专题17—解三角形（4）—范围、最值问题-近8年高考真题分类汇编—2023届高三数学一轮复习

专题17—解三角形（4）—范围、最值问题
考试说明：1、掌握正弦定理、余弦定理，并能解决一些简单的三角
形度量问题。
能够运用正弦定理、余弦定理等知识和方法解决一些与测量和几何有关的实际问题
高频考点：1、边角的求解；
2、判断三角形的形状；
求与面积、范围有关的问题；
解决平面几何图形问题；
解决实际问题。
高考中，利用正弦、余弦定理解三角形问题是必考的，题型较多，有基础题，比如直接利用定理解三角形，也有难题，比如求范围的问题，出题比较灵活，一些同学总是掌握的不是很好，下面就近几年高考题，给大家分类整理各种题型，希望对大家有所帮助。
典例分析
题型四：范围、最值问题
1．（2018 江苏）在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为　　．
2．（2014 重庆）已知的内角，，满足，面积满足，记，，分别为，，所对的边，在下列不等式一定成立的是　　
A． B． C． D．
3．（2014 浙江）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小（仰角为直线与平面所成的角）．若，，，则的最大值是　　
B． C． D．
4．（2014 江苏）若的内角满足，则的最小值是　　．
5．（2020 浙江）在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的取值范围．
6．（2020 新课标Ⅱ）中，．
（1）求；
（2）若，求周长的最大值．
二、真题集训
1．（2016 北京）在中，．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）求的最大值．
2．（2015 湖南）设的内角、、的对边分别为、、，，且为钝角．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求的取值范围．
3．（2013 江西）在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
4．（2013 重庆）在中，内角、、的对边分别是、、，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设，为的面积，求的最大值，并指出此时的值．
5．（2013 福建）如图，在等腰直角中，，，点在线段上，
（Ⅰ）若，求的长；
（Ⅱ）若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小值．
6．（2013 新课标Ⅱ）在内角、、的对边分别为，，，已知．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求面积的最大值．
典例分析答案
题型四：范围、最值问题
1．（2018 江苏）在中，角，，所对的边分别为，，，，的平分线交于点，且，则的最小值为　　．
分析：根据面积关系建立方程关系，结合基本不等式1的代换进行求解即可．
解答：解：由题意得，
即，
得，
得，
当且仅当，即时，取等号，
故答案为：9．
点评：本题主要考查基本不等式的应用，利用1的代换结合基本不等式是解决本题的关键．
2．（2014 重庆）已知的内角，，满足，面积满足，记，，分别为，，所对的边，在下列不等式一定成立的是　　
A． B． C． D．
分析：根据正弦定理和三角形的面积公式，利用不等式的性质 进行证明即可得到结论．
解答：解：的内角，，满足，
，
，
，
，
化为，
．
设外接圆的半径为，
由正弦定理可得：，
由，及正弦定理得，
即，
面积满足，
，即，
由可得，显然选项，不一定正确，
．，即，正确，
．，即，但，不一定正确，
故选：．
点评：本题考查了两角和差化积公式、正弦定理、三角形的面积计算公式、基本不等式等基础知识与基本技能方法，考查了推理能力和计算能力，属于难题．
3．（2014 浙江）如图，某人在垂直于水平地面的墙面前的点处进行射击训练，已知点到墙面的距离为，某目标点沿墙面上的射线移动，此人为了准确瞄准目标点，需计算由点观察点的仰角的大小（仰角为直线与平面所成的角）．若，，，则的最大值是　　
A． B． C． D．
