第三单元《一次方程与方程组》单元测试卷（困难）（含答案）

中小学教育资源及组卷应用平台
中小学教育资源及组卷应用平台
沪科版初中数学七年级上册第三单元《一次方程与方程组》单元测试卷
考试范围：第三章；考试时间：120分钟；总分120分
学校:___________姓名：___________班级：___________考号：___________
注意事项:
1.答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上。
2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡对应题目的答案标号涂黑；如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号。回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在试卷上无效。
3.考试结束后，本试卷和答题卡一并交回。
第I卷（选择题）
一、选择题（本大题共12小题，共36分）
下列结论：若，且，则方程的解是若有唯一的解，则若，则关于的方程的解为；若，且，则一定是方程的解；其中结论正确个数有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
若关于的方程的解为负数，则的值为( )
A. B. C. D. 且
已知是以为未知数的一元一次方程，如果，那么的值为( )
A. B. C. D.
如图，正方形的轨道上有两个点甲与乙，开始时甲在处，乙在处，它们沿着正方形轨道顺时针同时出发，甲的速度为每秒，乙的速度为每秒，已知正方形轨道的边长为，则乙在第次追上甲时的位置( )
A. 上 B. 上 C. 上 D. 上
佳佳超市推出如下优惠方案：一次性购物不超过元不享受优惠；一次性购物超过元但不超过元一律九折；一次性购物超过元一律八折．吴明两次购物分别付款元、元，如果吴明一次性购买与上两次相同的商品，则应付款( )
A. 元 B. 元
C. 元或元 D. 元或是元
将正整数至按一定规律排列如表：平移表中带阴影的方框，方框中三个数的和可能是( )
A. B. C. D.
已知关于，的方程组，将此方程组的两个方程左右两边分别对应相加，得到一个新的方程，当每取一个值时，就有一个方程，这些方程有一个公共解，这个公共解为( )
A. B. C. D.
已知关于，的二元一次方程组，下列结论中正确的是( )
当这个方程组的解，的值互为相反数时，；
当为正数，为非负数时，；
无论取何值，的值始终不变．
A. B. C. D.
若是方程组的解，则与的关系是 ( )
A. B. C. D.
已知，是整数，满足，，则整数的所有可能值有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
在某学校举行的课间“桌面操”比赛中，为奖励表现突出的班级，学校计划用元钱购买、、三种奖品，种每个元，种每个元，种每个元，在种奖品只能购买个或个且钱全部用完的情况下注：每种方案中都有三种奖品，共有多少种购买方案( )
A. 种 B. 种 C. 种 D. 种
从年月日零点起，铁路实施了第六次大提速，推出了“子弹头”动力组。一普通列车长为米，“子弹头”动力组列车长为米。两列车若同向而行，两车交会的时间为秒；若两列车相向而行，两车交会的时间为秒。求“子弹头”动力组列车和普通列车的速度。若设“子弹头”动力组列车的速度为米秒，普通列车速度为米秒，则可列出方程组为( )
A. B.
C. D.
第II卷（非选择题）
二、填空题（本大题共4小题，共12分）
若关于的方程，无论为任何数时，它的解总是，那么 ．
据我国古代易经记载，远古时期人们通过在绳子上打结来记录数量，即“结绳记数”如图，一位妇女在从右到左依次排列的绳子上打结，满五进一，用来记录采集到的野果的个数．她一共采集到了个野果，则在第根绳子上的打结数是________．
已知关于，的方程组以下结论：当时，方程组的解也是方程的解；存在实数，使得；不论取什么实数，的值始终不变；若则其中正确的是__________．
甲、乙两人匀速骑车从相距千米的，两地同时出发，若两人相向而行，则两人在出发小时后相遇；若两人同向而行，则甲在他们出发后小时追上乙，则甲的速度为_______千米小时．
三、解答题（本大题共9小题，共72分）
我们规定：若关于的一元一次方程的解为，则称该方程为“和解方程”例如：方程的解为，而，则方程为“和解方程”．
请根据上述规定解答下列问题：
已知关于的一元一次方程是“和解方程”，求的值；
