2022-2023学年高一数学同步优品讲练课件（人教A版2019必修第一册）1.4 充分条件与必要条件-(共32张PPT)

(共32张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.4 充分条件与必要条件
榆次一中 数学教研组
学习目标
1.理解充分条件、必要条件、充要条件的概念.（数学抽象）
2.了解充分条件与判定定理，必要条件与性质定理，充要条件与性质定理的关系.（逻辑推理）
3.能通过充分性、必要性解决简单的问题.（逻辑推理）
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1.初中我们学过的命题的定义是什么？
[答案] 判断一件事的语句．
2.命题的常用形式是什么？
[答案] 数学中的命题常可以写成“如果……那么……”的形式．
预学忆思
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3.何为真命题？何为假命题？
[答案] 如果题设成立，那么结论一定成立的命题为真命题，结论不能保证一定成立的为假命题．
4.命题“若 ，则 ”为真命题，则 是 的什么条件？
[答案] 充分条件．
5.命题“若 ，则 ”为假命题，则 是 的什么条件？
[答案] 不充分条件.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 如果 是 的必要条件，那么 是唯一的.( )
×
（2） 是 的必要条件的含义是：如果 不成立，那么 一定不成立.( )
√
（3） “ ”是“ ， 都大于0”成立的充分条件.( )
×
（4） 若 是 的充分条件，则 是 的必要条件.( )
√
自学检测
2.（多选题）下列条件中是 的充分条件的是( @10@ ).
A. B. C. D.
BCD
[解析] 当 时， ，但 ，故A错误，B,C，D都正确．
3.若 ， ，则 是 的_______条件．（填“充分”“必要”或“充要”）
必要
[解析] ，即 ，故 是 的必要条件.
4.若 是 的充要条件， 是 的充要条件，则 是 的_______条件．（填“充分”“必要”或“充要”）
充要
[解析] 依题意， ， ,所以 ．
探究1 充分条件、必要条件
如图,这一个电路图，其中 ， 为开关， 为一盏灯.
情境设置
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问题1：. 开关闭合时， 灯一定亮吗？
[答案] 一定.
问题2：. 灯亮时 开关一定闭合吗？
[答案] 不一定.
问题3：. 开关闭合是 灯亮的什么条件？
[答案] 充分条件.
新知生成
1.命题的概念及结构
（1） 一般地，我们把用语言、符号或式子表达的，可以判断真假的陈述句叫作_______.判断为真的语句是_________，判断为假的语句是_________．
命题
真命题
假命题
（2） 当命题表示为“若 ，则 ”时，____是命题的条件，____是命题的结论．


2.充分条件与必要条件
一般地，“若 ，则 ”为_________，是指由 通过推理可以得出 .这时，我们就说，由 可以推出 ，记作 ，并且说， 是 的___________， 是 的___________．
如果“若 ，则 ”为假命题，那么由条件 不能推出结论 ，记作 .此时，我们就说 不是 的___________， 不是 的___________．
真命题
充分条件
必要条件
充分条件
必要条件
特别提醒：
1. 的含义
（1）“若 ，则 ”形式的命题为真命题．
（2）由条件 可以得到结论 ．
（3） 是 的充分条件或 的充分条件是 ；
是 的必要条件或 的必要条件是 ．
（4）只要有条件 ，就一定有结论 ，即 对于 是充分的， 对于 的成立是必要的．
（5）为得到结论 ，具备条件 即可．
显然， 是 的充分条件与 是 的必要条件表述的是同一个逻辑关系，即 ，只是说法不同而已．
（1）所谓充分，就是说条件是充分的，也就是说条件是充足的，条件是足够的，条件是足以保证的.“有之必成立，无之未必不成立”．
（2）充分条件不是唯一的，如 ， 等都是 的充分条件.必要条件不是唯一的，如 ， 等都是 的必要条件．
2.对充分条件的理解
新知运用
一、必要条件
例1 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的 是 的必要条件？
（1）若一个四边形是等腰梯形，则这个四边形的两条对角线相等；
（2）若 是直角三角形，则 是等腰三角形；
（3）若 ，则 ；
（4）若关于 的方程 有唯一解，则 ．
[解析] （1）等腰梯形的两条对角线相等,因此 ，所以 是 的必要条件．
（2）直角三角形不一定是等腰三角形,因此 ，所以 不是 的必要条件．
（3）命题“若 ，则 ”是真命题，因此 ，所以 是 的必要条件．
（4）命题“若关于 的方程 有唯一解，则 ”为假命题，因此 ，所以 不是 的必要条件．
方法总结 必要条件的两种判断方法
（1）定义法：
（2）命题判断法：
若命题“若 ，则 ”是真命题，则 是 的必要条件；若命题“若 ，则 ”是假命题，则 不是 的必要条件.
