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第一章 空间向量与立体几何单元测试
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【解析】
【分析】
平移直线至，将直线与所成的角转化为与所成的角，解三角形即可.
【详解】
如图，连接，因为∥，
所以或其补角为直线与所成的角，
因为平面，所以，又，，
所以平面，所以，
设正方体棱长为2，则，
，所以.
故选：D
2．（2022·天津·高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23 B．24 C．26 D．27
【答案】D
【解析】
【分析】
作出几何体直观图，由题意结合几何体体积公式即可得组合体的体积.
【详解】
该几何体由直三棱柱及直三棱柱组成，作于M，如图，
因为，所以，
因为重叠后的底面为正方形，所以,
在直棱柱中，平面BHC，则,
由可得平面，
设重叠后的EG与交点为
则
则该几何体的体积为.
故选：D.
3．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）设，是互不重合的平面，，，是互不重合的直线，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，，，则
C．若，，，则 D．若，，，，则
【答案】B
【解析】
【分析】
对于A，可能相交，也可能平行，可判断A;根据面面垂直的性质定理可判断B;对于C，判断m,n可能平行也可能异面，即可判断正误，对于D，根据线面垂直的的判定定理可判断.
【详解】
对于A，，，，则可能相交，也可能平行，故A错误‘
对于B, 若，，，，根据面面垂直的性质定理可知，故B正确；
对于C, 若，，，则m,n可能平行也可能异面，故C错误；
对于D，若，，，，由于不能确定m,n是否相交，故不能确定，故D错误，
故选:B
4．（2022·广西桂林·模拟预测（文））如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中
①+与1+1是一对相反向量；
②-1与-1是一对相反向量；
③1+1+1+1与+++是一对相反向量；
④-与1-1是一对相反向量．
正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】A
【解析】
【分析】
由向量的加减运算对各个选项进行检验即可.
【详解】
设E,F分别为AD和A1D1的中点，
①+与+不是一对相反向量，错误；
②-与-不是一对相反向量，错误；
③1+1+1+是一对相反向量,正确；
④-与1-不是一对相反向量,是相等向量，错误．
即正确结论的个数为1个
故选：A
5．（2023·安徽省宣城中学模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点．有下列结论：
①三棱锥在平面上的正投影图为等腰三角形；
②直线平面；
③在棱BC上存在一点E，使得平面平面；
④若F为棱AB的中点，且三棱锥的各顶点均在同一求面上，则该球的体积为．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】D
【解析】
【分析】
对于①，根据正投影的特点，作出投影图形，证明并判断正投影图形；对于②，以点为原点，分别以所在直线为轴建立空间直角坐标系，求平面的法向量，得出法向量与不垂直，进而得到结论错误；对于③，运用向量的坐标表示证明线面垂直，进而得出面面垂直；对于④，根据三棱锥的几何特征，找出外接球球心，进而求出外接球半径，得出外接球体积.
【详解】
对于①，设的中点为，连接，，，
如图，
为的中点，，
又平面，平面，
点，在平面上的正投影分别为，
且点在平面上的正投影分别为其本身，
三棱锥在平面上的正投影图为，
又，
即为等腰三角形，①正确；
对于②，以点为原点，分别以所在直线为轴，
建立空间直角坐标系，如图，
则，
，
，，即，
，，即，
又，平面，平面，
平面，
即是平面的一个法向量，
而，
与不垂直，不与平面平行，②错误；
对于③，如图
设的中点为，连接，由②知，，
，，
，，即，
，，即，
又，平面，平面，
平面，又平面，平面平面，③正确；
对于④，如图，
若为棱AB的中点，又为棱的中点，，
平面，平面，
平面，，
又，和有公共的斜边，
设的中点为，则点到的距离相等，
为三棱锥外接球的球心，为该球的直径，
，，
该球的体积为，④正确.
综上所述，正确的结论为①③④.
故选：D.
