行线分线段成比例定理，列出比例式，利用比例的基本性质即可得解．
【解答】
解：，
，
，，，
，
故答案为．

15.【答案】或或
【解析】
【分析】
本题考查了相似三角形的性质、等边三角形的性质以及解分式方程，分∽及∽两种情况，找出关于长的分式方程是解题的关键．
利用等边三角形的性质可得出，，设，则，分∽及∽两种情况考虑，利用相似三角形的性质可得出关于的分式方程，解之经检验后即可得出结论．
【解答】
解：等边的边长为，
，．
设，则．
与相似分两种情况：
当∽时，，
即，
解得：，，
经检验，，均为原方程的解，且符合题意；
当∽时，，
即，
解得：．
综上所述，的长是或或．
故答案为：或或．
16.【答案】 ；
【解析】解：，，
，
和是等腰直角三角形，
，，
米，米，米，
米，米，
，，
米；
过作于，过作交于，交于，
，
四边形和四边形是矩形，
，，，
，，
∽，
，
设，，
，，
，
，
，
∽，
，
，
，
，
，
故答案为；．
根据已知条件得到和是等腰直角三角形，求得米，米，于是得到米；过作于，过作交于，交于，根据矩形的性质得到，，，根据相似三角形的性质即可得到结论．
本题考查了相似三角形的应用，矩形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，正确的识别图形是解题的关键．
17.【答案】解：当时，
利用比例的性质化简已知等式得：，
即，，，
整理得：，，，
此时原式；
当时，可得：，，，
则原式．
综上可知，的值为或．
【解析】此题考查了比例的性质，熟练掌握运算法则是解本题的关键．
已知等式利用比例的性质化简表示出，，，代入原式计算即可得到结果．
18.【答案】解： 点和点分别是线段的黄金“右割”点、黄金“左割”点，，
，
，
．
由题意可知，，，
在数轴上，，，
，，，且
当时，，
，
，
同理，可求得，
当时，，
，
，
同理，可求得，
．
的值为或．

【解析】见答案
19.【答案】解：，，
，
，，
，
，，
，
，
，
，
即；
作交于点，如图所示：
，，
，
，
，．
，
，
；
证明：由勾股定理得 ，
，
，
，
，
，
；
，
，
，
，
，
．
【解析】
【分析】
此题主要考查含角的直角三角形，勾股定理，平行线的判定与性质，平行线分线段成比例，三角形的面积等知识．
根据，，得到，，进而得到，
，即可求出的值；
作交于点，根据，，得到，，再根据平行线分线段成比例即可解答；
由勾股定理得 ，进而求出，再根据，即可证明；
根据，得到，即，再根据，得到，，解方程即可求出．
20.【答案】解：如图线段即为所求
如图，点即为所求答案不唯一
【解析】
【分析】
本题考查了作图旋转变换：根据旋转的性质可知，对应角都相等都等于旋转角，对应线段也相等，由此可以通过作相等的角，在角的边上截取相等的线段的方法，找到对应点，顺次连接得出旋转后的图形．也考查了正方形的性质．
利用网格特点和旋转的性质画出点的对应点即可
根据割补法求出面积；
利用平行线分线段成比例定理把五等分可得到点．
【解答】
解：见答案
，
见答案．
21.【答案】解：如图中，结论：≌．
理由：四边形是正方形，
，，
，，
，
，
≌．
如图中，过点作于．
≌，，
，
，
，
，
，
，
，
∽，
，
，
．
如图中，设交于．
≌，
，
，，
，
，
．
，是定值，
当最小时，的值最大，
当时，的值最小，此时的值最大，此时点与重合如图中，
，，，
，
，
，
的最大值为．
【解析】结论：≌根据证明即可．
如图中，过点作于解直角三角形求出，，再利用相似三角形的性质求解即可．
如图中，设交于利用全等三角形的性质，解决问题即可．
因为，是定值，推出当最小时，的值最大，推出当时，的值最小，此时的值最大，此时点与重合如图中．
本题属于四边形综合题，考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，解直角三角形等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形解决问题，学会寻找特殊位置解决最值问题，属于中考压轴题．
22.【答案】解：正方形与正方形，对角线、，
，
，
．
，
，
，
在和中，
≌．
如图，过点作交于点，
，，
，
，
，，
，
在中，由勾股定理得
，
，，
，
易证∽，
，得，
则正方形的边长为．
【解析】本题主要考查对正方形的性质，全等三角形的性质和判定，相似三角形的性质和判定，直角三角形的性质等知识点的理解和掌握，此题是一个拔高的题目，有一定的难度．
由正方形与正方形，对角线、，可得，，即可证得，因，，则可利用“边角边”即可证两三角形全等
过点作交于点，由于，可得，的长，从而求得，即可求得，再通过，易证得∽，则有，求得即为正方形的边长．
23.【答案】解：过点作，，、为垂足，则．
，
，
．
，
∽，
，即，解得，
米．
答：树高有米．
【解析】过点作，，、为垂足，根据相似三角形的判定定理得出∽，由相似三角形的对应边成比例求出的长，进而可得出结论．
本题考查的是相似三角形的应用，根据题意作出辅助线，构造出相似三角形是解答此题的关键．
24.【答案】解：设边长为，
零件为正方形，
，，
，，
、，
由题意知，，，，
即，，
，
，解得．
答：若这个矩形是正方形，那么边长是．
设宽为，则长为，
四边形为矩形，
，，
，，
，，
为长，为宽：
由题意知，，，，
即，，
，
，解得，．
即长为，宽为．
为宽，为长：
由题意知，，，，
即，，
，
，解得，．
即长为，宽为．
答：矩形的长为，宽为或者长为，宽为．

【解析】本题考查了正方形以及矩形的性质，结合了平行线的比例关系求解，注意数形结合的运用．
设出边长为，由正方形的性质得出，，，根据平行线的性质，可以得出比例关系式，，，代入数据求解即可．
设宽为，则长为，同列出比例关系求解，但是要注意有两种情况，可以为长也可以为宽，分两种情况分别求解即可．
25.【答案】解：如图所示：，即为所求；
如图所示：，即为所求．

【解析】此题主要考查了位似变换以及旋转变换，正确得出对应点位置是解题关键．
直接利用旋转变换的性质得出对应点位置进而得出答案；
直接利用位似图形的性质进而得出对应点位置进而得出答案．
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