1.3.2 正方形的判定 同步练习（含答案）

1.3.2 正方形的判定
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. 如图是以正方形的边长为直径，在正方形内画半圆得到的图形，则此图形的对称轴有(　　)
A．2条 B．4条 C．6条 D．8条
2. 在菱形ABCD中，若要添加一个条件后，使它是正方形，则添加的条件可以是(　　)
A．AB＝AD B．AB⊥BC
C．AC⊥BD D．AC平分∠BAD
3. 如果要证明平行四边形ABCD为正方形，那么我们需要在四边形ABCD是平行四边形的基础上，进一步证明(　　)
A．AB＝BD且AC⊥BD B．∠A＝90°且AB＝AD
C．∠A＝90°且AC＝BD D．AC和BD互相垂直平分
4. 如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，BC的垂直平分线EF交BC于点D，交AB于点E，且BE＝BF.添加一个条件，仍不能证明四边形BECF为正方形的是( )
A．BC＝AC B．CF⊥BF
C．BD＝DF D．AC＝BF
5. 如图，矩形纸片ABCD中，AB＝6 cm，BC＝8 cm.现将其沿AE对折，使得点B落在边AD上的点B1处，折痕与边BC交于点E，则CE的长为( )
A．6 cm B．4 cm C．3 cm D．2 cm
6. 如图，将一张矩形纸片对折两次，然后剪下一个角，打开．如果要剪出一个正方形，那么剪口线与折痕成( )
A. 22.5°角 B．30°角 C．45°角 D．60°角
7. 如图，正方形ABCD的边长为8，在各边上顺次截取AE＝BF＝CG＝DH＝5，则四边形EFGH的面积是(　　)
A．30 B．34 C．36 D．40
8. 明在学习了正方形之后，给同桌小文出了道题：从下列四个条件：①AB＝BC；②∠ABC＝90°；③AC＝BD；④AC⊥BD中选两个作为补充条件，使 ABCD为正方形(如图)，现有下列四种选法，你认为其中错误的是( )
A．①② B．②③ C．①③ D．②④
9. 下面是关于某个四边形的三个结论：①它的对角线相等；②它是一个正方形；③它是一个矩形．下列推理过程正确的是(　　)
A．由②推出③，由③推出① B．由①推出②，由②推出③
C．由③推出①，由①推出② D．由①推出③，由③推出②
10. 如图，一个四边形顺次添加下列条件中的三个条件便得到正方形：
a．两组对边分别相等 b.一组对边平行且相等 c.一组邻边相等 d.一个角是直角
顺次添加的条件：①a→c→d；②b→d→c；③a→b→c，则正确的是(　　)
A ．仅① B．仅③ C．①② D．②③
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11. ABCD的对角线AC与BD相交于点O，且AC⊥BD，请添加一个条件：___________________，使得 ABCD为正方形．
12. 在四边形ABCD中，AC，BD相交于点O，OA＝OB＝OC＝OD，则添加一个条件能判定四边形ABCD是正方形的是_________.
13. 如图，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，点D，E，F分别是AB，AC，BC的中点，连接DE，DF，CD，如果AC＝BC，那么四边形DECF是________．
14. 如图，在△ABC中，AC＝BC，点D，E分别是边AB，AC的中点．延长DE到点F，使DE＝EF，得四边形ADCF.当∠ACB＝______°时，四边形ADCF是正方形．
15. 如图，E，F是正方形ABCD的对角线AC上的两点，AC＝8，AE＝CF＝2，则四边形BEDF的周长是________.
16. 如图，在正方形ABCD中，△ABE和△CDF为直角三角形，∠AEB＝∠CFD＝90°，AE＝CF＝5，BE＝DF＝12，则EF的长是_________.
三．解答题（共6小题， 56分）
17．(6分) 如图，等边△AEF的顶点E，F在矩形ABCD的边BC，CD上，且∠CEF＝45°.求证：矩形ABCD是正方形 .
18．(8分) 如图，正方形ABCD的边长为6，菱形EFGH的三个顶点E，G，H分别在正方形ABCD的边AB，CD，DA上，且AH＝2.若DG＝2，求证：菱形EFGH为正方形．
19．(8分) 如图，在矩形ABCD中，AD＝2AB，E为AD的中点，BF∥CE，CF∥BE.求证：四边形BECF是正方形．
20．(10分) 图，在四边形ABCD中，AB＝BC，对角线BD平分∠ABC，P是BD上一点，过点P作PM⊥AD，PN⊥CD.垂足分别为M，N.