6．（2022·四川省绵阳普明中学高二阶段练习（文））二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，，，，则该二面角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
【答案】C
【解析】
【分析】
将向量转化成，然后等式两边同时平方表示出向量的模，再根据向量的数量积求出向量与的夹角，而向量与的夹角就是二面角的补角．
【详解】
由条件，知．
，
，即，
所以二面角的大小为
故选：C．
7．（2022·江苏南京·高二阶段练习）已知正三棱柱的所有棱长都为2，N为棱的中点，动点M满足，λ∈[0，1]，当M运动时，下列选项正确的是（ ）
A．当时，的周长最小
B．当λ=0时，三棱锥的体积最大
C．不存在λ使得AM⊥MN
D．设平面与平面所成的角为θ，存在两个不同的λ值，使得
【答案】B
【解析】
【分析】
根据特殊位置即可判断出周长，根据等体积，可判断高最大，体积最大，根据线面垂直可判断线线垂直，根据二面角的向量求法即可作出判断.
【详解】
当时，是的中点， ,当 时，，, 故当时的周长并不是最小的.故A错.
当λ=0时， ,只需要面积最大体积就最大，此时重合，故B对.
当是中点时，平面 ,又平面，则 ，故C 错.
取中点为,则平面,以所在直线为轴，故建立如图所示空间直角坐标系，平面的法向量为
,故
设平面的法向量为
所以 令 ，则 ，故
，故D不对.
故选：B
8．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）如图，正方体的棱长为a，E是棱的动点，则下列说法正确的（ ）个．
①若E为的中点，则直线平面
②三棱锥的体积为定值
③E为的中点时，直线与平面所成的角正切值为
④过点，C，E的截面的面积的范围是
A．1 B．2 C．3 D．4
【答案】B
【解析】
【分析】
如图,以A为原点,AB,AD,AA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,对于①、③、④利用向量法计算证明；对于②利用等体积法计算即可判断.
【详解】
如图,以A为原点,AB,AD,AA1所在直线为x,y,z轴建立空间直角坐标系,
则B(a,0,0)，C(a,a,0)，D(0,a,0)，，.
所以，.
对于①：当E为的中点时，.设平面的一个法向量为,
则，不妨令x =1,则，
所以平面A1BD的一个法向量为.
又因为，所以与不垂直，所以直线平面不成立.故①错误；
对于②：三棱锥的体积等于三棱锥的体积.
又，高为a,所以.故②错误；
对于③：当E为的中点时，.平面的一个法向量为,
而.
设直线B1E与平面所成的角为，所以.
所以，所以，
即直线与平面所成的角正切值为.故③正确；
对于④：设.因为，，
所以在上得到投影为.
所以点E到直线的距离为.
当z=0，即D、E重合时，截面为矩形，其面积为.
当时，截面为等腰梯形.设截面交于F.所以，
高，所以其面积为.
记，
所以，所以在上单调递减函数，
所以，即.
因为，所以
当z=a，即D1、E重合时，截面为边长为的正三角形，其面积为.
综上所述：.故④正确.
故选：B
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2021·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是
C．和夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是
【答案】BD
【解析】
【分析】
根据共线向量的坐标表示可知A错误；
根据与同向的单位向量为，计算可知B正确；
利用向量夹角公式计算可知C错误；
根据法向量的求法可知D正确.
【详解】
对于A，，，可知，与不共线，A错误；
对于B，，，，即与同向的单位向量是，B正确；
对于C，，，
即和夹角的余弦值为，C错误；
对于D，设平面的法向量，
则，令，解得：，，，
即平面的一个法向量为，D正确.
故选：BD.
10．（2021·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面．下列说法中正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
【答案】AD
【解析】
【分析】
根据空间中的线面、面面关系逐一判断即可.
【详解】
由线面平行的性质可得A正确；
若，，则或，故B错误；
由，，推不出，也可能有，故C错误；
若，，则，又，则，故D正确；
故选：AD
11．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）如图，在边长为的正方体中，点在底面正方形内运动，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点使得平面
B．若，则动点的轨迹长度为
C．若平面，则动点的轨迹长度为
D．若平面，则三棱锥的体积为定值
【答案】BD
【解析】
【分析】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立空间直角坐标系，利用空间向量法可判断AC选项；利用空间中两点间的距离公式可判断B选项；利用锥体的体积公式可判断D选项.
