2022-2023学年高一数学同步优品讲练课件（人教A版2019必修第一册）2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（课时1 一元二次不等式及其解法）(共35张PPT)

(共35张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
榆次一中 数学教研组
课时1 一元二次不等式及其解法
学习目标
1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系，了解函数的零点与方程的根的关系.（数学抽象）
2.掌握图象法解一元二次不等式.（直观想象）
3.能够借助一元二次函数求解一元二次不等式，并能用集合表示一元二次不等式的解集.
（数学运算）
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1.不等式 是一元二次不等式吗？
[答案] 不是，一元二次不等式一定为整式不等式.
2.一元二次不等式的一般形式中“ ”可以省略吗？
[答案] 不可以，若 ，就不是二次不等式了.
3.若二次函数 的函数值大于零，如何求解 的取值范围？
[答案] 结合二次函数的图象求解，可得 的取值范围为 或 .
预学忆思
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4.二次函数与一元二次方程的解、一元二次不等式的解集有什么对应关系？
[答案] 可以借助二次函数的图象分析，二次函数的图象与 轴的交点的横坐标就是相应一元二次方程的实数根，二次函数图象与 轴的相关位置可确定一元二次不等式的解集.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 是二次函数.( )
×
（2） 函数 的图象一定与 轴相交.( )
√
（3） 二次函数 与 的图象开口大小相同，开口方向相反.( )
√
（4） 把函数 图象上的每一点的横坐标伸长为原来的 倍，纵坐标不变，可得到函数 的图象.( )
√
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2.不等式 的解集是( @9@ ).
A. 或 B. 或
C. D.
A
[解析] 由 ，得 ，解得 或 ，
所以原不等式的解集为 或 .故选A.
3.不等式 的解集是_ ________________.

[解析] 原不等式可化为 ，解得 .
4.已知二次函数 的图象如图所示，则不等式 的解集是_________.

[解析] 由图可知，不等式 的解集是 .
探究1 一元二次不等式
某辆汽车以 的速度在高速公路上匀速行驶（考虑到高速公路行车安全，要求 ）时，每小时的油耗（所需要的汽油量）为 ，其中 为常数.若汽车以 的速度行驶，每小时的油耗为 .欲使每小时的油耗不超过 .
情境设置
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问题1：.写出情境中的不等式关系.
[答案] ∵汽车以 的速度行驶时，每小时的油耗为 ，
，解得 ，故每小时的油耗为 .
由题意得 .
问题2：.画出函数 的图象，你能通过观察图象，获得不等式 及 的解集吗？
[答案] 能，函数 的图象如图所示，
由图可知，不等式 的解集是 或 ，不等式 的解集是 .
问题3：.如何求情境中 的取值范围？
[答案] 由问题1得 ，即 ，结合二次函数的图象解得 ，
又 ，所以 ，即速度 的取值范围为 .
问题4：.函数 的图象与 的解有什么关系？
[答案] 该函数图象在 轴上方的部分对应的 的范围就是不等式 的解集.
新知生成
1.一元二次不等式
一般地，我们把只含有_______未知数，并且未知数的最高次数是2的整式不等式，称为一元二次不等式.一元二次不等式的一般形式是__________________或 ，其中 ， ， 均为常数， .
一个

2.二次函数的零点
一般地，对于二次函数 ，我们把使 成立的_________的值叫作二次函数 的零点.
实数
特别提醒：（1）二次函数的零点不是点，是二次函数图象与 轴交点的横坐标.（2）一元二次方程的根是相应一元二次函数的零点.
3.三个“二次”的关系
设 ，方程 的判别式 判别式
解不等式 或 的步骤 求方程 的根 有两个不相等的实数根 ， 有两个相等的实数根 没有实数根
画函数 的图象
设 ，方程 的判别式 判别式
解不等式 或 的步骤 得不等式的解集 _____________________ _ _____________ ____
_________________ ____ ____
或





