2022-2023学年高一数学同步优品讲练课件（人教A版2019必修第一册）2.3 二次函数与一元二次方程、不等式（课时2 一元二次不等式的应用）(共29张PPT)

(共29张PPT)
第二章 一元二次函数、方程和不等式
2.3 二次函数与一元二次方程、不等式
榆次一中 数学教研组
课时2 一元二次不等式的应用
学习目标
1.会解一元二次不等式中的恒成立问题.（数学抽象）
2.能够构建一元二次函数模型解决实际问题.（数学建模）
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某种商品原来定价为每件 元，每月将卖出 件.若定价上涨 成，则每月卖出数量减少 成，而售货金额变成原来的 倍.
1.若定价上涨 成，商品单价为多少元？
[答案] .
2.若定价上涨 成，每月卖出商品的数量为多少件？
[答案] .
预学忆思
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3.若定价上涨 成，每月售货金额为多少元？
[答案] 或 .
4.若 ，求售货金额比原来有所增加的 的取值范围.
[答案] 依题意涨价后的售货金额为 ，
.
， ， ，
，整理得 ，
解这个一元二次不等式，得 .
又 ， .
故 的取值范围是 .
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 不等式 的解集是 .( )
×
（2） 若 ，则关于 的不等式 有解的充要条件是 .( )
√
（3） 若关于 的不等式 在 上恒成立，则 ( )
×
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2.不等式 的解集为_________________.

[解析] 解得 .
3.某商品在最近30天内的价格 与时间 （单位：天）的函数关系是 ，销售量 与时间 的函数关系是 ，则使这种商品日销售金额不小于 元的 的取值范围是______________________.