【详解】
以点为坐标原点，、、所在直线分别为、、轴建立如下图所示的空间直角坐标系，
则、、、，
设点，其中，，
设平面的法向量为，，，
则，取，则，
，若平面，则，
则，解得，，不合乎题意，A错；
对于B选项，若，可得，
则点在平面内的轨迹是以点为圆心，半径为的圆的，
所以，动点的轨迹长度为，B对；
对于C选项，若平面，则，
则，
所以，点在底面的轨迹为线段，故点的轨迹长度为，C错；
对于D选项，因为平面平面，
若平面，则点的轨迹为线段，
因为且，所以，四边形为平行四边形，
所以，，，则点到平面的距离为定值，
又因为的面积为定值，则为定值，D对.
故选：BD.
12．（2022·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）已知三棱锥，，是边长为2的正三角形，E为中点，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．异面直线与所成的角的余弦值为
C．与平面所成的角的正弦值为 D．三棱锥外接球的表面积为
【答案】ACD
【解析】
【分析】
对于A：取AC的中点F，连接PF,BF，证明出面，即可得到.对于B、C：先证明出，，.可以以P为原点，为xyz轴正方向建立空间直角坐标系.利用向量法求解；对于D：把三棱锥还以为正方体，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球.即可求解.
【详解】
对于A：
在三棱锥，，是边长为2的正三角形，取AC的中点F，连接PF,BF，则.
又，所以面，所以.故A正确.
对于B：因为，，,所以面，所以，.
在三棱锥，，是边长为2的正三角形，所以三棱锥为正三棱锥，所以.
所以.
可以以P为原点，为xyz轴正方向建立空间直角坐标系.
则，，，，.
所以,.
设异面直线与所成的角为，则.
即异面直线与所成的角的余弦值为.故B错误；
对于C：，.
设平面ABC的一个法向量为，则,不妨设x=1，则.
设与平面所成的角为，则.
即与平面所成的角的正弦值为.故C正确.
对于D：把三棱锥还以为正方体，则三棱锥的外接球即为正方体的外接球.
设其半径为R，由正方体的外接球满足,所以.
所以球的表面积为.故D正确.
故选：ACD.
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2022·四川·树德中学高二阶段练习（理））已知梯形ABCD和矩形CDEF．在平面图形中，，．现将矩形CDEF沿CD进行如图所示的翻折，满足面ABCD垂直于面CDEF．设，，若面DBN，则实数的值为______．
【答案】3
【解析】
【分析】
建立空间直角坐标系，求出面DBN的法向量，表示出，由求出的值即可.
【详解】
易得，又面面CDEF，面ABCD面CDEF，又面，则面CDEF，
又面CDEF，则，以为原点建立如图所示空间直角坐标系，则，
又，
同理可得，设面DBN的法向量为，
则，令，则，又，
又面DBN，则，解得.
故答案为：3.
14．（2022·浙江嘉兴·高一期末）如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______．
【答案】##-0.125
【解析】
【分析】
根据给定条件，证明平面PAB，将用表示出，再结合空间向量数量积的运算律求解作答.
【详解】
连接，如图，
因平面ABC，平面ABC，则，而，，平面PAB，
则平面PAB，又平面PAB，即有，
因M是AC的中点，则，又，
，当且仅当取“=”，
所以的最小值为.
故答案为：
15．（2022·青海·模拟预测（理））手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．
【答案】##
【解析】
【分析】
以为原点建立空间直角坐标系，求出，利用向量关系即可求出.
【详解】
如图，以为原点建立空间直角坐标系，
因为，，
所以可得，
所以，
所以，
所以异面直线PQ与MN所成角的余弦值是.
故答案为：.
16．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））一个正方体的平面展开图如图所示.在该正方体中，以下命题正确的是___________.（填序号）
①；
②平面；
③与是异面直线且夹角为；
④与平面所成的角为；
⑤二面角的大小为.