(1)求证：∠ADB＝∠CDB；
(2)若∠ADC＝90°，求证：四边形MPND是正方形．
21．(12分) 如图，在△ABC中，∠BAC的平分线交BC于点D，DE∥AB，DF∥AC.
(1)试判断四边形AFDE的形状，并说明理由；
(2)若∠BAC＝90°，且AD＝2，求四边形AFDE的面积．
22．(12分) 如图，在平行四边形ABCD中，点E，F，G，H分别在边AB，BC，CD，DA上，AE＝CG，AH＝CF，且EG平分∠HEF.
(1)求证：△AEH≌△CGF；
(2)若∠EFG＝90°.求证：四边形EFGH是正方形．
参考答案
1-5BBBDD 6-10CBBAC
11．∠BAD＝90°
12. AC⊥BD
13. 正方形
14. 90
15. 8
16. 7
17. 证明：∵四边形ABCD是矩形，∴∠B＝∠D＝∠C＝90°.∵△AEF是等边三角形，∴AE＝AF，∠AEF＝∠AFE＝60°.又∵∠CEF＝45°，∴∠CFE＝∠CEF＝45°，∴∠AFD＝∠AEB＝180°－45°－60°＝75°，∴△AEB≌△AFD(AAS)，∴AB＝AD，∴矩形ABCD是正方形
18. 证明：∵四边形ABCD是正方形，∴∠D＝∠A＝90°.∵四边形EFGH是菱形，∴HG＝HE.∵DG＝AH＝2，∴Rt△HDG≌Rt△EAH，∴∠DHG＝∠AEH.又∵∠AEH＋∠AHE＝90°，∴∠DHG＋∠AHE＝90°，∴∠GHE＝90°，∴菱形EFGH为正方形
19. 证明：∵BF∥CE，CF∥BE，∴四边形BECF是平行四边形．又∵在矩形ABCD中，AD＝2AB，E为AD的中点，∴AE＝AB＝DE＝CD.又∵∠A＝∠D＝∠ABC＝∠DCB＝90°，∴∠ABE＝∠DCE＝45°.∴∠EBC＝∠ECB＝45°，∴∠BEC＝90°，BE＝CE.∴平行四边形BECF是正方形
20. 解：(1)∵BD平分∠ABC，∴∠ABD＝∠CBD.又∵BA＝BC，BD＝BD，∴△ABD≌△CBD(SAS)，∴∠ADB＝∠CDB　
(2)∵PM⊥AD，PN⊥CD，∴∠PMD＝∠PND＝90°.又∵∠ADC＝90°，∴四边形MPND是矩形．∵∠ADB＝∠CDB，PM⊥AD，PN⊥CD，∴PM＝PN.∴四边形MPND是正方形
21. 解：(1)四边形AFDE是菱形，理由如下：∵DE∥AB，DF∥AC，∴四边形AFDE是平行四边形．∵AD平分∠BAC，∴∠FAD＝∠EAD.∵DE∥AB，∴∠EDA＝∠FAD.∴∠EDA＝∠EAD.∴AE＝DE.∴平行四边形AFDE是菱形．
(2)∵∠BAC＝90°，∴菱形AFDE是正方形．∵AD＝2 ，∴AF＝DF＝DE＝AE＝2.∴四边形AFDE的面积为2×2＝4.
22. 证明：(1)∵四边形ABCD是平行四边形，∴∠A＝∠C.在△AEH和△CGF中， ∴△AEH≌△CGF(SAS)
(2)∵四边形ABCD是平行四边形，∴AD＝BC，AB＝CD，∠B＝∠D.∵AE＝CG，AH＝CF，∴EB＝DG，HD＝BF.∴△BEF≌△DGH(SAS)，∴EF＝HG.又∵△AEH≌△CGF，∴EH＝GF. ∴四边形EFGH为平行四边形．∴EH∥FG，∴∠HEG＝∠FGE.∵EG平分∠HEF，∴∠HEG＝∠FEG，∴∠FGE＝∠FEG，∴EF＝GF，又∵∠EFG＝90°，∴平行四边形EFGH是正方形