专题14—解三角形（1）-近8年高考真题分类汇编—2023届高三数学一轮复习

专题14—解三角形（1）
考试说明：1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角
形度量问题；
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何有关的实际问题；
掌握三角形的面积公式。
高频考点：1、边角的求解；
2、判断三角形的形状；
求与面积、范围有关的问题；
解决平面几何图形问题；
解决实际问题。
高考中，利用正弦、余弦定理解三角形问题是必考的，题型较多，有基础题，比如直接利用定理解三角形，也有难题，比如求范围的问题，出题比较灵活，一些同学总是掌握的不是很好，下面就近几年高考题，给大家分类整理各种题型，希望对大家有所帮助。
典例分析
题型一：利用正余弦定理解三角形
1．（2021 甲卷）在中，已知，，，则　　
A．1 B． C． D．3
2．（2020 新课标Ⅲ）在中，，，，则　　
A． B． C． D．
3．（2020 新课标Ⅲ）在中，，，，则　　
A． B． C． D．
4．（2019 新课标Ⅰ）的内角，，的对边分别为，，．已知，，则　　
A．6 B．5 C．4 D．3
5．（2018 新课标Ⅲ）的内角，，的对边分别为，，．若的面积为，则　　
A． B． C． D．
6．（2021 乙卷）记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则　　．
7．（2019 新课标Ⅱ）的内角，，的对边分别为，，．若，，，则的面积为　　．
8．（2019 新课标Ⅱ）的内角，，的对边分别为，，．已知，则　　．
9．（2021 天津）在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
10．（2021 上海）在中，已知，．
（1）若，求．
（2）若，求．
二、真题集训
1．（2018 新课标Ⅱ）在中，，，，则　　
A． B． C． D．
2．（2016 山东）中，角，，的对边分别是，，，已知，，则　　
A． B． C． D．
3．（2016 新课标Ⅰ）的内角、、的对边分别为、、．已知，，，则　　
A． B． C．2 D．3
4．（2016 天津）在中，若，，，则　　
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2019 上海）在中，，，且，则　　．
6．（2018 浙江）在中，角，，所对的边分别为，，．若，，，则　　，　　．
7．（2017 新课标Ⅲ）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则　　．
8．（2016 上海）已知的三边长分别为3，5，7，则该三角形的外接圆半径等于　　．
9．（2019 北京）在中，，，．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求的值．
10．（2019 江苏）在中，角，，的对边分别为，，．
（1）若，，，求的值；
（2）若，求的值．
11．（2019 北京）在中，，，．
（Ⅰ）求，的值；
（Ⅱ）求的值．
12．（2018 新课标Ⅰ）在平面四边形中，，，，．
（1）求；
（2）若，求．
典例分析答案
题型一：利用正余弦定理解三角形
1．（2021 甲卷）在中，已知，，，则　　
A．1 B． C． D．3
分析：设角，，所对的边分别为，，，利用余弦定理得到关于的方程，解方程即可求得的值，从而得到的长度．
解答：解：设角，，所对的边分别为，，，
结合余弦定理，可得，
即，解得 舍去），
所以．
故选：．
点评：本题考查了余弦定理，考查了方程思想，属基础题．
2．（2020 新课标Ⅲ）在中，，，，则　　
A． B． C． D．
分析：先根据余弦定理求出，再代入余弦定理求出结论．
解答：解：在中，，，，
由余弦定理可得；
故；
，
故选：．
点评：本题主要考查了余弦定理的应用，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
3．（2020 新课标Ⅲ）在中，，，，则　　
A． B． C． D．
分析：由已知利用同角三角函数基本关系式可求的值，利用余弦定理可求的值，可得，利用三角形的内角和定理可求，利用诱导公式，二倍角的正切函数公式即可求解的值．
解答：解：，，，
，
，可得，
，
则．
故选：．