【答案】①②③⑤
【解析】
【分析】
由正方体的平面展开图可得正方体，建立空间直角坐标系，利用空间向量法计算可得；
【详解】
解：由正方体的平面展开图可得正方体（其中与重合），
如图建立空间直角坐标系，令正方体的棱长为，
则，，，，，，，，，
所以，，所以，所以，故①正确；
，，
所以，，即，，，
平面，所以平面，即②正确；
，显然与是异面直线，设与所成角为，
则，因为，所以，故③正确；
，平面的法向量可以为，
设与平面所成的角为，所以，故④错误；
，，设平面的法向量为，
则，令，所以，
设二面角为，显然二面角为锐二面角，
则，所以，故⑤正确；
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2022·河南·修武一中高二开学考试（文））如图，在直三棱柱中，，，M为AB的中点．
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）连接交AC于点N，连接，则由三角形中位线定理可得，然后由线面平行的判定定理可证得结论，
（2）由，利用等体积法求解
（1）连接交于点，则为中点，连接，∵M为AB中点，∴，∵平面，平面，∴//平面，
（2）∵，，∴AC⊥平面，∴，∵在直三棱柱中，，，M为AB的中点．∴，，∵为中点，∴，∴，∴设点到平面的距离为h，由得，解得．
18．（2022·河南·修武一中高二开学考试（文））如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为菱形，，．
(1)证明：平面PAB⊥平面ABCD；
(2)求二面角P－AD－B的余弦值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
【解析】
【分析】
（1）作图，取AB的中点E，连接PE，DE，分析图中的几何关系，即可证明；
（2）根据第1问的结果，过点E作，垂足为F，则∠PFE即为二面角P—AD—B的平面角.
（1）取AB的中点E，连接PE，DE，则，由已知可得，∴， 平面ABCD， 平面ABCD，∵∴PE⊥平面ABCD，∵PE平面PAB，∴平面PAB⊥平面ABCD；
（2）过点E作，垂足为F，连接PF，则AD⊥平面PEF，∴ ，∴∠PFE即为二面角P—AD—B的平面角，在 中，EF是AD边上的高，运用等面积法得：，，∴，∴二面角P－AD－B的余弦值为；综上，二面角P－AD－B的余弦值为.
19．（2021·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）如图，在三棱锥中，平面ABC，，，点E，F分别是AB，AD的中点.
（1）求证：平面BCD；
（2）设，求直线AD与平面CEF所成角的正弦值
【答案】（1）证明见解析，（2）
【解析】
【分析】
（1）由平面ABC，可得，由可得，然后由线面垂直的判定定理可结论，
（2）如图建立空间直角坐标系，利用空间向量求解即可
【详解】
（1）证明：因为平面ABC，平面ABC，
所以，
因为，所以，
因为，
所以平面BCD；
（2）解：因为平面ABC，平面ABC，
所以，
所以两两垂直，所以以为原点，分别以为轴建立空间直角坐标系，如图所示，则，则,
因为点E，F分别是AB，AD的中点,所以,
所以，
设平面的一个法向量为，则
，令，则，
直线AD与平面CEF所成角为，则
，
所以直线AD与平面CEF所成角的正弦值为
20．（2021·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求平面与平面所成角；
(3)若线段上总存在一点，使得，求的最大值．
【答案】(1)证明见解析
(2)
(3)
【解析】
【分析】
（1）设，连接，进而证明即可证明结论；
（2）根据题意平面，进而以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，利用坐标法求解即可；
（3）设，其中，进而结合题意得，再求解即可.
(1)
证明：设，连接，
因为矩形中是线段的中点，是线段的中点，
所以，，所以为平行四边形，
所以，
又平面，平面，
所以平面；
(2)
解：由题意，正方形和矩形所在的平面互相垂直，
因为平面平面，，
所以平面，
所以，以为轴，为轴，为轴，建立如图所示空间直角坐标系，
若，则，
则，，
可知平面的一个法向量为，
设平面的法向量为，
则由，可知，
不妨令，则，，即，
设平面与平面所成角为，
因为为锐角，所以，
所以平面与平面所成角的大小为．
(3)
解：，则，
因为点在线段上，设，其中，
则，从而点坐标为，
于是，而，
则由可知，即，
所以，解得，故的最大值为
21．（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））在如图所示的直三棱柱中，为正三角形，且，点分别为的中点.
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求二面角的余弦值.
