2022-2023学年高一数学同步优品讲练课件（人教A版2019必修第一册）1.5 全称量词与存在量词(共31张PPT)

(共31张PPT)
第一章 集合与常用逻辑用语
1.5 全称量词与存在量词
榆次一中 数学教研组
学习目标
1.通过已知的数学实例，理解全称量词与存在量词的意义.（数学抽象）
2.能正确使用存在量词对全称量词命题进行否定.（逻辑推理）
3.能正确使用全称量词对存在量词命题进行否定.（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
1. 是 的充分条件与 是 的必要条件所表示的推出关系是否相同？
[答案] 相同，都是 ．
2.以下五种表述形式：① ；② 是 的充分条件；③ 的充分条件是 ；④ 是 的必要条件；⑤ 的必要条件是 .这五种表述形式等价吗？
[答案] 这五种表述形式是等价的．
预学忆思
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3.若 是 的充要条件，则命题 和 是两个相互等价的命题，这种说法对吗？
[答案] 正确.若 是 的充要条件，则 ，即 等价于 ．
4. ：任意两个全等的三角形必相似，其中的“任意”称为什么量词？
[答案] 全称量词.
5. ：存在两个相似的三角形全等，其中的“存在”称为什么量词？
[答案] 存在量词.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 命题“任意一个自然数都是正整数”是全称量词命题.( )
√
（2） 命题“三角形的内角和是 ”是全称量词命题.( )
√
（3） 命题“梯形有两边平行”不是全称量词命题.( )
×
（4） “有些”“某个”“有的”等短语不是存在量词.( )
×
自学检测
2.以下四个命题中既是存在量词命题又是真命题的是( @10@ ).
A.锐角三角形的内角是锐角或钝角 B.至少有一个实数 ，使
C.两个无理数的和必是无理数 D.存在一个负数 ，使
B
[解析] A是全称量词命题．
B项为存在量词命题，当 时， 成立，所以B正确．
因为 ，所以C为假命题．
对于任何一个负数 ，都有 ，所以D错误.故选B.
3.将命题“ ”改写成全称量词命题为___________________________________________．
对任意 ， ，都有 成立
4.若对任意 ，都有 恒成立，则实数 的取值范围是___________．

[解析] 对于任意 ，都有 恒成立，即大于3的数恒大于 ，所以 ,故实数 的取值范围是 ．
探究1 全称量词命题和存在量词命题
我们学校为了迎接10月28日的秋季田径运动会，正在排练由1000名学生参加的开幕式团体操表演.这1000名学生符合下列条件：
（1）所有学生都来自高一年级；
（2）至少有30名学生来自高一（2）班；
（3）每一个学生都有固定的表演路线.
情境设置
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问题1：.上述问题中“所有”“每一个”的含义相同吗？
[答案] 相同．
问题2：.“至少”是全称量词吗？
[答案] 不是，是存在量词.
问题3：.“一元二次方程 有实数解”是存在量词命题还是全称量词命题？请改写成相应命题的形式．
[答案] 是存在量词命题，可改写为“存在 ，使 ”．
问题4：.全称量词限制范围吗？
[答案] 全称量词往往会限制一定的范围.
新知生成
1.全称量词和全称量词命题
（1） 全称量词
短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫作___________，并用符号“____”表示．
全称量词

（2） 全称量词命题
含有___________的命题叫作全称量词命题，通常将含有变量 的语句用 ， ， ， 表示，变量 的取值范围用 表示，那么全称量词命题“对 中任意一个 ， 成立”可用符号简记为_________________．
全称量词
，
2.存在量词和存在量词命题
（1） 短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫作___________，并用符号“____”表示.含有存在量词的命题，叫作_______________．
存在量词

