2.4 用因式分解法求解一元二次方程 同步练习（含解析）

2.4 用因式分解法求解一元二次方程
一、单选题
1．下面一元二次方程的解法中，正确的是（　　）.
A． ，∴ ，∴
B． ，∴ ，∴
C． ，∴
D． 两边同除以x，得x＝1
二、填空题
2．已知（x2+y2+1）（x2+y2+2）=6，则x2+y2的值为　 　。
3．方程：（2x+1）（x-1）=8（9-x）-1的根为　 　。
4．△ABC的两边长分别为2和3，第三边的长是方程x2-8x+15=0的根，则△ABC的周长是　 　．
5．（2018九上·清江浦期中）若方程 x2 4x+3=0 的两根是等腰三角形的底和腰，则它的周长为　 　.
6．（2019九上·无锡月考）若 x2 5xy+6y2=0 ，其中 y≠0 ，则 xy=　 　.
7．（2018九上·康巴什月考）如图，在 ABCD中，AE⊥BC于E，AE=EB=EC=a，且a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，则 ABCD的周长是　 　
三、计算题
8．（2016九上·无锡期末）解方程：2（x－3）＝3x（x－3）．
四、解答题
9．（2018九上·东莞期中）用两种不同方法解方程：x2-3-2x=0
10．已知2是关于x的方程x2-2mx+3m=0的一个根，并且这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，求三角形ABC的周长．
11．（2019九上·获嘉月考）已知：Rt△ABC， ∠ C=90°，三边长分别为 a , b ， c ，两直角边 a ， b 满足： (a2+b2)2 2(a2+b2) 15=0 .求斜边 c .
12．（2019九上·綦江月考）阅读理解下列材料然后回答问题：
解方程:x -3|x|+2=0
解：（1）当x≥0时，原方程化为x -3x+2=0，解得： x1 =2， x2 =1
（ 2 ）当x＜0时，原方程化为x +3x+2=0，解得： x1 =1， x2 =-2.
∴原方程的根是 x1 =2， x2 =1， x3 =1， x4 =-2.
请观察上述方程的求解过程，试解方程x -2|x-1|-1=0.
13．解方程：
我们已经学习了一元二次方程的多种解法：如因式分解法，开平方法，配方法和公式法，还可以运用十字相乘法，请从以下一元二次方程中任选两个，并选择你认为适当的方法解这个方程．
①x2 4x 1=0②x(2x+1)=8x 3③x2+3x+1=0④x2 9=4(x 3)
我选择第几个方程。
五、综合题
14．如图所示，在长和宽分别是 、 的矩形纸片的四个角都剪去一个边长为 的正方形．
（1）用 ， ， 表示纸片剩余部分的面积；
（2）当 ＝6， ＝4，且剪去部分的面积等于剩余部分的面积时，求剪去的正方形的边长．
15．（2020九上·惠安期中）如果关于 x 的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 有两个实数根，且其中一个根为另一个根的 2 倍，那么称这样的方程为“倍根方程”，例如，一元二次方程 x2 6x+8=0 的两个根是 2 和 4 ，则方程 x2 6x+8=0 就是“倍根方程”．
（1）若一元二次方程 x2 3x+c=0 是“倍根方程”，则c＝　 　．
（2）若关于x的一元二次方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 是“倍根方程”，则 a ， b ， c 之间的关系为　 　．
（3）若 (x 2)(mx n)=0(m≠0) 是“倍根方程”，求代数式 4m2 5mn+n2 的值．
16．（2018九上·二道月考）我们知道，解一元二次方程，可以把它转化为两个一元一次方程来解，其实用“转化”的数学思想，我们还可以解一些新的方程，例如一元三次方程x3+x2﹣2x=0，可以通过因式分解把它转化为x（x2+x﹣2）=0，解方程x=0和x2+x﹣2=0，可得方程x3+x2﹣2x=0的解．
（1）方程x3+x2﹣2x=0的解是x1=0，x2=　 　，x3=　 　．
（2）用“转化”思想求方程 2x+3 =x的解．
（3）如图，已知矩形草坪ABCD的长AD=14m，宽AB=12m，小华把一根长为28m的绳子的一端固定在点B处，沿草坪边沿BA、AD走到点P处，把长绳PB段拉直并固定在点P处，然后沿草坪边沿PD、DC走到点C处，把长绳剩下的一段拉直，长绳的另一端恰好落在点C处，求AP的长．
17．阅读材料：若 m2 2mn+2n2 8n+16=0 ，求m、n的值.
解： m2 2mn+2n2 8n+16=0 ，
(m2 2mn+2n2)+(n2 8n+16)=0
(m n)2+(n 4)2=0 ，
∴m n=0，n 4=0 ，
∴n=4，m=4 .
