1.3.1 正方形的性质 同步练习（含答案）

1.3.1 正方形的性质
一、选择题（共10小题，每小题4分，共40分）
1. 已知在四边形ABCD中，∠A＝∠B＝∠C＝90°，如果添加一个条件，即可推出该四边形是正方形，那么这个条件可以是(　　)
A．∠D＝90° B．AB＝CD
C．AD＝BC D．BC＝CD
2. 平行四边形、矩形、菱形、正方形都具有的性质是( )
A．对角线互相平分
B．对角线互相垂直
C．对角线相等
D．对角线互相垂直且相等
3. 如图，已知P是正方形ABCD的对角线BD上一点，且BP＝BC，则∠ACP的度数是(　　)
A．45° B．22.5°
C．67.5° D．75°
4. 如图，在菱形ABCD中，∠B＝60°，AB＝4，则以AC为边长的正方形ACEF的周长为( )
A．14 B．15
C．16 D．17
5. 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边△ABE，则∠BED的度数为( )
A．15° B．35°
C．45° D．55°
6. 如图，P为AB上任意一点，分别以AP、PB为边在AB同侧作正方形APCD、正方形PBEF，设∠CBE＝α，则∠AFP为(　　)
A．2α B．90°－α
C．45°＋α D．90°－α
7. 如图，正方形ABCD内的图形来自中国古代的太极图，正方形内切圆中的黑色部分和白色部分关于正方形的中心成中心对称，设正方形ABCD的面积为S，黑色部分面积为S1，则S1：S的比值为(　　)
A．　 B．　 C．　 D．
8. 如图，把含30°的直角三角尺PMN放置在正方形ABCD中，∠PMN＝30°，直角顶点P在正方形ABCD的对角线BD上，点M，N分别在AB和CD边上，MN与BD交于点O，且点O为MN的中点，则∠AMP的度数为(　　)
A． 60° 　B．65° C．75° 　D．80°
9. 如图，在正方形ABCD中，AB＝2，P是AD边上的动点，PE⊥AC于点E，PF⊥BD于点F，则PE＋PF的值为( )
A．4 B．2 C． D．2
10. 如图，正方形ABCD的边长为1，点E，F分别是对角线AC上的两点，EG⊥AB.EI⊥AD，FH⊥AB，FJ⊥AD，垂足分别为G，I，H，J.则图中阴影部分的面积等于 ( )
A．1 B． C． D．
二．填空题（共6小题，每小题4分，共24分）
11. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD相交于点O，OA＝3，则此正方形的面积为_______.
12. 如图，在正方形ABCD中，点E在边DC上，DE＝4，EC＝2，则AE的长为_______．
13. 如图，四边形OBCD是正方形，O，D两点的坐标分别是(0，0)，(0，6)，点C在第一象限，则点C的坐标是_________.
14. 如图，将正方形纸片按如图折叠，AM为折痕，点B落在对角线AC上的点E处，则∠CME＝_____．
15. 如图，点P是正方形ABCD内位于对角线AC下方的一点，∠1＝∠2，则∠BPC的度数为______.
16. 如图，正方形ABCD的对角线AC，BD交于点O，M是边AD上一点，连接OM，过点O作ON⊥OM，交CD于点N.若四边形MOND的面积是1，则AB的长为________.
三．解答题（共6小题， 56分）
17．(6分) 已知：如图，在正方形ABCD中，对角线AC，BD相交于点O，点E，F分别是边BC，CD上的点，且∠EOF＝90°. 求证：CE＝DF.
18．(8分) 如图，在正方形ABCD中，点E在BC边的延长线上，点F在CD边的延长线上，且CE＝DF，连接AE和BF相交于点M.求证：AE＝BF.
19．(8分) 如图，在正方形ABCD中，点E是BC上的一点，点F是CD延长线上的一点，且BE＝DF，连接AE，AF，EF.
(1)求证：△ABE≌△ADF；
(2)若AE＝5，请求出EF的长．
20．(10分) 如图，在正方形ABCD中，AF＝BE，AE与DF相交于点O.
(1)求证：△DAF≌△ABE；
(2)求∠AOD的度数．
21．(12分) 如图，在正方形ABCD的外侧，作等边三角形ADE，连接BE，CE.
(1)求证：△BAE≌△CDE；
(2)求∠AEB的度数．
22．(12分) 如图，在正方形ABCD中，G是BC上任意一点(不与B，C重合)，DE⊥AG于点E，BF∥DE，且交AG于点F.
(1)求证：AF－BF＝EF；
(2)四边形BFDE是否可能是平行四边形？如果可能，请指出此时点G的位置；如果不可能，请说明理由．
参考答案
1-5DABCC 6-10BACCB
11．18
12．2
13．(6，6)
14．45°
15. 135°
16. 2
17. 证明：∵四边形ABCD为正方形，∴OD＝OC，∠ODF＝∠OCE＝45°，∠COD＝90°，∴∠DOF＋∠COF＝90°.∵∠EOF＝90°，即∠COE＋∠COF＝90°，　∴∠COE＝∠DOF.∴△COE≌△DOF(ASA)．∴CE＝DF.
18. 解：在正方形ABCD中，AB＝BC＝CD＝AD，∵CE＝DF，∴BE＝CF，在△AEB和△BFC中， ∴△AEB≌△BFC(SAS)，∴AE＝BF
19. 解：(1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠ABC＝∠ADC＝∠ADF＝90°.又∵BE＝DF，∴△ABE≌△ADF(SAS)
(2)由(1)知△ABE≌△ADF，∴AE＝AF，∠BAE＝∠DAF，∴∠EAF＝∠DAF＋∠EAD＝∠BAE＋∠EAD＝90°，∴EF＝AE＝5
20. 解：(1)∵四边形ABCD是正方形，∴∠DAB＝∠ABC＝90°，AD＝BA，在△DAF和△ABE中， ∴△DAF≌△ABE(SAS)　
(2)由(1)知，△DAF≌△ABE，∴∠ADF＝∠BAE，∵∠ADF＋∠DAO＝∠BAE＋∠DAO＝∠DAB＝90°，∴∠AOD＝180°－(∠ADF＋DAO)＝90°
21. 解：(1)∵△ADE为等边三角形，∴AD＝AE＝DE，∠EAD＝∠EDA＝60°，∵四边形ABCD为正方形，∴AB＝AD＝CD，∠BAD＝∠CDA＝90°，∴∠EAB＝∠EDC＝150°，在△BAE和△CDE中，∴△BAE≌△CDE(SAS)　
(2)∵AB＝AD，AD＝AE，∴AB＝AE，∴∠ABE＝∠AEB，∵∠EAB＝150°，∴∠AEB＝(180°－150°)＝15°
22. (1)证明：∵四边形ABCD是正方形，∴AB＝AD，∠BAD＝∠BAF＋∠DAE＝90°.∵DE⊥AG，∴∠AED＝∠DEG＝90°，∠DAE＋∠ADE＝90°.∴∠ADE＝∠BAF.又∵BF∥DE，∴∠BFA＝∠DEG＝90°＝∠AED.∴△ABF≌△DAE(AAS)．∴AF＝DE，AE＝BF.∴AF－BF＝AF－AE＝EF.
(2)解：不可能．理由如下：如图，连接AC，若要使四边形BFDE是平行四边形，已知DE∥BF，则当DE＝BF时，四边形BFDE为平行四边形．由(1)可知DE＝AF.∴BF＝AF，即此时∠BAF＝45°.又易知∠BAC＝45°. ∴点G与点C重合．与题中点G不与点C重合矛盾，∴四边形BFDE不可能是平行四边形．