2022-2023学年高一数学同步优品讲练课件（人教A版2019必修第一册）2.1 等式性质与不等式性质(共34张PPT)

(共34张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.1 等式性质与不等式性质
榆次一中 数学教研组
学习目标
1.会用不等式（组）表示实际问题中的不等关系.（数学建模）
2.会运用作差法比较两个数或式子的大小.（数学运算）
3.梳理等式的性质，掌握不等式的性质，会用不等式的性质证明不等式或解决范围问题.
（逻辑推理）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
1.如果 ，那么 成立吗？
[答案] 成立.
2.如果 ，那么 成立吗？
[答案] 成立.
3.如果 ， ，那么 成立吗？ 呢？
[答案] 成立， 不一定成立，但 成立．
4.如果 ， ，那么 成立吗？
[答案] 不成立．
预学忆思
自主预习·悟新知
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1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 与 的差是非负实数，可表示为 .( )
×
（2） 实数 不大于 ，用不等式表示为 .( )
×
（3） .( )
×
（4） .( )
×
自学检测
2.已知 ，下列选项中正确的是( @9@ ).
A. B. C. D.
B
[解析] ，但 ， ， ， 错误.
， ， ， ，B正确．
，但 ，D错误.故选B.
3.某桥头竖立的“限重40吨”的警示牌，是提示司机要安全通过该桥，应使车和货物的总质量 满足条件_________．

[解析] “限重40吨”是不超过40吨的意思．
4.设 ， ，则 与 的大小关系是_________．

[解析] 因为 ，所以 （当且仅当 时取等号）．
探究1 比较大小
在日常生活中，有这样一种现象，向糖水中不断加入糖，糖水会变得越来越甜.已知 克糖水中含有 克糖，再添加 克糖（假设全部溶解）.
问题1：.你能将糖水变甜这一事实用一个不等式表示吗？
[答案] 能， .
情境设置
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问题2：.如何从理论上比较 与 的大小？
[答案] 作差比较大小. ，因为 ，所以 ，又 ，所以 ,所以 .
新知生成
比较两个实数 ， 大小的依据
文字语言 符号表示
如果 是正数，那么 ； 如果 是负数，那么 ； 如果 等于0，那么 . 反之亦然
特别提醒:(1)上面的“ ”表示“等价于”,即可以互相推出.(2)“ ”右边的式子反映了实数的运算性质,左边的式子反映的是实数的大小,二者结合起来是实数的运算性质与实数的大小之间的关系.
新知运用
例1 已知 ， 均为正实数，试利用作差法比较 与 的大小．
[解析] ．
当 时， ，此时 ；
当 时， ， ，此时 ．
综上所述， （当且仅当 时取等号）．
方法总结 比较两个实数的大小，可以先求出它们的差的符号.作差法比较实数的大小的一般步骤：作差→恒等变形→判断差的符号→下结论.作差后变形是比较大小的关键一步，变形的方向是化成几个完全平方数和的形式或一些易判断符号的因式的积的形式.
已知 ，比较 与 的大小.
[解析] .
, ，又 ，
， .
巩固训练
探究2 重要不等式
设 ， ，记 ， ， 分别为 ， 的算术平均数、几何平均数、调和平均数.古希腊数学家帕波斯于公元4世纪在其名著《数学汇编》中研究过 时， ， ， 的大小关系.
情境设置
问题1：.你能探究 ， ， 的大小关系吗？
[答案] 能,因为 ， ， ，
所以 ，即 ； ，即 .所以 .
所以 ， ， 中最大的为 ，最小的为 .
问题2：.我们知道 ，你能得出什么样的重要关系？
[答案] 因为 ，所以 .
新知生成
一般地， ， ，有 ，当且仅当 时， .
新知运用
例2 已知 ， ， ，求证： .
方法指导 观察不等式和与积的特征，利用重要不等式证明.
[解析] 由重要不等式可得 ，
同理， ， ，
，
从而 ，当时仅当 时取“=”.
方法总结 用重要不等式证明不等式时，应先依据不等式两边式子的结构特点进行恒等变形，使之具备重要不等式的结构和条件，然后合理地选择重要不等式进行证明.
已知 ，求证： ．
[解析] （法一）利用 ．
， ,当且仅当 时，等号成立．
（法二） ，
.
巩固训练
探究3 不等式的性质
小明说：“ 是 成立的充要条件.”
问题1：.小明的说法正确吗？用什么性质判断小明的说法是否正确？
[答案] 不正确，用等式的性质.当 时， 一定成立，反过来，当 时，不能推出 ，如当 时， 成立， 不成立.故“ 是 成立的充要条件”是错误的.
情境设置
问题2：.请大家回忆一下，等式有哪些性质？
[答案] 等式的性质:
性质1：如果 ，那么 ；
性质2：如果 ， ，那么 ；
性质3：如果 ，那么 ；
性质4：如果 ，那么 ；
性质5：如果 ， ，那么 .
问题3：.类比等式的性质，你能推出不等式的性质吗？
[答案] 能.
新知生成
不等式的基本性质：
（1） 对称性： ________.