根据你的观察，探究下面的问题：
（1）已知 x2+2xy+2y2+2y+1=0 ，求 x y 的值.
（2）已知△ABC的三边长a、b、c都是正整数，且满足 a2+b2 6a 8b+25=0 ，求边c的最大值.
（3）若已知 a b=4，ab+c2 6c+13=0 ，求 a b+c 的值
答案解析部分
1．【答案】B
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】A中方程没有化成积为0的两个因式，所以错误；C中没有化成两个因式的积的形式，所以错误；D中同时除以x，将x为0的解漏掉了，所以错误；B将方程化成了两个因式的积为0的形式，所以说法正确．
【分析】用因式分解法解方程的关键是要将方程化为一边为两个一次式的乘积等于0的形式．
2．【答案】1
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】令x2+y2=t，将原方程化为（t+1）（t+2）=6，
即（t-1）（t+4）=0，
解得t1=1，t2=-4，
∵t≥0，∴t=1，
∴x2+y2=1，
故答案为1．
【分析】本题考查了用换元法解一元二次方程，注意题目中的整体是x2+y2
3．【答案】-8或
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】（2x+1）（x-1）=8（9-x）-1
整理得：2x2-x-1=72-8x-1
2x2+7x-72=0，
则（x+8）（2x-9）=0，
解得：x1=-8，x2=
故答案为：-8或
【分析】首先去括号，进而合并同类项，再利用十字相乘法分解因式得出即可
4．【答案】8
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解方程x2-8x+15=0可得（x-3）(x-5), ∴x=3或x=5，
∴△ABC的第三边为3或5，但当第三边为5时，2+3=5，不满足三角形三边关系，
∴△ABC的第三边长为3，∴△ABC的周长为2+3+3=8，
所以答案为：8．
【分析】先求得方程的根，再根据三角形三边关系判断出第三边的长，可求得三角形的周长．
5．【答案】7
【知识点】因式分解法解一元二次方程；等腰三角形的性质
【解析】【解答】由x2-4x+3=0知（x-1）（x-3）=0，
则x-1=0或x-3=0，
解得：x=1或x=3，
（ 1 ）当1为腰，3为底时，1+1<3不能构成三角形；
（ 2 ）当3为腰，1为底时，3，3，1能构成等腰三角形，周长=3+3+1=7．
故答案为：7
【分析】用因式分解法可求得两个根，x=1或x=3，由等腰三角形的性质可知有两种情况：①三边为1、1、3，根据三角形三边关系定理可知1、1、3不能构成三角形；
②三边为1、3、3，根据三角形三边关系定理可知1、3、3能构成三角形。
6．【答案】2 或 3
【知识点】分式的值；因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】∵x2 5xy+6y2=0 ，
∴（x-3y）（x-2y）=0，
∴x-3y=0或x-2y=0，
即x=3y或x=2y，
∴xy=3yy=3 或 xy=2yy=2 .
故答案为：2或3.
【分析】把y作为常数，将方程的左边利用十字相乘法分解因式，根据两个因式的乘积为0，则这两个因式中至少有一个为0，从而将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程得出原方程的解，然后分两种情况代入分式约分得出答案.
7．【答案】4+22
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：∵a是一元二次方程x2+2x﹣3=0的根，
∴（x﹣1）（x+3）=0，
即x=1或﹣3，
∵AE=EB=EC=a，
∴a=1，
在Rt△ABE中，AB=a2+a2=2a=2，
∴ ABCD的周长=4a+22a=4+22．
故答案为：4+22
【分析】先解方程求得a，再根据勾股定理求得AB，从而计算出 ABCD的周长即可．
8．【答案】解：2（x－3）－3x（x－3）=0
（x－3）（2－3x）=0
解得： x1 =3， x2=23
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】将右边整体移到左边，然后左边利用提公因式分解因式，然后根据两个因式的积等于零，则这两个因式中至少有一个为零将方程降次，解两个一元一次方程求出方程的解。
9．【答案】解：①用“公式法”解，
原方程可化为： x2 2x 3=0 ，
∴a=1，b= 2，c= 3 ，
∴△= ( 2)2 4×1×( 3)=16 ，
∴x=2±162 ，
∴x1=3，x2= 1 .
