2022-2023学年高一数学同步优品讲练课件（人教A版2019必修第一册）2.2 基本不等式（课时1 基本不等式的概念及其应用（一））(共32张PPT)

(共32张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
课时1 基本不等式的概念及其应用（一）
榆次一中 数学教研组
学习目标
1.掌握基本不等式及其推导过程.（逻辑推理）
2.能熟练运用基本不等式比较两个实数的大小.（数学运算）
3.能初步运用基本不等式进行证明和求最值.（数学运算）
自主预习·悟新知
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随堂检测·精评价
2002年在北京召开的第24届国际数学家大会的会标如图所示，会标是根据中国古代数学家赵爽的弦图设计的，颜色的明暗使它看上去像一个风车，代表中国人民热情好客.根据上节的内容我们可得出 ，当且仅当 时等号成立.
阅读教材，结合上述情境回答下列问题：
预学忆思
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1.若以 ， 分别代替材料中的 ， ，可得出什么结论？
[答案] .
2.问题1的结论中，“=”何时成立？
[答案] 当且仅当 时，“=”成立.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 对于任意 ， ， .( )
√
（2） 当 时， .( )
√
（3） 当 时， .( )
×
（4） 若 ，则 的最小值为 .( )
×
自学检测
2.已知 ，则下列不等式正确的是( @7@ ).
A. B.
C. D.
C
[解析] 当 时， , ，故A， 错误.
当 时，由基本不等式的性质可得 , ,故C正确，D错误．
3.不等式 成立的前提条件为_________.

[解析] 因为基本不等式成立的前提条件是各项均为正，
所以 ，即 .
4.已知 ， ， 都是正数，求证： .
[解析] ， ， 都是正数，
， ， ，
，
，
即 ，当且仅当 时，等号成立．
探究1 基本不等式
如图， 是圆 的直径，点 是 上任意一点， ， ，过点 作 垂直于 且交圆 于点 ，连接 ， .
情境设置
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问题1：.如何用 ， 表示 ， 的长度？
[答案] .易证 ，则 ，即 .
问题2：.比较 ， 的长度，能得出什么结论？
[答案] 的长度大于或等于 的长度，通过两者的关系可以得出 .
问题3：.阅读教材用分析法证明的过程，请问每一步推理的依据是什么？
[答案] 教材的证明过程的依据是② ①，③ ②，④ ③，⑤ ④.
问题4：.教材的证明方法叫作“分析法”.你能归纳一下用分析法证明命题的思路吗？
[答案] 分析法是一种“执果索因”的证明方法，即从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，直至最后，把要证明的结论归结为判定一个明显成立的充分条件（已知条件、定理、定义、公理等）为止.
问题5：.你能说说分析法的证明格式是怎样的吗？
[答案] 由于分析法是从要证明的结论出发，逐步寻求使它成立的充分条件，所以分析法在书写过程中必须有相应的文字说明.一般每一步的推理都用“要证……只要证……”的格式，当推导到一个明显成立的条件之后，指出“显然……成立”.
新知生成
1.有关概念：当 ， 均为正数时，把 叫作正数 ， 的算术平均数，把 叫作正数 ， 的几何平均数.
2.基本不等式：当 ， 是任意正实数时， ， 的几何平均数小于或等于它们的算术平均数，即 ，当且仅当________时，等号成立.