已知关于的一元一次方程是“和解方程”，并且它的解是，求，的值．
当取何值时，方程与关于的方程的解相等？
如图，数轴上线段单位长度，单位长度，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，若线段以个单位长度秒的速度向右匀速运动，同时线段以个单位长度秒的速度向左匀速运动．
线段与线段运动多少秒后相遇，从开始相遇到完全离开共经过多长时间？
问运动多少秒时单位长度？
是线段上一点，当点运动到线段上，且点不在线段上时，是否存在关系式若存在，求线段的长；若不存在，请说明理由．
某数学兴趣小组研究我国古代算法统宗里这样一首诗：我问开店李三公，众客都来到店中，一房七客多七客，一房九客一房空．诗中后两句的意思是：如果每一间客房住人，那么有人无房可住；如果每一间客房住人，那么就空出一间房．
求该店有客房多少间？房客多少人？
假设店主李三公将客房进行改造后，房间数大大增加．每间客房收费钱，且每间客房最多入住人，一次性定客房间以上含间，房费按折优惠．若诗中“众客”再次一起入住，他们如何订房更合算？请写出你作出这种决策的理由．
如图，已知数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧的一点，且，两点间的距为动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，设运动时间为秒．
数轴上点表示的数是_______点表示的数是___________用含的代数式表示
动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，若点、时出发，求：
当点运动多少秒时，点与点相遇
当点运动多少秒时，点与点间的距离为个单位长度
甲、乙两位同学在解方程组时，甲把字母看错了得到方程组的解为；乙把字母看错了得到方程组的解为．求，的正确值；
求原方程组的解．
为何值时，方程组的解互为相反数？求这个方程组的解．
疫情期间，为满足市场需求，某厂家每天定量生产医用口罩和口罩共万个当该厂家生产的两种口罩当日全部售出时，则可获得利润万元两种口罩的成本和售价如下表所示：
成本元个 售价元个
医用口罩
口罩
求每天定量生产这两种口罩各多少万个．
该厂家将每天生产的口罩打包每包万个并进行整包批发销售为了支持防疫工作，现从生产的两种口罩中分别抽取若干包口罩免费捐赠给疫情严重的地区，且捐赠的口罩不超过医用口罩的三分之一若该企业把捐赠后剩余的口罩全部售出后，每日仍可盈利万元，则从医用口罩和口罩中各抽取多少包
为满足市民对优质教育的需求，某中学决定改善学校的办学条件，计划拆除一部分旧校舍，建造新校舍，拆除旧校舍每平方米需元，建造新校舍每平方米需元，计划在年内拆除旧校舍与建造新校舍共平方米，在实施中为扩大绿化面积，新建校舍只完成了计划的，而拆除校舍则超过了，结果恰好完成了原计划的拆、建的总面积．
求原计划拆、建面积各多少平方米？
为了鼓励增加城市绿化，该市园林部门有规定：若绿公面积不超过平方米，按每平方米元收费，若绿化面积超过平方米，超过部分按每平方米元收费，那么在实际完成的拆建工程中节余的资金用来绿化大约是多少平方米？
答案和解析
1.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了方程的解的定义，理解定义是关键，根据方程的解的定义，就是能使方程的左右两边相等的未知数的值，即可判断．
【解答】
解：当时，代入方程即可得到，成立，故命题正确；
，去括号得：，即，方程有唯一的解，则，故命题正确；
方程，移项得：，则，，，则，故命题错误；
把代入方程，得到，则一定是方程的解，故命题正确．
故选B．
2.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元一次方程和一元一次不等式的解法，解关于的不等式是本题的一个难点．本题首先要解这个关于的方程，根据解是负数，可以得到一个关于的不等式，就可以求出的范围．
【解答】
解：
解得：，
根据题意得，
解得；
故选B．

3.【答案】
【解析】解：一元一次方程则系数为，且系数
，，
，，
，
，
，
，
，
，，
，，
原式．
故选：．
根据一元一次方程的定义，则系数为，且系数，得出；由，得，，
．
本题主要考查了如何去绝对值以及一元一次方程的定义：只含有一个未知数，并且含有未知数的式子都是整式，未知数的次数是根据一元一次方程的定义求的值．去绝对值时注意、与的关系．
4.【答案】
【解析】解：设乙走秒第一次追上甲，
