北师大版九年级上册1.3 正方形的判定课件(共24张PPT)

(共24张PPT)
第一章 特殊平行四边形
1.2.2 正方形的判定
学习目标
1．探索并证明正方形的判定，并了解平行四边形、
矩形、菱形之间的联系和区别；(重点、难点)
2．会运用正方形的判定条件进行有关的论证和计算 .
(难点)
问题1 什么是正方形？正方形有哪些性质？
A
B
C
D
O
新课导入
正方形：有一组邻边相等，并且有一个角是直角的平行四边形.
正方形性质：①四个角都是直角;
②四条边都相等;
③对角线相等且互相垂直平分；
④既是中心对称图形也是轴对称图形.
问题2 你是如何判断是矩形、菱形？
平行四边形
矩形
菱形
四边形
三个角是直角
四条边相等
定义
四个判定定理
定义
对角线相等
定义
对角线垂直
思考 怎样判定一个四边形是正方形呢？
讲授新课—正方形的的判定
有一个角是直角
菱形
正方形
有一组邻边相等
正方形
矩形
定理：有一组邻边相等的矩形是正方形
定理：有一个角是直角的菱形是正方形
满足什么条件的矩形是正方形？满足什么条件的 菱形是正方形？
已知：如图,在矩形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC⊥DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是矩形,
∴ AO=CO=BO=DO ，∠ADC=90°.
∵AC⊥DB,
∴ AD=AB=BC=CD,
∴四边形ABCD是正方形.
证一证
A
B
C
D
O
对角线互相垂直的矩形是正方形.
已知：如图,在菱形ABCD中,AC , DB是它的两条对角线,
AC=DB.
求证：四边形ABCD是正方形.
证明：∵四边形ABCD是菱形,
∴AB=BC=CD=AD,AC⊥DB.
∵AC=DB,
∴ AO=BO=CO=DO,
∴△AOD,△AOB,△COD,△BOC是等腰直角三角形，
∴∠DAB=∠ABC=∠BCD=∠ADC=90°,
∴四边形ABCD是正方形.
证一证
A
B
C
D
O
对角线相等的菱形是正方形.
正方形判定的几条途径：
正方形
正方形
+
+
先判定菱形
先判定矩形
矩形条件(二选一)
菱形条件(二选一)
一个直角，
一组邻边相等，
总结归纳
对角线相等
对角线垂直
平行四边形
正方形
一组邻边相等
一内角是直角
例1：如图,在矩形ABCD中, BE平分∠ABC , CE平分∠DCB , BF∥CE , CF∥BE.
求证：四边形BECF是正方形.
F
A
B
E
C
D
45°
45°
F
A
B
E
C
D
证明: ∵ BF∥CE,CF∥BE，
∴四边形BECF是平行四边形.
∵四边形ABCD是矩形,
∴ ∠ABC = 90°, ∠DCB = 90°,
∵BE平分∠ABC, CE平分∠ DCB,
∴∠EBC = 45°, ∠ECB = 45°,
∴ ∠ EBC =∠ ECB .
∴ EB=EC,∴□ BECF是菱形 .
在△EBC中
∵ ∠EBC = 45°,∠ECB = 45°,
∴∠BEC = 90°,
∴菱形BECF是正方形.
在四边形ABCD中，O是对角线的交点，能判定这个四边形是正方形的是（ ）
A．AC=BD，AB∥CD，AB=CD
B．AD∥BC，∠A=∠C
C．AO=BO=CO=DO，AC⊥BD
D．AO=CO，BO=DO，AB=BC
练一练
C
A
B
C
D
O
讲授新课—奇妙的中点四边形
探索一：如图，在四边形ABCD中，E、F、G、H分别是AB、AD、BC、DC的中点，连接EF，GH。
（1）请猜想EF和GH的关系；
（2）连接EG、FH，则四边形EFHG是_________.
