河南省荥阳市京城高中2022-2023学年高三上学期9月开学考试数学试题（Word版含解析）

京城高中2022-2023学年高三上学期9月开学考试数学试题
考试时间：120分钟 分值:150分
一、单选题(本大题共8小题，每小题5分，共40分．)
1．已知集合，，则为（ ）
A． B． C． D．
2．已知函数满足，则（ ）
A． B．1 C．2 D．0
3．函数是（ ）
A．周期为的奇函数 B．周期为的奇函数
C．周期为的偶函数 D．周期为的偶函数
4．古希腊数学家毕达哥拉斯通过研究正五边形和正十边形的作图，发现了黄金分割率，黄金分割率的值也可以用2sin表示．若实数n满足，则的值为（ ）
A．4 B． C．2 D．
5．若，则=（ ）
A． B． C． D．
6．某圆锥的侧面积是底面积的倍，则该圆锥的侧面展开图的圆心角为（ ）
A． B． C． D．
7．若函数在点（1，f（1））处的切线的斜率为1，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
8．已知函数是定义在上的奇函数，且当时，，则方程的所有根的和为（ ）
A． B． C． D．
二、多选题(本大题共4小题，每题5分，共20分．在每小题给出的四个选项中，有多个选项是符合题目要求的，全部选对得5分，选对但不全的得2分，有选错的得0分)
9．已知，则可能为（ ）
A．第一象限角 B．第二象限角 C．第三象限角 D．第四象限角
10．给出下列各式的值：①；②；③；④.其中符号为负的是（ ）
A．① B．② C．③ D．④
11．已知函数，其中，下列结论正确的是（ ）
A．存在实数a，使得函数为奇函数
B．存在实数a，使得函数为偶函数
C．当时，的单调增区间为，
D．当时，的单调减区间为
12．已知奇函数在R上可导，其导函数为，且恒成立，若在单调递增，则（ ）
A．在上单调递减 B．
C． D．
三、填空题(本大题共4小题，每小题5分，共20分．把答案填在题中横线上)
13．已知点是角终边上一点， ，则__________．
14．若函数满足：（1），且，都有；
（2），则_________.（写出满足这些条件的一个函数即可）
15．设函数，若是函数的最大值，则实数的取值范围为__________．
16．已知函数在有且仅有个零点，则的取值范围为__________．
四、解答题(本题共6小题，共70分．解答时应写必要的文字说明、证明过程或演算步骤)
17．(10分) 计算下列各式的值．
(1)；
(2)已知，求
18．(12分)
已知.
(1)求的值
(2)若，求的值.
19．(12分)
已知是方程的两根，求下列各式的值：
(1) (2) (3)
20．(12分)
已知函数．
(1)求函数在上的值域；
(2)解不等式；
21．(12分)
已知，．
(1)求的值；
(2)若，，求的值．
22．(12分)
已知函数， （a）
(1)求在点处的切线方程
(2)若对于任意的，都有成立，求实数的取值范围．
试卷第1页，共3页
参考答案：
1．D
【解析】化简集合N，根据并集运算即可.
【详解】由，解得
，
，
故选：D
【点睛】本题主要考查了二次不等式，集合的并集，属于容易题.
2．B
【分析】令，解得，再把代入原式即可求解
【详解】令，解得，
所以，
故选：B
3．A
【解析】利用求得周期；再根据奇偶性定义求得奇偶性.
【详解】，即周期为
，即函数为奇函数
本题正确选项：
【点睛】本题考查正切函数奇偶性的判断、周期性的求解问题，属于基础题.
4．D
【分析】先由平方关系得，再由倍角公式化简得，最后由诱导公式求解即可.
【详解】由题意知，，则，
又，则.
故选：D.
5．C
【分析】运用整体代换的思想，找出已知角与所求角之间的关系，根据诱导公式即可求解.
【详解】.
故选：C.
6．C
【分析】设圆锥的母线长和底面圆半径，表示出底面圆的周长和面积，计算圆锥的侧面积，由已知写出等式，得到母线长与半径的关系，用圆心角的公式计算即可.
【详解】设圆锥的母线长为 ，底面圆半径为，
则底面圆面积为 ，底面圆周长为 ；
又圆锥的侧面展开图为扇形，其侧面积为 ；
由圆锥的侧面积是底面积的2倍得： ，所以
所以该圆锥的侧面展开图的圆心角为 ，
故选：C.
7．A
【分析】由导数几何意义得，然后由基本不等式得最小值．
【详解】由已知，所以，
，当且仅当时等号成立．
故选：A．
8．C
【解析】由时，，利用函数是定义在上的奇函数，求得函数的解析式，然后根据与的图象关于直线对称，在同一坐标系中，作出两函数图象，利用数形结合法求解.
