2.5 一元二次方程的根与系数的关系 同步练习（含解析）

2.5 一元二次方程的根与系数的关系
一、选择题
若关于x的一元二次方程x2 2x+ m=0有一个解为x= 1，则另一个解为( )
A. 1 B. 3 C. 3 D. 4
若m、n是一元二次方程x2+3x 9=0的两个根，则m2+4m+n的值是( )
A. 4 B. 5 C. 6 D. 12
已知关于x的一元二次方程a(x 2)2+c=0的两根为x1= 2，x2=6，则一元二次方程ax2 2ax+a+c=0的根为( )
A. 0，4 B. 3，5 C. 2，4 D. 3，1
若α，β是一元二次方程3x2+2x 9=0的两根，则βα+αβ的值是( )
A. 427 B. 427 C. 5827 D. 5827
已知关于x的一元二次方程x2 3x+p=0(p≠0)的两个不相等的实数根分别为a和b，若a2 ab+b2=18，则ab+ba的值是( )
A. 3 B. 3 C. 5 D. 5
若一元二次方程x2 7x+5=0的两个实数根分别是a，b，则一次函数y=abx+a+b的图象一定不经过( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
下列方程两根之和是 2的是( )
A. x2+2x+3=0 B. x2 2x 3=0
C. x2+2x 3=0 D. x2 2x+3=0
下列一元二次方程没有实数根的是( )
A. x2+2x+1=0 B. x2 2x l=0
C. x2 1=0 D. x2+x+2=0
若一元二次方程x2 x 2=0的两根为x1，x2，则(1+x1)+x2(1 x1)的值是( )
A. 4 B. 2 C. 1 D. 2
二、填空题
已知x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k 1=0的两个实数根，且x12+x22 x1x2=13，则k的值为______．
若菱形的两条对角线的长分别是方程x2 10x+24=0的两个实数根，则菱形的面积为 ．
如果关于x的一元二次方程x2+3x 7=0的两根分别为α，β，那么α2+4α+β= ．
已知一元二次方程x2+2x 8=0的两根为x1、x2，则x2x1+2x1x2+x1x2=______．
三、解答题
已知x1，x2是方程x2 3x 2=0的两根，不解方程，求下列各式的值：
(1)1x1+1x2;
(2)x12+x22;
(3)(x1 2)(x2 2)．
不解方程，求下列方程的两个根x1，x2的和与积：(1)x2 2x=5;
(2)3x2+2x=2(x+1)．
已知关于x的一元二次方程x2 4x 2k+8=0有两个实数根x1，x2．
(1)求k的取值范围；
(2)若x13x2+x1x23=24，求k的值．
答案和解析
1.【答案】C
【解答】解：设方程的另一个解为x1，
根据题意得 1+x1=2，
解得x1=3．
故选C．
2.【答案】C
【解析】解：∵m、n是一元二次方程x2+3x 9=0的两个根，
∴m+n= 3，mn= 9，
∵m是x2+3x 9=0的一个根，
∴m2+3m 9=0，
∴m2+3m=9，
∴m2+4m+n=m2+3m+m+n=9+(m+n)=9 3=6．
3.【答案】B
4.【答案】C
【解答】
解：∵α、β是一元二次方程3x2+2x 9=0的两根，
∴α+β= 23，αβ= 3，
∴βα+αβ=β2+α2αβ=α+β2 2αβαβ= 232 2× 3 3= 5827，
故选C．
5.【答案】D
【解析】解：∵a，b为方程x2 3x+p=0 (p≠0)的两个不相等的实数根，
∴a+b=3，ab= p，
∵a2 ab+b2=(a+b)2 3ab=32 3p= 18，
∴p= 3．
当p= 3时，△=( 3)2 4p= 9+12=21>0，
∴p= 3符合题意．
ab+ba= a2+b2ab=(a+b)2 2abab=(a+b)2ab 2=32 3 2= 5．
故选D．
6.【答案】D
【解答】
解：∵方程x2 7x+5=0的两个实数根分别是a、b，
∴a+b=7，ab=5，
则一次函数的解析式为y=5x+7，
∴该一次函数图象经过第一、二、三象限，不经过第四象限，
故选D．
7.【答案】C
【解析】利用根与系数的关系，同时考虑△≥0情况
8.【答案】D
【解析】解：选项A：△=4 1>0，故A有两个不相等的实数根，A不符合题意；
选项B：△=( 2)2 4×1×( 1)=4+4=8>0，故B有两个不相等的实数根，B不符合题意；
选项C：很明显，方程有实数根为±1，故C不符合题意；
选项D：△=1 4×2= 7<0，故D没有实数根．
9.【答案】A
【解析】解：根据题意得x1+x2=1，x1x2= 2，
所以(1+x1)+x2(1 x1)=1+x1+x2 x1x2=1+1 ( 2)=4．
故选：A．
根据根与系数的关系得到x1+x2=1，x1x2= 2，然后利用整体代入的方法计算(1+x1)+x2(1 x1)的值．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根时，x1+x2= ba，x1x2=ca．
10.【答案】 2
【解析】解：根据题意得：x1+x2= 2，x1x2=k 1，
x12+x22 x1x2
=(x1+x2)2 3x1x2
=4 3(k 1)
=13，
解得k= 2，
故答案为： 2．
根据“x1，x2是关于x的一元二次方程x2+2x+k 1=0的两个实数根，且x12+x22 x1x2=13”，结合根与系数的关系，列出关于k的一元一次方程，解之即可．
本题考查了根与系数的关系，正确掌握一元二次方程根与系数的关系是解题的关键．
11.【答案】12
12.【答案】4
13.【答案】 372
【解析】解：∵一元二次方程x2+2x 8=0的两根为x1、x2，
∴x1+x2= 2，x1 x2= 8，
∴x2x1+2x1x2+x1x2
=2x1x2+x22+x12x1x2
=2×( 8)+(x1+x2)2 2x1x2 8
= 16+( 2)2 2×( 8) 8
= 372，
故答案为： 372．
14.【答案】解：由题意，知x1+x2=3，x1 x2= 2．
(1)1x1+1x2=x2+x1x1x2=3 2= 32．
(2)x12+x22=(x1+x2)2 2x1x2=32 2×( 2)=13．
(3)(x1 2)(x2 2)=x1 x2 2(x1+x2)+4= 2 2×3+4= 4．
15.【答案】解：(1)原方程变形为x2 2x 5=0，
∴x1+x2=2，x1x2= 5．
(2)原方程变形为3x2 2=0，
∴x1+x2=0，x1x2= 23．
16.【答案】解：(1)由题意可知，△=( 4)2 4×1×( 2k+8)≥0，
整理得：16+8k 32≥0，
解得：k≥2，
∴k的取值范围是：k≥2．
故答案为：k≥2．
(2)由题意得：x13x2+x1x23=x1x2[(x1+x2)2 2x1x2]=24，
由韦达定理可知：x1+x2=4，x1x2= 2k+8，
故有：( 2k+8)[42 2( 2k+8)]=24，
整理得：k2 4k+3=0，
解得：k1=3，k2=1，
又由(1)中可知k≥2，
∴k的值为k=3．
故答案为：k=3．