【答案】(1)
(2)
【解析】
【分析】
（1）分别取的中点，连接，以为原点，分别以和所在直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系，由空间向量法求线面角的正弦值；
（2）由空间向量法求二面角．
（1）在直三棱柱中，因为为正三角形，分别取的中点，连接，，于是平面，平面，则.
如图，以为原点，分别以和所在直线为轴、轴和轴，建立空间直角坐标系.因为为的中点，所以，.因为点分别为的中点，所以.所以.设为平面的法向量，由得不妨取，可得.则.设直线与平面所成的角为，则.所以直线与平面所成角的正弦值为.
（2）因为，所以.设为平面的法向量，由得不妨取，可得，则.由（1）知为平面的一个法向量，所以.由图知二面角的平面角为锐角，故二面角的余弦值为.
22．（2022·河南·高三阶段练习（理））如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，且侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2AD．E，F，H分别是PA，PD，AB的中点，G为DF的中点．
(1)证明：平面BEF；
(2)求PC与平面BEF所成角的正弦值．
【答案】(1)证明见解析；
(2).
【解析】
【分析】
（1）取AE中点M，利用线面平行的判定定理可得平面BEF，平面BEF，再利用面面平行的判定定理及性质定理即得；
（2）利用坐标法，根据线面角的向量求法即得.
（1）如图，取AE中点M，连接MG，MH，∵E，F分别是PA，PD的中点，∴，又G，M分别是DF，AE的中点，∴，∵平面BEF，平面BEF，∴平面BEF，同理，M，H分别是AE，AB的中点，∴，∵平面BEF，平面BEF，∴平面BEF，又∵，平面，平面，∴平面平面BEF，∵平面MHG，∴平面BEF；
（2）如图，以A为坐标原点，，，的方向分别为轴的正方向建立空间直角坐标系，设，则，，，，，可得，，，设平面BEF的法向量为，可得，即，令x＝1，得，故，即PC与平面BEF所成角的正弦值为．
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第一章 空间向量与立体几何单元测试
考试时间：120分钟 满分：150分
一、单选题：本大题共8小题，每个小题5分，共40分.在每小题给出的选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．（2021·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）在正方体中，P为的中点，则直线与所成的角为（ ）
A． B． C． D．
2．（2022·天津·高考真题）如图，“十字歇山”是由两个直三棱柱重叠后的景象，重叠后的底面为正方形，直三棱柱的底面是顶角为，腰为3的等腰三角形，则该几何体的体积为（ ）
A．23 B．24 C．26 D．27
3．（2022·浙江·诸暨市教育研究中心高二学业考试）设，是互不重合的平面，，，是互不重合的直线，下列命题中正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，，，则
C．若，，，则 D．若，，，，则
4．（2022·广西桂林·模拟预测（文））如图，已知正方体ABCD-A1B1C1D1的中心为O，则下列结论中
①+与1+1是一对相反向量；
②-1与-1是一对相反向量；
③1+1+1+1与+++是一对相反向量；
④-与1-1是一对相反向量．
正确结论的个数为（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2023·安徽省宣城中学模拟预测）如图，已知正方体的棱长为2，M，N分别为，的中点．有下列结论：
①三棱锥在平面上的正投影图为等腰三角形；
②直线平面；
③在棱BC上存在一点E，使得平面平面；
④若F为棱AB的中点，且三棱锥的各顶点均在同一求面上，则该球的体积为．
其中正确结论的个数是（ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
6．（2022·四川省绵阳普明中学高二阶段练习（文））二面角的棱上有A、B两点，直线AC、BD分别在这个二面角的两个半平面内，且都垂直于AB，已知，，，，则该二面角的大小为（ ）
A．30° B．45° C．60° D．120°
7．（2022·江苏南京·高二阶段练习）已知正三棱柱的所有棱长都为2，N为棱的中点，动点M满足，λ∈[0，1]，当M运动时，下列选项正确的是（ ）
A．当时，的周长最小
B．当λ=0时，三棱锥的体积最大
C．不存在λ使得AM⊥MN
D．设平面与平面所成的角为θ，存在两个不同的λ值，使得
8．（2022·浙江·乐清市知临中学模拟预测）如图，正方体的棱长为a，E是棱的动点，则下列说法正确的（ ）个．
①若E为的中点，则直线平面
②三棱锥的体积为定值
③E为的中点时，直线与平面所成的角正切值为
④过点，C，E的截面的面积的范围是
A．1 B．2 C．3 D．4
二、多选题：本大题共4小题，每个小题5分，共20分.在每小题给出的选项中，只有一项或者多项是符合题目要求的.