根据题意，得，
解得，
所以乙走秒第一次追上甲，则乙在第次追上甲时的位置是上；
设乙再走秒第二次追上甲，
根据题意，得，解得，
所以乙再走秒第二次追上甲，则乙在第次追上甲时的位置是上；
同理：乙再走秒第三次次追上甲，则乙在第次追上甲时的位置是上；
同理乙再走秒第四次追上甲，则乙在第次追上甲时的位置是上；
乙在第次追上甲时的位置又回到上；
所以，
所以乙在第次追上甲时的位置是上．
故选：．
根据题意列一元一次方程，然后观察规律，四次一循环，即可求得结论．
本题考查了一元一次方程的应用，解决本题的关键是寻找规律确定位置．
5.【答案】
【解析】
【分析】
此题考查一元一次方程的应用问题，运用了分类讨论思想，解题关键是第二次购物的元可能有两种情况，需要讨论清楚．本题要注意不同情况的不同算法，要考虑到各种情况，不要丢掉任何一种．要求他一次性购买以上两次相同的商品，应付款多少元，就要先求出两次一共实际买了多少元，第一次购物显然没有超过，即是元．第二次就有两种情况，一种是超过元但不超过元一律折；一种是购物超过元一律折，依这两种计算出它购买的实际款数，再按第三种方案计算即是他应付款数求解即可．
【解答】
解：第一次购物显然没有超过，
即在第二次消费元的情况下，他的实质购物价值只能是元．
第二次购物消费元，则可能有两种情况，这两种情况下付款方式不同折扣率不同：
第一种情况：他消费超过元但不足元，这时候他是按照折付款的．
设第二次实质购物价值为，那么依题意有，解得：．
第二种情况：他消费超过元，这时候他是按照折付款的．
设第二次实质购物价值为，那么依题意有，解得：．
即在第二次消费元的情况下，他的实际购物价值可能是元或元．
综上所述，他两次购物的实质价值为或，均超过了元．因此均可以按照折付款：
元，
元，
故选C．
6.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了一元一次方程的应用以及规律型中数字的变化类，找准等量关系，正确列出一元一次方程是解题的关键．设中间数为，则另外两个数分别为、，进而可得出三个数之和为，令其分别等于四个选项中数，解之即可得出的值，由为整数、不能为第一列及第七列数，即可确定值，此题得解．
【解答】
解：设中间数为，则另外两个数分别为、，
三个数之和为．
根据题意得：、、、，
解得：，舍去，，．
，
不合题意，舍去；
，
不合题意，舍去；
，
三个数之和为．
故选D．
7.【答案】
【解析】解：将得，
所以，
因为的取值与公共解无关，
所以有
解得：
所以这个公共解为
故选：．
8.【答案】
【解析】解：解方程组得：，
、互为相反数，
，
，
解得：，故正确；
为正数，为非负数，
，
解得：，故正确；
，，
，即的值始终不变，故正确；
故选：．
先求出方程组，根据相反数得出，求出后即可判断；
根据为正数和为非负数得出，求出不等式组的解后即可判断
根据和求出，即可判断．
本题考查了解二元一次方程组，二元一次方程组的解，解一元一次不等式，求代数式的值等知识点，能求出方程组的解是解此题的关键．
9.【答案】
【解析】解：把果代入方程组，
得，
，得
．
故选C．
所谓“方程组”的解，指的是该数值满足方程组中的每一方程的值，只需将方程的解代入方程组，就可得到关于，、的三元一次方程组，消去就可得到与的关系．
此题主要考查了二元一次方程组的解和消元思想．
10.【答案】
【解析】解：，
，
整理，得
由于、都是整数，
所以或或
即所有可能的值有：、、、、、．
故选：．
用含的代数式表示出，得到关于的一次方程，再用含的代数式表示出，根据、都是整数，得结论．
本题考查了代入消元法解二元一次方程组．解决本题的关键是用含的代数式表示出后变形代数式为整数分式的形式．
11.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程的应用，以及实际问题方案的设计解题关键是要读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系列出方程，再求解．要注意题中未知数的取值必须符合实际意义．
有两个等量关系：购买种奖品钱数购买种奖品钱数购买种奖品钱数；种奖品个数为或个．设两个未知数，得出二元一次方程，根据实际含义确定解．
【解答】
解：设购买种奖品个，购买种奖品个，当种奖品个数为个时，
根据题意，得，
整理，得，
因为，都是正整数，，所以，，，，，，，．
当种奖品个数为个时，
根据题意，得，
整理，得，
因为，都是正整数，，所以，，，，，．
所以有种购买方案．