存在量词命题
（2） 常见的存在量词还有“_______”“_________”“_________”“_______”等．
有些
有一个
对某些
有的
新知运用
一、全称量词命题与存在量词命题的判定
例1 指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断它们的真假．
（1） ， 是奇数；
（2）存在一个 ，使 ；
（3）对任意实数 ， ；
（4）有一个角 ，使 ．
[解析] （1）是全称量词命题.因为 ， 都是奇数，所以该命题是真命题．
（2）是存在量词命题.因为不存在 ，使 成立，所以该命题是假命题．
（3）是全称量词命题.因为 ，所以 不恒成立，所以该命题是假命题．
（4）是存在量词命题.因为当 时， ，所以该命题是真命题．
二、全称量词命题与存在量词命题的真假判断
例2 判断下列命题的真假：
（1）在平面直角坐标系中，任意有序实数对 都对应一点 ；
（2）每一条线段的长度都能用正有理数来表示；
（3）至少有一个直角三角形不是等腰三角形；
（4） ， ；
（5） ， ， ．
[解析] （1）是真命题．
（2）是假命题，如边长为1的正方形，其对角线的长度为 ，就不能用正有理数表示．
（3）是真命题，如有一个内角为 的直角三角形就不是等腰三角形．
（4）是真命题， 或 都能使 成立．
（5）是真命题，因为完全平方公式对任意实数都成立，显然对整数成立．
方法总结 全称量词命题与存在量词命题真假的判断技巧
（1）全称量词命题真假的判断：要判断一个全称量词命题是真命题，必须对限定集合 中的每个元素 验证 成立；但要判定全称量词命题是假命题，只需举出限定集合 中的一个 ，使得 不成立即可（这就是通常所说的“举出一个反例”）；
（2）存在量词命题真假的判断：要判定一个存在量词命题是真命题，只要在限定集合 中，找到一个 ，使 成立即可，否则，这一存在量词命题就是假命题．
1.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题.
（1）矩形有一个外接圆；
（2）非负实数有两个平方根；
（3）有一对实数 ，使 成立．
[解析] （1）可以改写为“所有的矩形都有一个外接圆”，是全称量词命题．
（2）可以改写为“所有的非负实数都有两个平方根”，是全称量词命题．
（3）可以改写为“ ， ，使 成立”，是存在量词命题．
巩固训练
2.指出下列命题是全称量词命题还是存在量词命题，并判断真假.
（1） ， ；
（2）每一个三角形的内角和都是 ；
（3）钝角三角形的高有的在三角形外部；
（4）对任意的 ， ，都有 ．
[解析] （1）存在量词命题.由于使 成立的实数只有 ，且它们都不是有理数,因此没有任何一个有理数的平方能等于3，所以该命题是假命题．
（2）全称量词命题.由三角形的内角和定理可知，该命题是真命题．
（3）存在量词命题.钝角三角形的高有可能在三角形外部，所以该命题是真命题．
（4）全称量词命题.因为 ，所以该命题是假命题.
探究2 含有一个量词命题的否定
（1）关于 的方程 都有实数根；
（2）有些正整数没有1和它本身以外的约数.
问题1：.判断上述命题是全称量词命题还是存在量词命题.
[答案] （1）是全称量词命题；（2）是存在量词命题.
问题2：.你能写出（1）（2）的否定吗？
[答案] 命题（1）的否定为“有些关于 的方程 无实数根”．
命题（2）的否定为“任意正整数都有1和它本身以外的约数”．
情境设置
新知生成
全称量词命题： ， ，它的否定：__________________；
存在量词命题： ， ，它的否定：__________________．
全称量词命题的否定是存在量词命题，存在量词命题的否定是全称量词命题．
，
，
新知运用
一、全称量词命题与存在量词命题的否定
例3 写出下列命题的否定并判断其真假：
（1） ， ；
（2） 所有的正方形都是矩形；
（3） ， ；
（4） 至少有一个实数 ，使 ．
方法指导 先判断是全称量词命题还是存在量词命题，然后写出含有量词的命题的否定并判断真假.
[解析] （1） ， ，假命题．
（2） 至少存在一个正方形不是矩形，假命题．
（3） ， ，真命题．
（4） ， ，假命题．
方法总结 写含有一个量词的命题的否定的方法：（1）一般地，写含有一个量词的命题的否定，首先要明确这个命题是全称量词命题还是存在量词命题，然后把命题中的全称量词改成存在量词，存在量词改成全称量词，同时否定结论.（2）对于省略量词的命题，应先挖掘命题中隐含的量词，将命题改写成含量词的完整形式，再依据规则来写出命题的否定．
1.（多选题）下列命题是真命题的是( @39@ ).
A. ， B. ，
C. ， D. ，
CD
[解析] 对于A，当 时， ，所以命题“ ， ”为假命题；
对于B，由二次函数的性质得 ，可得 ，所以命题“ ， ”为假命题；
对于C，因为 ，所以命题“ ， ”为真命题；
对于D，当 时，方程 成立，所以命题“ ， ”为真命题．
巩固训练
2.判断下列命题的真假，并写出这些命题的否定.
（1） ， ；
（2） { 是无理数}， 是无理数.
[解析] （1）真命题.因为 ， ，所以 ， 恒成立，所以这是一个真命题．该命题的否定为 ， .
（2）真命题.该命题的否定为 { 是无理数}， 是有理数．
二、由含量词命题的真假求参数的范围
例4 （1）已知集合 ，若命题“ ，一次函数 的图象在 轴上方”是真命题，则实数 的取值范围是___________________．
（2）若命题“ ，使得方程 成立”是真命题，求实数 的取值范围．