点评：本题主要考查了同角三角函数基本关系式，余弦定理，三角形的内角和定理，诱导公式，二倍角的正切函数公式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
4．（2019 新课标Ⅰ）的内角，，的对边分别为，，．已知，，则　　
A．6 B．5 C．4 D．3
分析：利用正弦定理和余弦定理列出方程组，能求出结果．
解答：解：的内角，，的对边分别为，，，
，，
，
解得，
．
故选：．
点评：本题考查了正弦定理、余弦定理、三角函数性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
5．（2018 新课标Ⅲ）的内角，，的对边分别为，，．若的面积为，则　　
A． B． C． D．
分析：推导出，从而，由此能求出结果．
解答：解：的内角，，的对边分别为，，．
的面积为，
，
，
，．
故选：．
点评：本题考查三角形内角的求法，考查余弦定理、三角形面积公式等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，是基础题．
6．（2021 乙卷）记的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，则　　．
分析：由题意和三角形的面积公式以及余弦定理得关于的方程，解方程可得．
解答：解：的内角，，的对边分别为，，，面积为，，，
，
又，（负值舍）
故答案为：．
点评：本题考查三角形的面积公式以及余弦定理的应用，属基础题
7．（2019 新课标Ⅱ）的内角，，的对边分别为，，．若，，，则的面积为　　．
分析：利用余弦定理得到，然后根据面积公式求出结果即可．
解答：解：由余弦定理有，
，，，
，
，
，
故答案为：．
点评：本题考查了余弦定理和三角形的面积公式，属基础题．
8．（2019 新课标Ⅱ）的内角，，的对边分别为，，．已知，则　　．
分析：由正弦定理化简已知等式可得，由于，化简可得，结合范围，可求的值为．
解答：解：，
由正弦定理可得：，
，，
可得：，可得：，
，
．
故答案为：．
点评：本题主要考查了正弦定理，同角三角函数基本关系式，特殊角的三角函数值在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于基础题．
9．（2021 天津）在中，内角，，的对边分别为，，，且，．
（1）求的值；
（2）求的值；
（3）求的值．
分析：（1）由题意利用正弦定理，求得的值．
（2）由题意利用余弦定理计算求得结果．
（3）先来用二倍角公式求得的正弦值和余弦值，再利用两角和的正弦公式求得的值．
解答：解：（1）中，，，
，，．
（2）中，由余弦定理可得．
（3）由（2）可得，
，，
．
点评：本题主要考查正弦定理、余弦定理、同角三角函数的基本关系、二倍角公式、两角和的正弦公式的应用，考查了运算求解能力，属于中档题．
10．（2021 上海）在中，已知，．
（1）若，求．
（2）若，求．
分析：（1）由余弦定理求得，从而求得面积；
（2）由正、余弦定理求得、值，从而求得周长．
解答：解：（1）由余弦定理得，
解得，
；
（2），由正弦定理得，又，
，，，，为锐角，
．
由余弦定理得：，又，，
，得：，解得：．
当时，，；
当时，，．
点评：本题考查余正、弦定理应用、三角形面积求法，考查数学运算能力，属于中档题．
真题集训答案
1．（解：在中，，，
，，则．
故选：．
2．解：，
，
，
，
则，即，
即，
故选：．
3．解：，，，
由余弦定理可得：，整理可得：，
解得：或（舍去）．
故选：．
4．解：在中，若，，，
，
可得：，
解得或（舍去）．
故选：．
5．解：，
由正弦定理可得：，
由，可得：，
，
由余弦定理可得：，
解得：．
故答案为：．
6．解：在中，角，，所对的边分别为，，．
，，，
由正弦定理得：，即，
解得．
由余弦定理得：
，
解得或（舍，
，．
故答案为：，3．
7．解：根据正弦定理可得，，，，
，
，
，
，
故答案为：．
8．解：可设的三边分别为，，，
由余弦定理可得，，
可得，
可得该三角形的外接圆半径为．
故答案为：．
9．解：（Ⅰ），，．
由余弦定理，得
，
，；
（Ⅱ）在中，，，
由正弦定理有：，
，
，，为锐角，
，
．
10．解：（1）在中，角，，的对边分别为，，．
，，，
由余弦定理得：
，
解得．
（2），
由正弦定理得：，
，
，
，，
．
11．解：（1），，．
由余弦定理，得
，
，；
（2）在中，，，
由正弦定理有：，
，
．
12．解：（1），，，．
由正弦定理得：，即，
，
，，
．
（2），，
，
．