续表
新知运用
一、不含参数的一元二次不等式的解法
例1 解下列不等式：
（1） ；
（2） ；
（3） ；
（4） .
方法指导 先求出对应一元二次方程的根，再结合对应的二次函数图象写出不等式的解集.
[解析] （1）对于方程 ，因为 ，所以它有两个实数根，解得 ， .
又因为函数 的图象是开口向上的抛物线，
所以原不等式的解集是 或 .
（2）不等式可化为 ，
对于方程 ，因为 ，所以它有两个实数根，解得 ， .
又因为函数 的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是 .
（3）对于方程 ，因为 ，所以它有两个相等的实数根，解得 .
又因为函数 的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集是 .
（4）因为方程 的判别式 ，所以方程 无实数解.
又因为函数 的图象是开口向上的抛物线，所以原不等式的解集为 .
方法总结 解一元二次不等式的一般步骤：（1）通过对不等式变形，使二次项系数大于零；（2）计算对应方程的判别式；（3）求出相应的一元二次方程的根，或根据判别式说明方程没有实数根；（4）根据函数图象与 轴的相关位置写出不等式的解集.
二、含参数的一元二次不等式的解法
例2 解关于 的不等式： .
方法指导 先求出方程 的两根 ， ，再通过比较 与 的大小得出不等式的解集.
[解析] 原不等式转化为 ，对应的一元二次方程的根为 ， .
①当 ，即 时，原不等式的解集为 ；
②当 ，即 时，原不等式化为 ，无解；
③当 ，即 时，原不等式的解集为 .
综上所述，当 时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集为 ；当 时，原不等式的解集为 .
方法总结 解含参数的一元二次不等式：（1）若二次项系数含有参数，则需对二次项系数大于0、等于0与小于0分类讨论；（2）若求不等式对应的一元二次方程的根需要用求根公式，则应对判别式 进行讨论；（3）若求出的实数根中含有参数，则应对两根的大小进行讨论.
三、三个“二次”间的关系及应用
例3 已知二次函数 ，且 的解集为 .
（1）求二次函数的解析式；
（2）当关于 的不等式 的解集为 时，求 的取值范围.
[解析] （1）由题意知， ， 是一元二次方程 的两个根，所以 解得 所以 .
（2）因为 ，所以二次函数 的图象开口向下，要使 的解集为 ，只需 ，即 ，解得 ，故 的取值范围为 .
方法总结 三个“二次”之间的关系
（1）三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数主要是将问题转化为一元二次方程或一元二次不等式的形式来研究.
（2）讨论一元二次方程和一元二次不等式时，要将其与相应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问题，关系如下：
特别提醒：忽视二次项系数的符号和不等号的开口方向易写错不等式的解集形式.
1.解下列不等式：
（1） ；
（2） .
[解析] （1）方程 有两个相等的实根 .作出函数 的图象，如图，由图可得原不等式的解集为 .
巩固训练
（2）原不等式可化为 ，
，
∴方程 无实根，
∴原不等式的解集为 .
2.设 ，解关于 的不等式： .
[解析] （1）当 时，原不等式可化为 ，解得 ，即原不等式的解集为 .
（2）当 时，方程 的两根分别为2和 .
①当 时，解不等式得 ，即原不等式的解集为 ；
②当 时，不等式无解，即原不等式的解集为 ；
③当 时，解不等式得 ，即原不等式的解集为 ；
④当 时，解不等式得 或 ，即原不等式的解集为 或 .
3.已知关于 的不等式 的解集为 .
（1）求 ， 的值；
（2）解关于 的不等式： .
[解析] （1）由题意知，不等式对应的方程 的两个实数根为 和 ，
由根与系数的关系得 解得
（2）由 ， 知，不等式 可化为 ，即 ，解得 ，所以原不等式的解集为 .
1.不等式 的解集是( @39@ ).
A. 或 B. 或 C. D.
B
[解析] 解 ，即 ，
得 或 ，故选B.
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2.若不等式 的解集为 ，则 的值为( @41@ ).
A. B. C. D.
A
[解析] 因为不等式 的解集为 ，所以1和2为方程 的两个根，则有 或 所以 ，即 的值为3.
3.不等式 的解集是____.

[解析] 将不等式化为标准形式得 ，由于对应方程的判别式 ，所以不等式 的解集为 .
4.若方程 有实数解，则 的取值范围是_____________________.
或
[解析] 由方程 有实数解，得 ，即 ，
，解得 或 .