【详解】设，则，
所以，
又因为函数是定义在上的奇函数，
所以且当时，，
所以，
又与的图象关于直线对称，
在同一坐标系中，作出两函数图象，如图所示：
由图象知：与的图象有3个交点，其中一个根为1，另外两个根关于对称，
所以方程的所有根的和为3
故选：C
【点睛】方法点睛：函数零点个数问题：若方程可解，通过解方程即可得出参数的范围，若方程不易解或不可解，则将问题转化为构造两个函数，利用两个函数图象的关系求解，这样会使得问题变得直观、简单，这也体现了数形结合思想的应用．
9．AB
【分析】根据三角函数的符号判定角是第几象限角即可.
【详解】因为，所以或，
所以可能为第一象限角或第二象限角.
故选：AB.
10．ABC
【分析】确定角所在的象限，或角的范围，利用三角函数在各象限的符号、性质判断即可.
【详解】因为，所以；
因为，所以；
因为，所以，故；
因为，所以，故.
故选： ABC
11．AC
【分析】当a＝0时函数为奇函数，不存在实数a，使得函数为偶函数. 所以选项A正确，选项B错误；化简函数得，再对分类讨论得到函数的单调性，再判断得解.
【详解】解：由，显然当a＝0时有，但不存在实数a使成立，所以存在实数a，使得函数为奇函数，不存在实数a，使得函数为偶函数. 所以选项A正确，选项B错误；
，当时，易知在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以选项C正确；同理可得，当时，在上单调递增，在上单调递减，在上单调递增，所以选项D错误.
故选：AC.
12．BCD
【分析】根据函数的的对称性和周期性，以及函数的导数的相关性质，逐个选项进行验证即可.
【详解】方法一：
对于A，若，符合题意，故错误，
对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确，
对于C和D，设，则为R上可导的奇函数，，
由题意，得，关于直线对称，
易得奇函数的一个周期为4，，故C正确，
由对称性可知，关于直线对称，进而可得，（其证明过程见备注）
且的一个周期为4，所以，故D正确．
备注：，即，所以，
等式两边对x求导得，，
令，得，所以．
方法二：
对于A，若，符合题意，故错误，
对于B，因已知奇函数在R上可导，所以，故正确，
对于C，将中的x代换为，
得，所以，
可得，两式相减得，，
则，，…，，
叠加得，
又由，得，
所以，故正确，
对于D，将的两边对x求导，得，
令得，，
将的两边对x求导，得，所以，
将的两边对x求导，得，
所以，故正确．
故选：BCD
13．-4
14．，（logax，(0【分析】满足第一个条件，表示函数是单调递减函数，第二个条件正好是符合对数的运算性质；
【详解】对于条件①，不妨设，则，∵，∴
∴，∴为上的单调递增函数，对于条件②，刚好符合对数的运算性质，故这样的函数可以是一个单调递减的对数函数.
故答案为:.（logax，(015．
【分析】由，求得的范围，再求得的单调性，讨论，时函数在的最大值，即可得到所求范围．
【详解】解：因为，
当时函数单调递减且，
当时，可得在时函数单调递减，在单调递增，
若，，则在处取得最大值，不符题意；
若，，则在处取得最大值，
且，解得，
综上可得的范围是．
故答案为：
16．
【分析】先化简函数式，然后根据的范围求出的范围，结合在，有且仅有3个零点，再利用正弦函数的相关知识求得的范围．
【详解】,
当，时，，
在，有且仅有3个零点，
，
综上：,
故答案为：
17．(1)
原式=
；（5分）
(2)
原式=.（10分）
18．(1)；(2).
(1)
解：，（3分）
∴.（5分）
(2)
解：原式=，（6分）
∵，（8分）
又∵，∴，，，（9分）
∴，（10分）
∴原式.（12分）
19．(1)(2)(3)
（1）由题意可知：（2分）
（4分）
（2）（8分）
（3）（12分）
20．(1)(2)
(1)
令，当时，，则可将原函数转化为，（3分）
当时，；当时，； （5分）
∴在上的值域为； （6分）
(2)
∵，即，
∴， （8分）
解得：， （10分）
∴，即不等式的解集为 （12分）
21．(1)(2)
(1)
解：因为，，
又，所以，（2分）
所以.（5分）
(2)
解：因为，
，（7分）
又因为，所以，（8分）
由（1）知，，（9分）
所以．（11分）
因为，，则，所以．（12分）
22．（1）
由，可得，
所以切线的斜率，．
所以在处的切线方程为，即；（5分）
（2）
若恒成立则+ax-3
即恒成立（6分）
令h(x)=.只需满足（7分）
(x)= （8分）
因为所以由(x）=0得 x=1（9分）
当时，(x）(x）<0, h(x)单调递减
当10, h(x)单调递增
所以h(1)为极小值且为最小值（11分）
h(1)=4所以a4（12分）
答案第1页，共2页