新知运用
例1 判断下列推导过程是否正确.
（1） ， ， .
（2） ， ， ， ．
[解析] （1）因为 ， ，当 时不符合基本不等式的使用条件，所以（1）的推导是错误的．
（2）由 ，知 ， 均为负数，在推导过程中，将其转变为正数 ， 后，符合基本不等式的使用条件，故（2）的推导正确．
方法总结 应用基本不等式时，注意下列常见变形中等号成立的条件：
（1） （ ， 同号），当且仅当 时取等号；
（2） （ ， 异号），当且仅当 时取等号.
1.在不等式 中，等号成立的条件是( @19@ ).
A. B. C. D.
C
[解析] ，∴当 ，即 时，等号成立.
巩固训练
2.已知 ， ，且 ，则下列结论恒成立的是( @21@ ).
A. B. C. D.
D
[解析] 对于A，当 时， ，A错误；对于 ， ， 只能说明 ， 同号，当 ， 都小于0时， ， 错误；对于D，因为 ，所以 ， ，所以 ，即 恒成立，D正确.故选D.
探究2 基本不等式的简单应用
小区有一个面积为8的直角三角形花坛.
问题1：.上述情境中，能否求出两条直角边的边长之和的最小值？
[答案] 设两条直角边的边长分别为 ， ，已知 ，所以 ，当且仅当 时，两条直角边的边长之和最小，最小值为8.
情境设置
问题2：.若这个直角三角形的两条直角边的边长之和为4，如何求该直角三角形面积的最大值呢？
[答案] 设两条直角边的边长分别为 ， ，则 ，因为 ， ，所以 ，
所以 ，当且仅当 时“=”成立.
所以该直角三角形面积的最大值为2.
新知生成
1.求最值的方法
已知 ， 都是正数，
（1）如果积 等于定值 ,那么当 时，和 有最小值 ;
（2）如果和 等于定值 ，那么当 时，积 有最大值 .
利用基本不等式求最值时，必须按照“一正，二定，三相等”的原则进行，即
①一正：符合基本不等式 成立的前提条件 .
②二定：化不等式的一边为定值.
③三相等：必须存在取“=”的条件，即“=”成立.
以上三点缺一不可.
2.基本不等式的变形
（1） ；
（2） （ ， 均为正实数）.
新知运用
一、利用基本不等式求最值
例2 （1）已知 ，求 的最大值；
（2）已知 ，求 的最大值；
（3）当 时，求函数 的最大值．
[解析] （1） ， ，
，
当且仅当 ，即 时，等号成立，
故当 时， .
（2） ， ，
，当且仅当 ，即 时，等号成立，故 .
（3） ， ，当且仅当 ，即 时，等号成立，故 .
方法总结 利用基本不等式求最值的方法
利用基本不等式求最值，关键是通过恒等变形及配凑，使“和”或“积”为定值.常见的变形方法有拆、并、配.
（1）拆——裂项拆项：对分子的次数不低于分母次数的分式进行整式分离——分离成整式与“真分式”的和，再根据分式中分母的情况对整式进行拆项，为应用基本不等式凑定积创造条件；
（2）并——分组并项：目的是分组后各组可以单独应用基本不等式，或分组后先对一组应用基本不等式，再在组与组之间应用基本不等式得出最值；
（3）配——配式、配系数：有时为了挖掘出“积”或“和”为定值，常常需要根据题设条件采取合理配式、配系数的方法，使配式与待求式相乘后可以应用基本不等式得出定值，或配以恰当的系数后，使积式中的各项之和为定值.
二、利用基本不等式证明
例3 已知 ， ， 为正数，且满足 .证明： .
[解析] 因为 ， ， ， ，所以 ，当且仅当 时，等号成立.
所以 .
方法总结 利用基本不等式证明不等式的策略与注意事项
（1）策略：从已证不等式和问题的已知条件出发，借助不等式的性质和有关定理，经过逐步的逻辑推理，最后转化为所求问题，其特征是以“已知”看“可知”，逐步推向“未知”.
（2）注意事项：
①多次使用基本不等式时，要注意等号能否成立；
②累加法是不等式证明中的一种常用方法，证明不等式时注意使用；
③对不能直接使用基本不等式证明的可重新组合，构成基本不等式模型再使用.
（1）已知 ， ，且 ，求 的最大值.
（2）已知 ， ， 为正数，且 ，证明： .
[解析] （1） ， 且 ，
∴由基本不等式可得 ，
当且仅当 时， 取得最大值 .
（2）
巩固训练
.
当且仅当 时，等号成立.
1.（多选题）下列说法中正确的是( @28@ ).
A. 成立的条件是 ，
B. 成立的条件是 ，
C. 成立的条件是 ，
D. 成立的条件是
BC
随堂检测·精评价
YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL
2.若 ，则下列不等式一定成立的是( @29@ ).
A. B.
C. D.
C
[解析] ， ， ，
, .
故 ．
3.已知 ， 为正实数，且 .求证： .
[解析] , 为正实数，且 ,
,
当且仅当 时“=”成立.