二、充分条件
例2 下列“若 ，则 ”形式的命题中，哪些命题中的 是 的充分条件？
（1）若 ，则 ；
（2）若 ，则 ；
（3）若 ， ， ，则 ；
（4）若 ，则 ；
（5）在 中，若 ，则 ；
（6）若四边形 是正方形，则四边形 是菱形.
[解析] （1）因为 ，所以 ，所以 是 的充分条件．
（2）因为 ，所以 .因此 ，所以 是 的充分条件．
（3）若 ， ，则 ，但 ，所以 ，所以 不是 的充分条件．
（4）由 可以推出 或 ，不一定有 ，因此 ，所以 不是 的充分条件．
（5）由三角形中大角对大边可知，若 ，则 ，因此 ，所以 是 的充分条件．
（6）由菱形和正方形的定义可知，所有的正方形都是菱形，所以 ，所以 是 的充分条件．
方法总结 充分条件的两种判断方法
（1）定义法：
（2）命题判断法：
若命题“若 ，则 ”是真命题，则 是 的充分条件；若命题“若 ，则 ”是假命题，则 不是 的充分条件.
1.设集合 ， ，则“ ”是“ ”的_______条件.（填“充分”或“必要”）
必要
[解析] 因为集合 ， ，当 时， .因为“ ” “ ”，但“ ” “ ”，所以“ ”是“ ”的必要条件．
2.设集合 ， ，那么“ ”是“ ”的_______条件.（填“充分”或“必要”）
充分
[解析] 由题意得 ，所以“ ” “ ”，所以“ ”是“ ”的充分条件.
巩固训练
探究2 充要条件
老张邀请张三、李四、王五三个人吃饭，时间到了，只有张三、李四准时赴约，王五因事不能到场，老张说:“该来的没有来.”张三听了脸色一沉，起来一声不吭地走了.老张愣了片刻，又道了句:“不该走的又走了.”李四听了大怒，拂袖而去.
问题1：.张三为什么走了？
[答案] “该来的没有来”的等价命题是“来了的都不该来”，张三觉得自己是不该来的.
情境设置
问题2：.李四为什么走了？
[答案] “不该走的又走了”的等价命题是“没走的应该走”，李四觉得自己是应该走的.
问题3：.若 是 的充要条件，则 和 相互等价，这种说法对吗？
[答案] 正确.若 是 的充要条件，则 ，即 等价于 ．
问题4：.“ 是 的充要条件”与“ 的充要条件是 ”的区别在哪里？
[答案] “ 是 的充要条件”说明 是条件， 是结论；“ 的充要条件是 ”说明 是条件， 是结论．
新知生成
充要条件
（1） 如果“若 ，则 ”和“若 ，则 ”均是真命题，即既有________，又有________，就记作_________.此时， 既是 的充分条件，也是 的必要条件，我们说 是 的充分必要条件，简称为___________．



充要条件
（2） 当 是 的充要条件时， 也是 的_______条件．
充要
（3） 是 的充要条件也常常说成“ 成立___________ 成立”或“ 与 _______”．
当且仅当
等价
特别提醒：从概念的角度去理解充分条件、必要条件、充要条件
（1）若 ，则称 是 的充分条件， 是 的必要条件．
（2）若 ，则 是 的充要条件．
（3）若 ，且 ，则称 是 的充分不必要条件．
（4）若 ，且 ，则称 是 的必要不充分条件．
（5）若 ，且 ，则称 是 的既不充分也不必要条件．
新知运用
例3 指出下列各题中， 是 的什么条件.（在“充分不必要条件”“必要不充分条件”“充要条件” “既不充分也不必要条件”中选出一种作答）
（1）在 中， ， .