9．（2021·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）已知空间中三点，，，则下列说法正确的是（ ）
A．与是共线向量 B．与同向的单位向量是
C．和夹角的余弦值是 D．平面的一个法向量是
10．（2021·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）已知，是两条不同的直线，，，是三个不同的平面．下列说法中正确的是（ ）
A．若，，，则 B．若，，则
C．若，，，则 D．若，，，则
11．（2022·重庆巴蜀中学高三阶段练习）如图，在边长为的正方体中，点在底面正方形内运动，则下列结论正确的是（ ）
A．存在点使得平面
B．若，则动点的轨迹长度为
C．若平面，则动点的轨迹长度为
D．若平面，则三棱锥的体积为定值
12．（2022·湖北省汉川市第一高级中学高一期末）已知三棱锥，，是边长为2的正三角形，E为中点，，则下列结论正确的是（ ）
A． B．异面直线与所成的角的余弦值为
C．与平面所成的角的正弦值为 D．三棱锥外接球的表面积为
三、填空题：本大题共4小题，每小题5分，共20分.把答案填在答题卡中的横线上.
13．（2022·四川·树德中学高二阶段练习（理））已知梯形ABCD和矩形CDEF．在平面图形中，，．现将矩形CDEF沿CD进行如图所示的翻折，满足面ABCD垂直于面CDEF．设，，若面DBN，则实数的值为______．
14．（2022·浙江嘉兴·高一期末）如图，在三棱锥中，，平面ABC，于点E，M是AC的中点，，则的最小值为______．
15．（2022·青海·模拟预测（理））手工课可以提高学生的动手能力、反应能力、创造力，使学生在德、智、体、美、劳各方面得到全面发展，某小学生在一次手工课上制作了一座漂亮的房子模型，它可近似地看成是一个直三棱柱和一个长方体的组合图形，其直观图如图所示，，，P，Q，M，N分别是棱AB，，，的中点，则异面直线PQ与MN所成角的余弦值是______．
16．（2022·河南·新蔡县第一高级中学高二阶段练习（理））一个正方体的平面展开图如图所示.在该正方体中，以下命题正确的是___________.（填序号）
①；
②平面；
③与是异面直线且夹角为；
④与平面所成的角为；
⑤二面角的大小为.
四、解答题：本大题共6小题，共70分.解答应写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤．
17．（2022·河南·修武一中高二开学考试（文））如图，在直三棱柱中，，，M为AB的中点．
(1)证明：平面；
(2)求点到平面的距离．
18．（2022·河南·修武一中高二开学考试（文））如图，在四棱锥P－ABCD中，四边形ABCD为菱形，，．
(1)证明：平面PAB⊥平面ABCD；
(2)求二面角P－AD－B的余弦值．
19．（2021·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）如图，在三棱锥中，平面ABC，，，点E，F分别是AB，AD的中点.
（1）求证：平面BCD；
（2）设，求直线AD与平面CEF所成角的正弦值
20．（2021·广东·汕头市潮阳区棉城中学高二期中）如图，已知正方形和矩形所在的平面互相垂直，，，是线段的中点．
(1)求证：平面；
(2)若，求平面与平面所成角；
(3)若线段上总存在一点，使得，求的最大值．
21．（2022·全国·长垣市第一中学高三开学考试（理））在如图所示的直三棱柱中，为正三角形，且，点分别为的中点.
(1)求直线与平面所成角的正弦值；
(2)求二面角的余弦值.
22．（2022·河南·高三阶段练习（理））如图，在四棱锥中，底面ABCD为正方形，且侧棱PA⊥底面ABCD，PA＝2AD．E，F，H分别是PA，PD，AB的中点，G为DF的中点．
(1)证明：平面BEF；
(2)求PC与平面BEF所成角的正弦值．
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