[解析] 依题意得 ，其解集为 .
探究1 不等式恒成立问题
前面我们学习了三个“二次”之间的关系，它们之间的关系主要是结合二次函数的图象来分析的.
情境设置
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问题1：.如何判断二次函数 的图象与 轴的相关位置？
[答案] 二次函数 的图象与 轴的相关位置有三种情况，这可以由一元二次方程 的判别式 的三种取值情况 来确定.
问题2：.若一元二次不等式 的解集为 ，则实数 应满足什么条件？
[答案] 结合二次函数图象可知，若一元二次不等式 的解集为 ，则 解得 ，所以不存在实数 使不等式 的解集为 .
新知生成
1.不等式的解集为 （或恒成立）的条件
不等式
， ，
2.有关不等式恒成立求参数的取值范围的方法
设二次函数 若 恒成立
若 恒成立
新知运用
例1 已知不等式 对于所有的实数 都成立，求实数 的取值范围.
方法指导 原不等式对所有的实数 都成立，即原不等式（关于 ）的解集为 .注意到二次项的系数为参数 ，故应分 与 两种情况讨论.
[解析] 若 ，则原不等式为 ，即 ，不符合题意，故 .令 ，
∵原不等式对任意 都成立，
∴二次函数 的图象恒在 轴的下方，
且 ，
即 .
【变式探究】
若将本例改为关于 的不等式 的解集为空集，如何求实数 的取值范围？
[解析] 关于 的不等式 的解集为空集，即关于 的不等式 的解集为 ，也就是不等式 对任意的 恒成立，故实数 的取值范围是 .
方法总结 解决恒成立问题一定要搞清谁是主元，谁是参数.一般地，知道谁的范围，谁就是主元，求谁的范围，谁就是参数.
1.若不等式 对任意实数 均成立，则实数 的取值范围是
( @16@ ).
A. B. C. D.
A
[解析] 不等式 ，可化为 ．
当 ，即 时，不等式恒成立，符合题意；
当 时，要使不等式恒成立，需满足条件 解得 ．
综上所述， .故选A.
巩固训练
2.若不等式 在 上有解，则实数 的取值范围为( @18@ ).
A. B.
C. 或 D.
A
[解析] 由题意知，原不等式可化为 在 上有解，
，即 ， .故选A.
探究2 一元二次不等式的应用
某种杂志以每本3元的价格销售，可以售出10万本.根据市场调查，杂志的单价每提高0.1元，销售量就减少1000本.设每本杂志的定价为 元.
问题1：.提价后的销售量是多少？
[答案] 提价后的销售量为 万本.
情境设置
问题2：.要使得提价后的销售总收入不低于42万元，如何建立不等关系？
[答案] 因为销售总收入不低于42万元，
所以列不等式为 .
问题3：.解一元二次不等式应用题的关键是什么？
解一元二次不等式应用题的关键在于构造一元二次不等式模型，设其中起关键作用的未知量为 ，用 来表示其他未知量，根据题意，列出不等关系再求解.
新知生成
从实际问题中抽象出一元二次不等式模型的步骤：
（1）阅读理解题意，认真审题，分析题目中有哪些已知量和未知量，找准不等关系；
（2）设出起关键作用的未知量，用不等式表示不等关系（或表示成函数关系）；
（3）解不等式（或求函数最值）；
（4）回归实际问题.
新知运用
例2 某农贸公司按每担200元的价格收购某农产品，并且每100元纳税10元（又称征税率为10个百分点），计划可收购 万担.政府为了鼓励收购公司多收购这种农产品，决定将征税率降低 个百分点，预测收购量可增加 个百分点.
（1）写出降税后税收 （万元）与 的关系式；
（2）要使此项税收在税率调节后，不少于原计划税收的 ，试确定 的取值范围.
[解析] （1）依题意得，降低税率后的税率为 ，农产品的收购量为 万担，收购总金额为 万元，则 .
（2）原计划税收为 万元，依题意得 ，
化简得 ，解得 ，
又因为 ，所以 ，
故 的取值范围为 .
方法总结 解不等式应用题的步骤
北京、张家口2022年冬奥会申办委员会在俄罗斯索契举办了发布会，某公司为了竞标配套活动的相关代言，决定对旗下的某商品进行一次评估.该商品原来每件售价为25元，年销售8万件.
（1）据市场调查，若价格每提高1元，销售量将相应减少2000件，要使销售的总收入不低于原收入，该商品每件定价最多为多少元？
巩固训练
（2）为了抓住申奥契机，扩大该商品的影响力，提高年销售量，公司决定立即对该商品进行全面技术革新和营销策略改革，并提高定价到 元.公司拟投入 万元作为技改费用，投入50万元作为固定宣传费用，投入 万元作为浮动宣传费用.试问：当该商品改革后的销售量 至少应达到多少万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和？此时该商品每件定价多少元？
[解析] （1）设每件定价为 元，依题意得 ，
整理得 ，解得 ，
所以要使销售的总收入不低于原收入，每件定价最多为40元.
（2）依题意，当 时，不等式 有解，等价于当 时， 有解.
因为 ，当且仅当 ，即 时等号成立，所以 .
故当该商品改革后的销售量 至少达到10.2万件时，才可能使改革后的销售收入不低于原收入与总投入之和，此时该商品每件定价为30元.
1.已知不等式 的解集为空集，则实数 的取值范围是( @25@ ).
A. B.
C. D.
A
[解析] 欲使不等式 的解集为空集，则 ， ，即实数 的取值范围是 .
随堂检测·精评价
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2.某商场若将进货单价为8元的商品按每件10元出售，每天可销售100件，现准备提高售价来增加利润.已知这种商品每件售价提高1元，销售量就会减少10件，那么要保证每天的利润在320元以上，每件售价应定为( @27@ ).
A.12元 B.16元 C.12元到16元之间 D.10元到14元之间
C
[解析] 设售价定为每件 元，利润为 ，则 ，
依题意得 ，即 ，解得 ，
所以每件售价应定为12元到16元之间.
3.已知命题“ ， ”是真命题，则实数 的取值范围为_ _________.

[解析] 因为命题“ ， ”是真命题，所以 ，解得 .
4.某文具店购进一批新型台灯，若按每盏台灯15元的价格销售，每天能卖出30盏；若售价每提高1元，日销售量将减少2盏.为了使这批台灯每天能获得400元以上的销售收入，应怎样制定每盏台灯的销售价格？
[解析] 设每盏台灯的售价为 元，则 ，且日销售收入为 ，由题意知，当 时， ，解得 .
所以为了使这批台灯每天获得400元以上的销售收入，应当制定每盏台灯的销售价格为 .