[解析] （1）当 时， ，因为一次函数 的图象在 轴上方，所以 ，即 ，所以实数 的取值范围是 ．
（2）由题意得，关于 的方程 有实数根，当 时，方程为 ，显然有实数根，满足题意；当 时， ，解得 且 ．
综上所述，实数 的取值范围是 ．
【变式探究】 本例（2）中的方程改为“ ”，求实数 的取值范围．
[解析] 依题意，因为方程 有实数解，所以 ，解得 ，故实数 的取值范围是 ．
方法总结 利用含量词命题的真假求参数的取值范围
（1）含参数的全称量词命题为真时，常与不等式恒成立有关，可根据有关代数恒等式（如 ），确定参数的取值范围；
（2）含参数的存在量词命题为真时，常转化为方程或不等式有解问题来处理，可借助根的判别式等知识解决.
若“ ， ”是真命题，则实数 的取值范围是____________．

[解析] 当 时，“ ， ”是真命题．
巩固训练
1.命题“存在实数 ，使 ”的否定是( @47@ ).
A.对任意实数 ，都有 B.不存在实数 ，使
C.对任意实数 ，都有 D.存在实数 ，使
C
[解析] “存在实数 ，使 ”的否定是“对任意实数 ，都有 ”.故选C.
随堂检测·精评价
YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL
2.（多选题）下列命题是假命题的是( @49@ ).
A. ， B. ，
C. ， D. ，
ABC
[解析] 对于A，当 时， ，不合题意，A是假命题；
对于B， ，B是假命题；
对于C，当 时， ,不合题意，C是假命题； 是真命题．
3.对任意 ， 恒成立，则实数 的取值范围是___________．

[解析] ∵对任意 ， 恒成立，∴大于8的数恒大于 ， ,即实数 的取值范围为 ．
4.判断下列命题是全称量词命题还是存在量词命题,并判断其真假．
（1） ， ；
（2）存在一个实数，使等式 成立；
（3）每个二次函数的图象都与 轴相交．
[解析] （1）存在量词命题．
， ， ，
∴不存在 ，使 .故该命题为假命题．
（2）存在量词命题．
，∴该命题为假命题．
（3）全称量词命题．
存在 的图象与 轴不相交，故该命题为假命题．