专题16—解三角形（3）—与三角恒等变换综合问题-近8年高考真题分类汇编—2023届高三数学一轮复习

专题16—解三角形（3）—与三角恒等变换综合问题
考试说明：1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角
形度量问题。
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何有关的实际问题
高频考点：1、边角的求解；
2、判断三角形的形状；
求与面积、范围有关的问题；
解决平面几何图形问题；
解决实际问题。
高考中，利用正弦、余弦定理解三角形问题是必考的，题型较多，有基础题，比如直接利用定理解三角形，也有难题，比如求范围的问题，出题比较灵活，一些同学总是掌握的不是很好，下面就近几年高考题，给大家分类整理各种题型，希望对大家有所帮助。
典例分析
题型三：与三角函数、三角恒等变换综合的问题
1．（2017 新课标Ⅰ）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则　　
A． B． C． D．
2．（2019 浙江）在中，，，，点在线段上，若，则　　，　　．
3．（2016 新课标Ⅱ）的内角，，的对边分别为，，，若，，，则　　．
4．（2013 辽宁）在，内角，，所对的边长分别为，，．，且，则　　
A． B． C． D．
5．（2013 新课标Ⅰ）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，，，，则　　
A．10 B．9 C．8 D．5
6．（2013 山东）的内角、、的对边分别是、、，若，，，则　　
A． B．2 C． D．1
7．（2013 浙江）中，，是的中点，若，则　　．
8．（2021 上海）已知、、为的三个内角，、、是其三条边，，．
（1）若，求、；
（2）若，求．
9．（2020 新课标Ⅱ）的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，证明：是直角三角形．
10．（2016 浙江）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）证明：；
（2）若，求的值．
二、真题集训
1．（2015 四川）已知、、为的内角，，是关于方程两个实根．
（Ⅰ）求的大小
（Ⅱ）若，，求的值．
2．（2015 湖南）设的内角，，的对边分别为，，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，且为钝角，求，，．
3．（2014 浙江）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积．
4．（2014 湖南）如图，在平面四边形中，，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，求的长．
5．（2013 重庆）在中，内角，，的对边分别是，，，且．
（1）求；
（2）设，，求的值．
典例分析答案
题型三：与三角函数、三角恒等变换综合的问题
1．（2017 新课标Ⅰ）的内角，，的对边分别为，，，已知，，，则　　
A． B． C． D．
分析：根据诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理计算即可
解答：解：，
，
，
，
，，，
，，由正弦定理可得，
，，，
，
，
，
故选：．
点评：本题考查了诱导公式和两角和的正弦公式以及正弦定理，属于基础题
2．（2019 浙江）在中，，，，点在线段上，若，则　　，　　．
分析：解直角三角形，可得，，在三角形中，运用正弦定理可得；再由三角函数的诱导公式和两角和差公式，计算可得所求值．
解答：解：在直角三角形中，，，，，
在中，可得，可得；
，，
即有，
故答案为：，，
点评：本题考查三角形的正弦定理和解直角三角形，考查三角函数的恒等变换，化简整理的运算能力，属于中档题．
3．（2016 新课标Ⅱ）的内角，，的对边分别为，，，若，，，则　　．
分析：运用同角的平方关系可得，，再由诱导公式和两角和的正弦公式，可得，运用正弦定理可得，代入计算即可得到所求值．
解答：解：由，，可得
，
，
，
由正弦定理可得
．
故答案为：．
点评：本题考查正弦定理的运用，同时考查两角和的正弦公式和诱导公式，以及同角的平方关系的运用，考查运算能力，属于中档题．
4．（2013 辽宁）在，内角，，所对的边长分别为，，．，且，则　　
A． B． C． D．
分析：利用正弦定理化简已知的等式，根据不为0，两边除以，再利用两角和与差的正弦函数公式化简求出的值，即可确定出的度数．
【解答】解：利用正弦定理化简已知等式得：，
，，
，，即为锐角，
则．
故选：．
点评：此题考查了正弦定理，两角和与差的正弦函数公式，以及诱导公式，熟练掌握正弦定理是解本题的关键．
5．（2013 新课标Ⅰ）已知锐角的内角，，的对边分别为，，，，，，则　　
A．10 B．9 C．8 D．5