（2） 传递性： ， ________.

（3） 可加性： _______________.

（4） 可乘性： ， __________； ， __________.


（5） 加法法则： ， _______________.

（6） 乘法法则： ， __________.

（7） 乘方法则： __________________________.

（8）开方法则： .
新知运用
一、利用不等式的性质判断或证明
例3 （1）给出下列结论：
①若 ， ，则 ；
②对于正数 ， ， ，若 ，则 .
其中正确结论的序号是__________．
（2）已知 ， .求证： ．
②
[解析] （1）对于①，若 ， ， ， ，则 ，①错误；
对于②，对于正数 ， ， ，若 ，则 ，所以 ，
所以 ，
又 ，所以 ，②正确．
综上，正确结论的序号是②．
（2）因为 ，所以 .
所以 ．
又因为 ，所以 .
所以 ，即 ，
所以 ．
方法总结 （1）注意不等式成立的条件，在解选择题时，可利用特值法进行排除.取值要求：一是满足题设条件，二是取值简单，便于计算．
（2）应用不等式的性质证明时，应注意不等式的性质成立的条件，不可省略条件或跳步推导．
二、利用不等式的性质求范围
例4 已知 ， .求 和 的取值范围．
[解析] ， ，又 , ，即 .
又 ， ，即 ．
故 ， ．
【变式探究】
已知 且 ，求 的取值范围．
[解析] 令 ， ，则 ， ．
由 解得
,
又 ， ， ，
．
方法总结 不等式具有可加性（需同向）与可乘性（需同正），但不能相减或相除，应用时要充分利用所给条件进行适当变形来求范围，注意等价变形．
1.有下列四个不等式：
① ，② ，③ ，④ ．
若 ，则不正确的不等式的个数是( @38@ ).
A. B. C. D.
C
[解析] 由 可得 ，所以 ， ,①②均不正确，④正确；因为 ， ，所以 成立，③正确.故不正确的不等式的个数为2．
巩固训练
2.已知 ， ，则 的取值范围是_ _________________．

[解析] 因为 ， ，
且 ，
所以结合不等式的性质可得， ．
1.若 ， ，则 与 的大小关系是( @42@ ).
A. B. C. D.
D
[解析] ， .
随堂检测·精评价
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2.三国时期赵爽在《勾股方圆图注》中对勾股定理的证明可用现代数学表述.如图所示，我们可用该图证明( @44@ ).
A.如果 ， ，那么
B.如果 ，那么
C.对任意正实数 和 ， ，当且仅当 时，等号成立
D.如果 ， ，那么
C
[解析] 可将图中直角三角形的两直角边分别记作 ， ，斜边记为 ，
则外围的正方形的面积为 ，也就是 ，
四个直角三角形所在的阴影面积之和刚好为 ，
故对任意正实数 和 ，有 ，当且仅当 时，等号成立.故选C.
3.已知 ， ，则 的取值范围是______________.

[解析] ， ，
， ，
， .
4.已知 ， ， ，求证：
（1） ；
（2） .
[解析] （1） 且 ， ，
，即 .
（2） ， ，
又 ， ，
， .