2022-2023学年高一数学同步优品讲练课件（人教A版2019必修第一册）2.2 基本不等式（课时2 基本不等式的概念及其应用（二））(共28张PPT)

(共28张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.2 基本不等式
榆次一中 数学教研组
课时2 基本不等式的概念及其应用（二）
学习目标
1.熟练掌握基本不等式及变形的应用.（数据分析）
2.会用基本不等式解决简单的最大（小）值问题.（数学运算）
3.能够运用基本不等式解决生活中的应用问题.（数学建模）
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1.基本不等式中的 ， 只能是具体的某个数吗？
[答案] ， 既可以是具体的某个数，也可以是代数式.
2. 的最小值是2吗？
[答案] 当 时， 的最小值是2；当 时， 没有最小值.
预学忆思
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3.利用基本不等式求最值的常用不等式有哪些？
[答案] （1）若 为定值，则 ；
（2）若 为定值，则 .等号成立的条件均是 .
上述命题可归纳为口诀：积定和最小，和定积最大.
1.已知实数 ， 满足 ， ，且 ，则 的最小值为( @4@ ).
A. B. C. D.
D
[解析] ， ，且 ，
，当且仅当 ， ，即 ， 时，等号成立，故 的最小值为8.
自学检测
2.将一根铁丝切割成三段做一个面积为 ，形状为直角三角形的框架，在下列四种长度的铁丝中，选用最合理（够用且浪费最少）的是( @6@ ).
A. B. C. D.
C
[解析] 设直角三角形的两直角边分别为 ， ，周长为 ，则 ， ， ，当且仅当 时，等号成立.
∵要求够用且浪费最少，∴选C.
3.某公司一年购买某种货物400吨，每次都购买 吨，运费为4万元/次，一年的总存储费用为 万元，要使一年的总运费与总存储费用之和最小，则 _____.
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[解析] 总运费与总存储费用之和 ，
当且仅当 ，即 时取等号.
探究1 利用基本不等式求条件最值
已知正数 ， 满足 .
问题1：.能直接利用“1”的代换求 的最小值吗？为什么？
[答案] 不能，因为相乘后，不能凑出积为定值的形式，故不能利用基本不等式求最值.
情境设置
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问题2：.怎样变形能利用“1”的代换求最值？
[答案] 已知条件无法变换，故把 变形，即 ，再利用“1”的变换求最值.
问题3：.你能根据问题2的方法，求 的最小值吗？
[答案] 因为 ， ， ，
所以 ，
当且仅当 ，即 ， 时等号成立，所以 的最小值为8.
新知生成
若是求和式的最小值，通常化（或利用）积为定值；若是求积的最大值，通常化（或利用）和为定值.其解答技巧是恰当变形、合理拆分项或配凑因式.
新知运用
例1 已知 ， ，且 ，求 的最小值.
[解析] ， ， ， ，当且仅当 ， ，即 ， 时，取等号， 的最小值为16.
【变式探究】
1.本例条件变为“ ， ， ”，求 的最小值.
[解析] 由 ，得 ．
， ， ，
，当且仅当 ，即 时，等号成立， 的最小值是18.
2.本例条件变为“ ， ， ”，试求 的最小值.
[解析] 由 ，当且仅当 ， ，即 ， 时，取“＝”， 的最小值为16．
方法总结 1.常值代换法适用于求解条件最值问题.求最值的方法步骤：
（1）根据已知条件或其变形确定定值（常数）；
（2）把确定的定值（常数）变形为1；
（3）把“1”的表达式与所求最值的表达式相乘或相除，进而构造和或积的形式；
（4）利用基本不等式求解最值.
2.若常值代换法不适用于求条件最值，则对条件变形，直接使用基本不等式，建立以目标函数为整体的不等式，解不等式可得最值.
已知 ， 且 ，则 的最小值为( @16@ ).