②用“因式分解法”解，
原方程可化为： (x+1)(x 3)=0 ，
∴x+1=0 或 x 3=0 ，
解得 x1= 1，x2=3
【知识点】公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】利用公式法解一元二次方程可得判别式 =16>0方程有两个不等的实数根， 把a 、b 、c 的值代入 x = b±b2 4ac2a解得x的值。
利用“因式分解法”解一元二次方程，把原方程化为 ( x + 1 ) ( x 3 ) = 0 ，据此解得x的值。
10．【答案】解：将x=2代入方程，得：4﹣4m+3m=0，解得：m=4．
当m=4时，原方程为x2﹣8x+12=（x﹣2）（x﹣6）=0，
解得：x1=2，x2=6，
∵2+2=4＜6，
∴此等腰三角形的三边为6、6、2，
∴此等腰三角形的周长C=6+6+2=14
【知识点】因式分解法解一元二次方程；三角形三边关系；等腰三角形的性质
【解析】【分析】先将x=2代入方程求出m的值，可得出x2﹣8x+12=0，再利用因式分解法求出方程的解，由这个方程的两个根恰好是等腰三角形ABC的两条边长，根据三角形三边关系定理，可得出腰长只能是6，底边长是2，然后求出此三角形的周长。
11．【答案】解：设这个直角三角形的斜边长是c.
∵a，b分别是一个直角三角形的两直角边的长，
∴a2+b2=c2，
又∵（a2+b2）2-2（a2+b2）-15=0，
∴（c2）2-2c2-15=0，
∴（c2-5）（c2+3）=0，
∵c2＞0，
∴c2=5，
∵c＞0，
∴c= 5 .
即这个直角三角形的斜边长是 5 .
【知识点】因式分解法解一元二次方程；勾股定理
【解析】【分析】根据勾股定理 a2+b2=c2， 然后利用换元的方法将方程变形为 （c2）2-2c2-15=0， 再利用因式分解法求解并检验即可得出c的值，从而得出答案。
12．【答案】解：当 x 1≥0 即 x≥1 时，
方程可化为x2-2x+1=0，
解得x1=x2=1；（2）当x-1<0即x<1时，
方程可化为x2+2x-3=0，
解得 x1= 3,x2=1 （舍），
∴x1= 3,x2=1 .
故答案为： x1= 3,x2=1 .
【知识点】因式分解法解一元二次方程；绝对值的非负性
【解析】【分析】根据材料中的方法可分两种情况讨论求解：①当x-1≥0时，根据绝对值的非负性可得方程 x2-2x+1=0， 用因式分解法可求解；
②当x-1＜0时，根据绝对值的非负性可得方程 x2+2x-3=0， 用因式分解法可求解.
13．【答案】解：我选第①个方程，解法如下：x2-4x-1=0，这里a=1，b=-4，c=-1，∵△=16+4=20，∴x= 4±252 =2± 5 ，则x1=2+ 5 ，x2=2- 5 ；我选第②个方程，解法如下：x（2x+1）=8x-3，整理得：2x2-7x+3=0，分解因式得：（2x-1）（x-3）=0，可得2x-1=0或x-3=0，解得：x1= 12 ，x2=3；我选第③个方程，解法如下：x2+3x+1=0，这里a=1，b=3，c=1，∵△=9-4=5，∴x= 3±52 ，则x1= 3+52 ，x2= 3 52 ；我选第④个方程，解法如下：x2-9=4（x-3），变形得，（x+3）（x-3）-4（x-3）=0，因式分解得，（x-3）（x+3-4）=0，∴x-3=0或x+3-4=0，∴x1=3，x2=1
【知识点】配方法解一元二次方程；公式法解一元二次方程；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】（1）我选第①个方程，解法如下：利用公式法解方程，首先算出根的判别式的值，根据根的判别式的值大于0，然后直接利用求根公式即可得出该方程的两个根；
（2）我选第②个方程，解法如下：首先将方程整理成一般形式利用因式分解法解方程，将方程的左边分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出原方程的解。
（3）我选第③个方程，解法如下：利用公式法解方程，首先算出根的判别式的值，根据根的判别式的值大于0，然后直接利用求根公式即可得出该方程的两个根；
（4）我选第④个方程，解法如下：利用因式分解法解方程，左边利用平方差公式分解因式，把右边作为一个整体移到方程的左边，然后利用提公因式法分解因式，根据两个因式的积等于0，则这两个因式中至少有一个为0，将方程降次为两个一元一次方程，解一元一次方程，得出原方程的解。
14．【答案】（1）解：纸片剩余部分的面积为： ，
（2）解：当a＝6，b＝4时，根据题意有： ，∴ ，∴ 即 ，
∴剪去的正方形的边长 ．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】能根据实际问题列方程，利用平方差进行因式分解求方程解，会对解进行取舍．