探索二：如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？
平行四边形
矩形
菱形
正方形
探索二：如果四边形ABCD变为特殊的四边形，中点四边形EFGH会有怎样的变化呢？
平行四边形的中点四边形是平行四边形
矩形的中点四边形是菱形
菱形的中点四边形是矩形
正方形的中点四边形是正方形
探索三：请你设计一个中点四边形为正方形，但原四边形不是正方形的四边形
想一想：原四边形的对角线有哪些特点？
相等且垂直
“筝形”
探索四：一般四边形的中点四边形
原四边形 对角线关系
所得中点 四边形
垂直不相等
菱形
相等不垂直
矩形
不相等
不垂直
平行四边形
相等且垂直
正方形
1.下列命题正确的是（ ）
A.四个角都相等的四边形是正方形
B.四条边都相等的四边形是正方形
C.对角线相等的平行四边形是正方形
D.对角线互相垂直的矩形是正方形
D
随堂练习
2.如图，已知四边形ABCD是平行四边形，下列结论中不正确的是（　　）
A．当AB=BC时，四边形ABCD是菱形
B．当AC⊥BD时，四边形ABCD是菱形
C．当∠ABC=90°时，四边形ABCD是矩形
D．当AC=BD时，四边形ABCD是正方形
D
3.如图，四边形ABCD中，∠ABC=∠BCD=∠CDA
=90°，请添加一个条件____________________，可得出该四边形是正方形．
AB=BC(答案不唯一)
A
B
C
D
O
4.已知四边形ABCD是平行四边形，再从①AB=BC，②∠ABC=90°，③AC=BD，④AC⊥BD四个条件中，选两个作为补充条件后，使得四边形ABCD是正方形，其中错误的是_________________（只填写序号）．
②③或①④
5. 证明：有一个角是直角的菱形是正方形
教材P24随堂练习（1）
6．已知：如图，E，F 是正方形 ABCD 的对角线 BD 上的两点，且 BE = DF．
求证：四边形 AECF 是菱形
证明：∵四边形ABCD是正方形，
∴AD=CB,AD∥CB.
∴∠ADF=∠CBE.
又∵BE=DF,
∴△ADF≌△CBE（SAS），
∴AF=CE,∠AFD=∠CEB.
∴∠AFE=∠CEF.∴AF∥CE.
∴四边形AECF是平行四边形.
∵AD=AB,∴∠ADF=∠ABE.
又∵BE=DF,∴△AFD≌△AEB（SAS）.
∴AF=AE.
∴四边形AECF是菱形（一组邻边相等的平行四边形是菱形）.
教材P25知识技能2
7．如图，在正方形 ABCD 中，E，F，G，H 分别在它的四条边上，且 AE = BF = CG = DH．四边形 EFGH 是什么特殊四边形？你是如何判断的？
解：四边形EFGH是正方形.
理由如下：在正方形ABCD中，
AB=BC=CD=AD,
∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
∵AE=BF=CG=DH,
∴BE=CF=DG=AH.
∴△AEH≌△BFE≌△CGF≌△DHG(SAS).
∴∠AEH=∠DHG,HE=EF=FG=GH.
∴四边形EFGH是菱形.
∵∠AEH+∠AHE=90°，
∴∠DHG+∠AHE=90°.
∴∠EHG=90°.
∴四边形EFGH是正方形.
教材P25数学理解3
8.如图，正方形ABCD 的对角线相交于点 O，正方形 A' B' C' O 与正方形 ABCD 的边长相等．在正方形 A' B' C' O 绕点 O 旋转的过程中，两个正方形重叠部分的面积与正方形 ABCD 的面积有什么关系？请证明你的结论
解：重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的 .证明如下：
①重叠部分为等腰直角三角形时,重叠部分的面积为正方形ABCD面积的 ,即S重叠=S△AOB=S△BOC=
S△COD=S△AOD= S正方形ABCD.
②重叠部分为四边形时,设OA′与AB相交于
点E,OC′与BC相交于点F.
∵四边形ABCD是正方形，
∴OA=OB,∠EAO=∠FBO=45°,∠AOB=90°
又∵∠A'OC'=90°,∴∠AOE=∠BOF.
∴△AOE≌△BOF(AAS).
∴S△AOE=S△BOF.
∴S重叠=S△BOE+S△BOF=S△BOE+S△AOE=
S△AOB= S正方形ABCD.
综上，重叠部分的面积等于正方形ABCD面积的 .
教材P25联系拓广
5种判定方法
三个角是直角
四条边相等
一个角是直角
或对角线相等
一组邻边相等
或对角线垂直
一组邻边相等
或对角线垂直
一个角是直角
或对角线相等
一个角是直角且一组邻边相等
平行四边形、矩形、菱形、正方形的判定小结
课堂小结