A. B. C. D.
C
[解析] ，当且仅当 时，等号成立，故 的最小值为5.
巩固训练
探究2 基本不等式在实际问题中的应用
某公司一年购买某种货物900吨，现分次购买，若每次购买 吨，运费为9万元/次，一年的总存储费用为 万元.
情境设置
问题1：.如何求一年的总运费与总存储费用之和的最小值？
[答案] 由题意知，一年的总运费为 万元，
∴一年的总运费与总存储费用之和为 万元，又 ，当且仅当 ，即 时等号成立，
∴当 时，一年的总费用与总存储费用之和最小，最小值为360万元.
问题2：.利用基本不等式解决实际问题要注意什么？
[答案] 利用基本不等式解决实际问题时，应先仔细阅读题目信息，理解题意，明确其中的数量关系，并引入变量，依题意列出相应的函数关系式，然后用基本不等式求解.
新知生成
应用基本不等式解决实际问题时的方法：
（1）先理解题意，再设出变量，一般把要求最值的量定为代数式；
（2）建立相应的函数关系，把实际问题抽象成函数的最大值或最小值问题；
（3）在定义域内，求出函数的最大值或最小值；
（4）写出正确答案.
新知运用
例2 某单位建造一间背面靠墙的小房，地面是面积为12平方米的矩形，房高为3米.因地理位置的限制，房屋侧面的宽度 不得超过5米，房屋正面的造价为400元/平方米，房屋侧面的造价为150元/平方米，屋顶和地面的造价费用合计为5800元，不计房屋背面的费用，设房屋的总造价为 元.
（1）求 用 表示的函数关系式.
（2）当 为多少时，总造价最低？最低总造价是多少？
方法指导 （1）由侧面宽度为 米，可得正面长度为 米，再求正面与侧面的费用，结合屋顶和地面的造价费用合计为5800元，即可得答案；（2）结合（1）中解析式，直接利用基本不等式求解即可.
[解析] （1）因为侧面宽度为 米，所以正面长度为 米，
依题意，得 .
（2）因为 ，
当且仅当 ，即 时取等号，
所以 ，
所以当 时， ，
即当侧面的宽度为4米时，总造价最低，最低总造价为13000元.
方法总结 解决实际问题时，先弄清题意（审题），建立数学模型（列式），再用所掌握的数学知识解决问题（求解），最后要回应题意下结论（作答）.
甲工厂承担了某种产品的生产，当以 千克/时的速度匀速生产时（为保证质量，要求 ），每小时消耗 材料 千克，已知当每小时生产1千克该产品时，消耗 材料的10千克.如果消耗 材料的总重量为 千克，那么要使生产1000千克该产品消耗 材料最少，工厂应选取何种生产速度？此时消耗 材料多少千克？
巩固训练
[解析] 由题意，得 ，即 ，生产1000千克该产品需要的时间是 小时，
所以生产1000千克该产品需消耗的 材料的重量为 ，当且仅当 ，即 时，等号成立，且 .
故工厂应选取3千克/时的生产速度，此时消耗的 材料最少，最少为6000千克.
1.已知 ， ，且 ，则 的最小值为( @22@ ).
A. B. C. D.
D
[解析] ，
当且仅当 即 时取等号，所以 的最小值为9.
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2.（多选题）已知 ， ， ，则对于 ，下列说法正确的是( @24@ ).
A.取最值时， B.最大值是5 C.取最值时， D.最小值是
AD
[解析] 因为 ，所以 ，当且仅当 ，且 ，即 ， 时，取“ ”.
3.一批货物随17列火车从 市以 千米/小时的速度匀速直达 市，已知两地铁路线长400千米，为了安全，两列火车的间距不得小于 千米，那么这批货物全部运到 市，最快需要____小时.
8
[解析] 设这批货物从 市全部运到 市的时间为 ，
则 （小时），
当且仅当 ，即 时，等号成立，
所以这批货物全部运到 市，最快需要8小时.