15．【答案】（1）2
（2）2b2=9ac
（3）解：∵(x 2)(mx n)=0(m≠0) 是“倍根方程”
∴方程的两个根分别为x=2和x= nm ，
∴nm =4或 nm =1，即n=4m或n=m
当n=4m时，原式为（m-n）（4m-n）=0,
当n=m时，原式为（m-n）（4m-n）=0,
∴代数式 4m2 5mn+n2 =0
【知识点】代数式求值；因式分解法解一元二次方程；定义新运算
【解析】【解答】（1）∵一元二次方程 x2 3x+c=0 是“倍根方程”
∴令2x1=x2，有x1+ x2=3，x1x2=c
∴c=2（2）设x=m，x=2m是方程 ax2+bx+c=0(a≠0) 的解
∴2m+m=- ba ，2m2= ca
消去m解得2b2=9ac
所以 a ， b ， c 之间的关系为 2b2=9ac
【分析】（1）根据“倍根方程”的定义以及根与系数的关系求解即可；（2）设x=m或x=2m是方程的解，然后根据根与系数的关系求解即可；（3）根据定义可求出n=4m或n=m，带入原式即可求出答案。
16．【答案】（1）1；﹣2
（2）解：∵2x+3 =x，∴2x+3=x2，且2x+3＞0,x＞0即x2﹣2x﹣3=0，
∴（x+1）（x﹣3）=0，
则x+1=0或x﹣3=0，
解得：x1=﹣1(舍去)、x2=3
（3）解：设AP=x，则DP=14﹣x，
∵AB=CD=12，∠A=∠D=90°，
∴PB= AB2+AP2 = 122+x2 、PC= PD2+CD2 = (14 x)2+122 ，
∵PB+PC=28，
∴122+x2 + (14 x)2+122 =28，
(14 x)2+122 =28﹣ 122+x2 ，
两边平方，整理可得： 144+x2=x+212 ，
再两边平方，整理可得：x2﹣14x+45=0，
解得x1=5、x2=9，
则AP的长为5m或9m．
【知识点】因式分解法解一元二次方程
【解析】【解答】解：（1）∵x3+x2﹣2x=0，
∴x（x2+x﹣2）=0，
∴x（x﹣1）（x+2）=0，
则x=0或x﹣1=0或x+2=0，
解得：x1=0、x2=1、x3=﹣2．
故答案为：1、﹣2．
【分析】此题主要考查利用因式分解法解一元二次方程，其中渗透 “转化”思想 . 同时考查一元二次方程的应用, 用方程的方法解决几何问题.
（1）结合题目， “通过因式分解把它转化为 x（x2+x﹣2）=0，解方程x=0和x2+x﹣2=0”，因此只需解出方程 x2+x﹣2=0 即可.
（2） 用“转化”思想求方程 2x+3 =x的解时，需对方程两边平方，这样就可能扩大x的取值范围，从而产生增根，因此，在进行平方之前，一定要求出x的取值范围.
（3）这是一个几何问题，结合条件，可以用列方程的方法来解决：设AP=x，AB=12，∠A=90°，
易得PB= AB2+AP2 = 122+x2，类似地求出PC= PD2+CD2 = (14 x)2+122 ，再利用PB+PC=28 建立方程 122+x2 + (14 x)2+122 =28 ，然后解出x即可.
17．【答案】（1）解：∵x2+2xy+2y2+2y+1=0
∴（x2+2xy+y2）+（y2+2y+1）=0
∴（x+y）2+（y+1）2=0
∴x+y=0y+1=0
解得：x=1，y=﹣1
∴x﹣y=2
（2）解：∵a2+b2﹣6a﹣8b+25=0
∴（a2﹣6a+9）+（b2﹣8b+16）=0
∴（a﹣3）2+（b﹣4）2=0
∴a﹣3=0，b﹣4=0
解得：a=3，b=4
∵三角形两边之和＞第三边
∴c＜a+b，c＜3+4，∴c＜7．又∵c是正整数，∴△ABC的最大边c的值为4，5，6，∴c的最大值为6；
（3）解：∵a﹣b=4，即a=b+4，代入得：（b+4）b+c2﹣6c+13=0，
整理得：（b2+4b+4）+（c2﹣6c+9）=（b+2）2+（c﹣3）2=0，
∴b+2=0，且c﹣3=0，
即b=﹣2，c=3，a=2，
则a﹣b+c=2﹣（﹣2）+3=7
【知识点】因式分解的应用；因式分解法解一元二次方程
【解析】【分析】 （1）将多项式第三项分项后，结合并利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出x与y的值，即可求出x-y的值。
（2）将已知等式25分为9+16，重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出a与b的值，根据边长为正整数且三角形三边关系即可求出c的长。
（3）由a-b=4，得到a=b+4，代入已知的等式中重新结合后，利用完全平方公式化简，根据两个非负数之和为0，两非负数分别为0求出b与c的值，进而求出a的值，即可求出a-b+c的值。