（2） 或 ， ：方程 有两个不同的实根.
（3）已知 , , , .
[解析] （1）在 中，显然有 ， 是 的充要条件.
（2）方程 有两个不同的实根 ，且 ，且 ,
是 的既不充分也不必要条件.
（3） , 是 的充要条件.
， 中至少有一个不为零的充要条件是( @47@ ).
A. B. C. D.
D
[解析] 若 ，则 ， 不同时为零；若 ， 中至少有一个不为零，则 ．故选D.
巩固训练
探究3 充要条件的证明
已知关于 的方程 有两个负实根的充要条件是 .
问题1：.由 得到方程 有两个负实根，这个过程是“充分性”还是“必要性”？
[答案] 充分性； 是条件，方程 有两个负实根是结论.
情境设置
问题2：.由方程 有两个负实根直接求解得到 的取值范围，则 的取值范围是方程 有两个负实根的什么条件？
[答案] 必要条件.
问题3：.互为充要条件是指条件和结论是相对的，在充要条件问题的证明中，条件是确定的吗？
[答案] 互为充要条件中，条件和结论是相对的，在充要条件问题的证明中，条件是确定的.
新知生成
充要条件的证明一般分为两个步骤，即分别证明“充分性”和“必要性”这两个方面．解题时要避免将充分性当作必要性来证明，这就需要分清条件与结论，若“条件” “结论”，则是证明充分性，若“结论” “条件”，则是证明必要性．
新知运用
例4 证明：一元二次方程 有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是 .
方法指导 解答本题可先确定 和 ,再分充分性（由 推证方程有一个正实数根和一个负实数根）和必要性（由方程有一个正实数根和一个负实数根推证 ）进行证明.
[解析] 先证充分性： ， ， .
∴方程 有两个实数根．
设方程 的两个根分别为 ， ，
则 ，
∴一元二次方程 有一个正实数根和一个负实数根．
再证必要性：∵一元二次方程 有一个正实数根和一个负实数根， ， ，
.
故一元二次方程 有一个正实数根和一个负实数根的充要条件是 .
求证：关于 的方程 有一个根是1的充要条件是 ．
[解析] 设 方程 有一个根是1， ．
①必要性：
是方程 的根，
，即 ．
②充分性：
由 ，得 ．
， ，
，
即 ，
是方程的一个根．
故方程 有一个根是1的充要条件是 ．
巩固训练
1.若 ，则“ ”是“ ”的( @54@ ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.既不充分也不必要条件 D.充要条件
A
[解析] 因为“ ” “ ”，而“ ” “ ”，所以“ ”是“ ”的充分不必要条件，故选 ．
随堂检测·精评价
YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL
2.“ ”是“ ”的( @56@ ).
A.充分不必要条件 B.必要不充分条件
C.充要条件 D.既不充分也不必要条件
B
[解析] ，∴“ ”是“ ”的必要不充分条件.故选B.
3.函数 的图象关于直线 对称的充要条件是__________．

[解析] 若函数 的图象关于直线 对称，则 ，即 ；反之，若 ，则函数 的图象关于直线 对称．
4.已知 实数 满足 ，其中 ； 实数 满足 .若 是 的充分条件，求实数 的取值范围．
[解析] 由 ， ,得集合 ．
由 ，得集合 ．
因为 ，所以 ，
所以 解得 ，
所以实数 的取值范围是 ．