分析：利用二倍角的余弦函数公式化简已知的等式，求出的值，再由与的值，利用余弦定理即可求出的值．
解答：解：，即，为锐角，
，
又，，
根据余弦定理得：，即，
解得：或（舍去），
则．
故选：．
点评：此题考查了余弦定理，二倍角的余弦函数公式，熟练掌握余弦定理是解本题的关键．
6．（2013 山东）的内角、、的对边分别是、、，若，，，则　　
A． B．2 C． D．1
分析：利用正弦定理列出关系式，将，，的值代入，利用二倍角的正弦函数公式化简，整理求出的值，再由，及的值，利用余弦定理即可求出的值．
解答：解：，，，
由正弦定理得：，
，
由余弦定理得：，即，
解得：或（经检验不合题意，舍去），
则．
故选：．
点评：此题考查了正弦、余弦定理，二倍角的正弦函数公式，熟练掌握定理是解本题的关键．
7．（2013 浙江）中，，是的中点，若，则　　．
分析：作出图象，设出未知量，在中，由正弦定理可得，进而可得，在中，还可得，建立等式后可得，再由勾股定理可得，而，代入化简可得答案．
解答：解：如图
设，，，，
在中，由正弦定理可得，
代入数据可得，解得，
故，
而在中，，
故可得，化简可得，
解之可得，再由勾股定理可得，联立可得，
故在中，，
另解：设为，为，正弦定理得
又有，
联立消去，得，
拆开，将1化成，
构造二次齐次式，同除，
可得，
若，则，
，
解得，
易得．
另解：作交于，设，，，，，
用和相似解得，
则，
易得．
故答案为：
点评：本题考查正弦定理的应用，涉及三角函数的诱导公式以及勾股定理的应用，属难题．
8．（2021 上海）已知、、为的三个内角，、、是其三条边，，．
（1）若，求、；
（2）若，求．
分析：（1）由已知利用正弦定理即可求解的值；利用余弦定理即可求解的值．
（2）根据已知利用两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式可求得，，的值，进而根据正弦定理可得的值．
解答：解：（1）因为，可得，
又，可得，
由于，可得．
（2）因为，
可得，
又，
可解得，，或，，
因为，可得，，可得为钝角，
若，，可得，可得，
可得为钝角，这与为钝角矛盾，舍去，
所以，由正弦定理，可得．
点评：本题主要考查了正弦定理，余弦定理，两角差的余弦公式，同角三角函数基本关系式在解三角形中的应用，考查了计算能力和转化思想，属于中档题．
9．（2020 新课标Ⅱ）的内角，，的对边分别为，，，已知．
（1）求；
（2）若，证明：是直角三角形．
分析：（1）由已知利用诱导公式，同角三角函数基本关系式化简已知等式可得，解方程得，结合范围，可求的值；
（2）由已知利用正弦定理，三角函数恒等变换的应用可求，结合范围，，可求，即可得证．
解答：解：（1），
，解得，
，
；
（2）证明：，，
由正弦定理可得，
，
，，，
，可得，可得是直角三角形，得证．
点评：本题主要考查了正弦定理，三角函数恒等变换的应用，考查了计算能力和转化思想，考查了方程思想的应用，属于基础题．
10．（2016 浙江）在中，内角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）证明：；
（2）若，求的值．
分析：（1）由，利用正弦定理可得：，而，代入化简可得：，由，，可得，即可证明．
，可得．，．利用即可得出．
解答：（1）证明：，
，
，
，由，，
，，或，化为，或（舍去）．
．
解：，．
，．
．
点评：本题考查了正弦定理、和差公式、倍角公式、同角三角函数基本关系式、诱导公式，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．
真题集训答案
1．（2015 四川）已知、、为的内角，，是关于方程两个实根．
（Ⅰ）求的大小
（Ⅱ）若，，求的值．
解：（Ⅰ）由已知，方程的判别式：△，
所以，或．
由韦达定理，有，．
所以，，
从而．
所以，
所以．
（Ⅱ）由正弦定理，可得，
解得，或（舍去）．
于是，．
则．
所以．
2．（2015 湖南）设的内角，，的对边分别为，，，．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）若，且为钝角，求，，．
解：（Ⅰ）证明：．
，
由正弦定理：，又，
，
，
．得证．
（Ⅱ），
，由（1），
，
，
，
为钝角，
，
又，
，
，
综上，，．
3．（2014 浙江）在中，内角，，所对的边分别为，，．已知，，．
（1）求角的大小；
（2）若，求的面积．
解：（1）由题意得，，
，
化为，
由得，，又，
得，即，
；
（2）由，利用正弦定理可得，得，
由，得，从而，故，
．
4．（2014 湖南）如图，在平面四边形中，，，．
（Ⅰ）求的值；
（Ⅱ）若，，求的长．
解：（Ⅰ）．
（Ⅱ），
，
，
，
由正弦定理知，
5．（2013 重庆）在中，内角，，的对边分别是，，，且．
（1）求；
（2）设，，求的值．
解：（1），即，
由余弦定理得：，
又为三角形的内角，
则；
（2）由题意，
，
即，
，，，
，，即，
，即，
解得：或．