专题9—导数大题1-近8年高考真题分类汇编—2023届高三数学一轮复习

专题9—导数大题1
考试说明：1、了解函数的单调性和导数的关系；能利用导数研究函数的单调性，回求函数的单调区间；
了解函数在某点取得极值时的充要条件，会用导数求函数的极值，会求闭区间上函数的最大值和最小值。
了解导数的综合应用
题型特点：导数的综合应用是历年高考的热点，试题难度通常较大，多以压轴题的形式出现，命题的热点主要有利用导数研究函数的单调性、极值、最值；利用导数研究不等式；利用导数研究方程的根；利用导数研究恒成立问题等等，体现了分类讨论、数形结合、函数与方程、转化与化归等数学思想的运用。
典例分析
命题角度1—利用导数研究函数的单调性问题
例1．（2021 乙卷）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
命题角度2—利用导数研究函数的极值、最值问题
例2．（2019 全国）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在区间，的最小值为，求．
命题角度3—利用导数研究函数的方程的根（或函数的零点）
例3．（2020 浙江）已知，函数，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
真题集训
1．（2020 新课标Ⅱ）已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）设，讨论函数的单调性．
2．（2019 江苏）设函数，，，，为的导函数．
（1）若，（4），求的值；
（2）若，，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；
（3）若，，，且的极大值为，求证：．
3．（2021 浙江）设，为实数，且，函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围；
（Ⅲ）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，，满足．
（注是自然对数的底数）
典例分析答案
命题角度1—利用导数研究函数的单调性问题
例1．（2021 乙卷）已知函数．
（1）讨论的单调性；
（2）求曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标．
分析：（1）对函数求导，分及讨论导函数与零的关系，进而得出的单调性情况；
（2）先设出切点，表示出切线方程，根据切线过原点，可求得切线方程，将切线方程与曲线联立，即可求得公共点坐标．
解答：解：（1），△，
①当△，即时，由于的图象是开口向上的抛物线，故此时，则在上单调递增；
②当△，即时，令，解得，
令，解得或，令，解得，
在，，单调递增，在，单调递减；
综上，当时，在上单调递增；当时，在单调递增，在单调递减．
（2）设曲线过坐标原点的切线为，切点为，
则切线方程为，
将原点代入切线方程有，，解得，
切线方程为，
令，即，解得或，
曲线过坐标原点的切线与曲线的公共点的坐标为和．
点评：本题考查导数的几何意义以及利用导数研究函数的单调性，考查分类讨论思想及运算求解能力，属于中档题．
命题角度2—利用导数研究函数的极值、最值问题
例2．（2019 全国）已知函数．
（1）当时，求的单调区间；
（2）若在区间，的最小值为，求．
分析：（1）将代入中，然后求导，根据导函数的零点判断单调性导函数在各区间上的符合，从而得到单调区间；
（2）对求导后，根据导函数的零点分，，三类分别求出的最小值，让最小值等于，解出，然后判断是否符合条件即可．
解答：解：（1）当时，，
则，令，则，
当时，；当时，．
的单调递减区间为，单调递增区间为；
（2），令，则，
当时，，在，上单调递增，，不符合条件；
当时，，则当时，；当时，，
在上单调递减，在上单调递增，
，，符合条件；
当时，，则当时，，在上单调递减，
，，不符合条件．
在区间，的最小值为，的值为．
点评：本题考查了利用导数研究函数的单调性和最值，考查了分类讨论思想和分类法，属中档题．
命题角度3—利用导数研究函数的方程的根（或函数的零点）
例3．（2020 浙江）已知，函数，其中为自然对数的底数．
（Ⅰ）证明：函数在上有唯一零点；
（Ⅱ）记为函数在上的零点，证明：
（ⅰ）；
（ⅱ）．
分析：（Ⅰ）推导出时，恒成立，，（2），由此能证明函数在上有唯一零点．
（Ⅱ），从而，进而，令，，，利用导数性质能证明．
要证明，只需证明，只需证，由此能证明．
解答：证明：（Ⅰ），恒成立，
在上单调递增，
，（2），又，
函数在上有唯一零点．
（Ⅱ），，
，，
令，，，
一方面，，，
，在单调递增，
，
，，
另一方面，，，
当时，成立，
只需证明当时，，
，，，
当时，，当时，，
，（1），，（1），
，在单调递减，
，，
综上，，
．
要证明，只需证，
由得只需证，
，只需证，
只需证，即证，
，，
，
．
点评：本题考查函数有唯一零点、不等式的证明，导数性质、函数的单调性、最值等基础知识，考查转化思想和运算求解能力，是中档题．
真题集训答案
1．（2020 新课标Ⅱ）已知函数．
（1）若，求的取值范围；
（2）设，讨论函数的单调性．
解：（1）等价于．
设，．
当时，，单调递增，
当时，，单调递减，
在时取得极大值也就是最大值为（1），
，即．
则的取值范围为，；
（2），，．
．
令，
则，
令，解得，令，解得，
在上单调递增，在上单调递减．
（a），即，
在和上单调递减．
2．（2019 江苏）设函数，，，，为的导函数．
（1）若，（4），求的值；
（2）若，，且和的零点均在集合，1，中，求的极小值；
（3）若，，，且的极大值为，求证：．
解：（1），，
（4），，
，解得．
（2），，设．
令，解得，或．
．
令，解得，或．
和的零点均在集合，1，中，
若：，，则，舍去．
，，则，舍去．
，，则，舍去．．
，，则，舍去．
，，则，舍去．
，，则，
因此，，，
可得：．
．
可得时，函数取得极小值，（1）．
（3）证明：，，，
．
．
△．
令．
解得：，．，
，，
可得时，取得极大值为，
，令，
可得：．
，
．
令，
，
函数在上单调递减，．
．．
函数在上单调递增，
．
3．（2021 浙江）设，为实数，且，函数．
（Ⅰ）求函数的单调区间；
（Ⅱ）若对任意，函数有两个不同的零点，求的取值范围；
（Ⅲ）当时，证明：对任意，函数有两个不同的零点，，满足．
（注是自然对数的底数）
解：（Ⅰ），
①当时，由于，则，故，此时在上单调递增；
②当时，令，解得，令，解得，
此时在单调递减，在单调递增；
综上，当时，的单调递增区间为；当时，的单调递减区间为，单调递增区间为；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，要使函数有两个不同的零点，只需即可，
对任意均成立，
令，则，即，即，即，
对任意均成立，
记，则，
令（b），得，
①当，即时，易知（b）在，单调递增，在单调递减，
此时（b），不合题意；
②当，即时，易知（b）在，单调递减，
此时，
故只需，即，则，即；
综上，实数的取值范围为，；
（Ⅲ）证明：当时，，，令，解得，
易知，
有两个零点，不妨设为，，且，
由，可得，
要证，即证，即证，
而，则，
要证，即证，即证，
而，
，即得证．