分析：在直角三角形中，由与的长，利用勾股定理求出的长，过作，交于点，连接，利用锐角三角函数定义表示出，设，则，利用锐角三角函数定义表示出，利用勾股定理表示出，表示出，即可确定出的值．
解答：解：，，，
，
过作，交于，连接，则，
设，则，
由，得，
在直角中，，
，
令，则函数在，单调递减，
时，取得最大值为，
若在的延长线上，，
在直角中，，
，
令，则可得时，函数取得最大值，
则的最大值是．
故选：．
点评：此题考查了正弦定理，锐角三角函数定义，以及解三角形的实际应用，弄清题意是解本题的关键．
4．（2014 江苏）若的内角满足，则的最小值是　　．
分析：根据正弦定理和余弦定理，利用基本不等式即可得到结论．
解答：解：由正弦定理得，得，
由余弦定理得
，
当且仅当时，取等号，
故，故的最小值是．
故答案为：．
点评：本题主要考查正弦定理和余弦定理的应用，结合基本不等式的性质是解决本题的关键．
5．（2020 浙江）在锐角中，角，，所对的边分别为，，．已知．
（Ⅰ）求角的大小；
（Ⅱ）求的取值范围．
分析：（Ⅰ）根据正弦定理可得，结合角的范围，即可求出，
（Ⅱ）根据两角和差的余弦公式，以及利用正弦函数的性质即可求出．
解答：解：（Ⅰ），
，
，
，
为锐角三角形，
，
（Ⅱ）为锐角三角形，，
，
，
为锐角三角形，，，
解得，
，
，
，
的取值范围为，．
点评：本题考查了正弦定理，三角函数的化简，三角函数的性质，考查了运算求解能力和转化与化归能力，属于中档题．
6．（2020 新课标Ⅱ）中，．
（1）求；
（2）若，求周长的最大值．
分析：（1）运用余弦定理和特殊角的三角函数值，可得所求角；
（2）方法一、运用正弦定理和三角函数的和差公式，结合余弦函数的图象和性质，可得所求最大值．
方法二、运用余弦定理和基本不等式，即可得到所求最大值．
解答：解：（1）设的内角，，所对的边分别为，，，
因为，
由正弦定理可得，
即为，
由余弦定理可得，
由，可得；
（2）由题意可得，
又，可设，，，
由正弦定理可得，
可得，，
则周长为，
，
当，即时，的周长取得最大值．
另解：，，又，
，
由，则（当且仅当时，“”成立），
则周长的最大值为．
点评：本题考查三角形的正弦定理和余弦定理的运用，考查三角函数的恒等变换和图象与性质，考查方程思想和化简运算能力，属于中档题．
真题集训答案
1．（2016 北京）在中，．
（Ⅰ）求的大小；
（Ⅱ）求的最大值．
解：（Ⅰ）在中，．
．
，
（Ⅱ）由得：，
．
，
，，
故当时，取最大值1，
即的最大值为1．
2．（2015 湖南）设的内角、、的对边分别为、、，，且为钝角．
（Ⅰ）证明：；
（Ⅱ）求的取值范围．
解：（Ⅰ）由和正弦定理可得，
，即
又为钝角，，，
，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，
，
，
，，
由二次函数可知
的取值范围为，
3．（2013 江西）在中，角，，所对的边分别为，，，已知．
（1）求角的大小；
（2）若，求的取值范围．
解：（1）由已知得：，
即，
，，即，
又为三角形的内角，则；
（2）方法一：，即，，
由余弦定理，得，
即，
，，则．
的取值范围为，．
方法二：，即，，
由余弦定理，得，
即
，
，又，，
的取值范围为，．
4．（2013 重庆）在中，内角、、的对边分别是、、，且．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）设，为的面积，求的最大值，并指出此时的值．
解：（Ⅰ）由余弦定理得：，
为三角形的内角，；
（Ⅱ）由（Ⅰ）得，由正弦定理得：，及得：
，
则，
则当，即时，取最大值3．
5．（2013 福建）如图，在等腰直角中，，，点在线段上，
（Ⅰ）若，求的长；
（Ⅱ）若点在线段上，且，问：当取何值时，的面积最小？并求出面积的最小值．
解：（Ⅰ）在中，，，，
由余弦定理可得，，
解得的长为1或3；
（Ⅱ）设，，在中，由正弦定理可得：，
，
同理，，
故
因为，所以，
所以当时，的最大值为1，
此时，的面积最小，面积的最小值．
6．（2013 新课标Ⅱ）在内角、、的对边分别为，，，已知．
（Ⅰ）求；
（Ⅱ）若，求面积的最大值．
解：（Ⅰ）由已知及正弦定理得：①，
②，
，即，
为三角形的内角，
；
（Ⅱ），
由已知及余弦定理得：，
整理得：，当且仅当时，等号成立，
则面积的最大值为．