12.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要参查二元一次方程组的应用分析题意，找到关键描述语，找到合适的等量关系是解决问题的关键．本题需注意追及问题和相遇问题的判断此题中的等量关系为：
动力组秒的路程普通列车秒的路程两车车长之和；
普通列车秒的路程动力组秒的路程两车车长之和．
【解答】
解：根据动力组秒的路程普通列车秒的路程两车车长之和，得方程；
根据普通列车秒的路程动力组秒的路程两车车长之和，得方程．
可列方程组为．
故选A．
13.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查的是一元一次方程的解以及解一元一次方程，解题的关键是正确理解一元一次方程的解的概念．
将代入原方程即可求出答案．
【解答】
解：将代入得，
，
，
由题意可知：无论为任何数时恒成立，
，
，，
，
故答案为．
14.【答案】
【解析】
【分析】
本题是以古代“结绳计数”为背景，按五进一计数，运用了类比的方法，根据图中的数学列式计算；本题题型新颖，一方面让学生了解了古代的数学知识，另一方面也考查了学生运用一元一次方程解决问题的能力．
设在第根绳子上的打结数是个，由于从右到左依次排列的绳子上打结，满进五一，所以从右到左的数分别为、、，结合总数是个列方程解决问题．
【解答】
解：设在第根绳子上的打结数是个，根据题意，得
，
解得：，
所以，在第根绳子上的打结数是个．
故答案为：．
15.【答案】
【解析】
【分析】
本题主要考查二元一次方程的解，二元一次方程组的解，解二元一次方程组的能力，关键是熟练掌握解二元一次方程组的技能和二元一次方程的解的定义．
直接利用二元一次方程组的解法表示出方程组的解进而分别分析得出答案．
【解答】
解：当时，原方程组可整理得：
，
解得：，
把代入得：
，
即正确，
解方程组得：
，
若，
则，
解得：，
即存在实数，使得，
即正确，
解方程组得：
，
，
不论取什么实数，的值始终不变，故正确；
由知，
把，代入得
，
故错误，
其中正确的是 ，
16.【答案】
【解析】
【分析】
本题考查了二元一次方程组的应用，找准等量关系，正确列出二元一次方程组是解题的关键．设甲的速度为千米小时，乙的速度为千米小时，根据“若两人相向而行，则两人在出发小时后相遇；若两人同向而行，则甲在他们出发后小时追上乙”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论．
【解答】
解：设甲的速度为千米小时，乙的速度为千米小时，
依题意，得：
解得：．
故答案为：．

17.【答案】解：方程是和解方程，
是方程的解，
，
解得：．
关于的一元一次方程是“和解方程，并且它的解是，
，且，解得，．
【解析】本题考查了一元一次方程的解、解一元一次方程，解题的关键是：根据“和解方程“的定义列出关于的一元一次方程；根据和解方程的定义列出关于、的方程．
根据和解方程的定义即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论；
根据和解方程的定义即可得出关于、的方程，解之即可得出、的值．
18.【答案】解：方程，
整理得：，
解得：，
把代入方程得：
，
解得：．
【解析】求出第一个方程的解得到的值，代入第二个方程求出的值即可．
此题考查了一元一次方程的解、一元一次方程的解法；熟练掌握一元一次方程的解法，熟记方程的解即为能使方程左右两边相等的未知数的值是解题的关键．
19.【答案】解：，点在数轴上表示的数是，点在数轴上表示的数是，
，
而秒，
线段与线段运动秒后相遇，
又，秒，
线段与线段从开始相遇到完全离开共经过秒长时间；
设运动秒时为单位长度，
当点在点的左边时，由题意得：
，
解得：；
当点在点的右边时，由题意得：
，
解得：．
综合得：当运动秒或秒时；
存在，
设运动时间为秒，
当时，点和点重合，，
点在线段上，
，
，
当时，，即；
此时，
当时，点在点和点之间，，
当点在线段上时，
，，
，
，有，
故时，，
当时，点与点重合，，
，，
，
，有，
故BD，
此时，
综上所述，线段的长为或．
【解析】用长度除以速度和即得线段与线段相遇所用时间，用除以速度和即得线段与线段从开始相遇到完全离开所需时间；
设运动秒时为单位长度，当点在点的左边时，可得，当点在点的右边时，可得，即可解得答案；
设运动时间为秒，分三种情况列方程：当时，点和点重合，可得，当时，点在点和点之间，，可得，故时，，当时，点与点重合，，可得．
本题考查一次方程的应用，解题的关键是读懂题意，分类列方程解决问题．
20.【答案】解：设客房有间，则根据题意可得：
，
解得；
即客人有人；
答：客人有人．
如果每人一个房间，需要，需要间客房，总费用为钱，
如果定间，其中有四个人一起住，有三个人一起住，则总费用钱钱，
所以他们再次入住定间房时更合算．
答：他们再次入住定间房时更合算．
【解析】根据题意设出房间数，进而表示出总人数得出等式方程求出即可；
根据已知条件分别列出两种住房方法所用的钱数，进而比较即可．
本题考查了一元一次方程的应用，熟练掌握一元一次方程的解题方法是解题的关键．
21.【答案】；；
由题意，点表示的数为，
点运动秒时追上点，
根据题意得，
解得，
答：当点运动秒时，点与点相遇；
设点运动秒时，点与点间的距离为个单位长度，
当、相遇前，则，解得；
当、相遇后，则，解得；
答：当点运动或秒时，点与点间的距离为个单位长度．
【解析】
【试题解析】
【分析】
由已知得数轴上点表示的数为，，从而写出数轴上点所表示的数；动点从点出发，运动时间为秒，所以运动的单位长度为，因为沿数轴向左匀速运动，所以点所表示的数是；
点表示的数为，点运动秒时追上点，则，然后解方程得到；
设点运动秒时，点与点间的距离为个单位长度，分两种情况：当、相遇前，则；当、相遇后，则；由此求得答案解即可．
此题考查的知识点是一元一次方程的应用及数轴，注意分类讨论．
【解答】
解：
数轴上点表示的数为，是数轴上在左侧，，
，数轴上点所表示的数为；
点运动秒的长度为，
动点从点出发，以每秒个单位长度的速度沿数轴向左匀速运动，
所表示的数为：；
故答案为；；
见答案

22.【答案】解：根据题意得：，
解得：，，
方程组为，
解得．
【解析】把甲的结果代入方程求出的值，把乙的结果代入方程求出的值；
把，的正确值代入确定出方程组，求出解即可．
此题考查了二元一次方程组的解，方程组的解即为能使方程组中两方程都成立的未知数的值．
23.【答案】解：，
得：，
，
得：，
，
方程组的解互为相反数，
，
，
把代入原方程组的解中：，
，
当时，方程组的解互为相反数，此时这个方程组的解为：．
【解析】先将原方程组中的看作常数，解出方程组的解，由方程组的解互为相反数得到，列式可得的值，代入方程组的解可得结论．
此题考查了二元一次方程组的解和相反数的特点，根据条件得出是本题的关键．
24.【答案】设每天定量生产医用口罩万个，生产口罩万个，依题意，
得 解得
答：每天定量生产医用口罩万个，生产口罩万个．
设从医用口罩中抽取包，口罩中抽取包，
依题意，得，，
，均为正整数，
又捐赠的口罩不超过医用口罩的三分之一，

答：从医用口罩中抽取包、从口罩中抽取包或从医用口罩中抽取包、从口罩中抽取包或从医用口罩中抽取包、从口罩中抽取包．

【解析】本题考查了二元一次方程组的应用以及二元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；找准等量关系，正确列出二元一次方程．
设每天生产医用口罩万个，生产口罩万个，根据“某厂家每天定量生产医用口罩和口罩共万个，且该厂家生产的两种口罩当日全部售出时，可获得利润万元”，即可得出关于，的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设从医用口罩中抽取包，口罩中抽取包，根据免费捐赠后把剩余的口罩全部售出后仍可盈利万元，即可得出关于，的二元一次方程，结合，均为正整数即可得出各结论，再结合捐赠的口罩不超过医用口罩的三分之一即可得出结论．
25.【答案】解：设原计划拆除校舍平方米，新建校舍平方米，
根据题意得：，
解得：．
答：设原计划拆除校舍平方米，新建校舍平方米．
设在实际完成的拆建工程中节余的资金用来绿化平方米校园，
根据题意得：，
解得：．
答：在实际完成的拆建工程中节余的资金用来绿化平方米的校园．
【解析】设原计划拆除校舍平方米，新建校舍平方米，根据计划与实际均拆、建校舍共平方米，即可得出关于、的二元一次方程组，解之即可得出结论；
设在实际完成的拆建工程中节余的资金用来绿化平方米校园，根据扩大绿化所需的费用等于拆、建校舍节余的资金，即可得出关于的一元一次方程，解之即可得出结论．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次方程的应用，解题的关键是：找准等量关系，正确列出二元一次方程组；根据扩大绿化所需的费用等于拆、建校舍节余的资金，列出关于的一元一次方程．
21世纪教育网(www.21cnjy.com)
21世纪教育网(www.21cnjy.com)