2022-2023学年高一数学同步优品讲练课件（人教A版2019必修第一册）3.2 函数的基本性质（课时1 函数的单调性）(共38张PPT)

(共38张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质
榆次一中 数学教研组
课时1 函数的单调性
学习目标
1.理解函数的单调性及其几何意义，能利用函数图象理解和研究函数的单调性.（数学抽象）
2.会用函数单调性的定义判断（或证明）一些函数的单调性.（逻辑推理）
3.会求一些具体函数的单调区间.（数学运算）
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1.你能画出函数 的图象吗？
[答案]
预学忆思
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2.你能根据自变量和函数值的变化对上述函数的图象的趋势进行描述吗？
[答案] 函数在 轴左边时，自变量越大，函数值越小，在 轴右边时，自变量越大，函数值越大．
3.可以用什么样的词语来描述这种变化？
[答案] 递增，递减．
4.写出上述函数的增区间．
[答案] ．
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 所有函数在定义域上都具有单调性.( )
×
（2） 因为 ，所以函数 在 上单调递增.( )
×
（3） 若 是 上的减函数，则 .( )
√
（4） 若函数 在区间 和 上均单调递增，则函数 在区间 上也单调递增.( )
×
自学检测
2.函数 的图象如图所示，则此函数的单调递减区间的个数是( @9@ ).
A. B. C. D.
B
[解析] 由图象可知，函数 的单调递减区间有2个.故选B.
3.下列函数中，在 上是增函数的是( @11@ ).
A. B. C. D.
B
[解析] 对于A， 在 上不是增函数，不符合题意；对于B， 是正比例函数，在 上是增函数，符合题意；对于C， 是二次函数，在 上不是增函数，不符合题意；对于D， 是反比例函数，在 上不是增函数，不符合题意．
4.若 是 上的减函数，则 的取值范围为_ _________， 的取值范围为____．


[解析] 依题意，得 ，解得 ， ．
探究1 函数的单调性
问题1：.对于函数 ，如果在区间 上，当 时， ，当 时， ，那么 是否随着 的增大而增大？
[答案] 不一定，如图所示.
情境设置
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问题2：.对于函数 ，如果在区间 上，当 ， ， ，4时，对应的 ， ， ， ，那么 是否随着 的增大而增大？
[答案] 不一定，如图所示.
问题3：.对于函数 ，如果在区间 上，当 时，对应的 ，那么 是否随着 的增大而增大？
[答案] 不一定，如图所示.
问题4：.增（减）函数定义中的 ， 有什么特征？
[答案] 定义中的 ， 有以下3个特征：
（1）任意性，即“任意取 ， ”中“任意”二字绝不能去掉，证明时不能以特殊代替一般；
（2）有大小，通常规定 ；（3）属于同一个单调区间．
新知生成
增函数与减函数的定义
条件 一般地，设函数 的定义域为 ，区间 .如果 , ，当 时， 都有_______________ 都有_______________
结论 那么就说函数 在区间 上___________，特别地，当函数 在它的定义域上单调递增时，我们就称它是增函数 那么就说函数 在区间 上___________，特别地，当函数 在它的定义域上单调递减时，我们就称它是减函数


单调递增
单调递减
图示
续表
新知运用
例1 证明函数 在区间 上单调递减.
方法指导
[解析] 设 ， 是区间 上的任意两个实数，且 ，则 .
，
, ，则 ，
，即 ，
在区间 上单调递减．
方法总结 利用定义证明函数单调性的步骤
1.（多选题）下列函数在 上单调递增的是( @26@ ).
A. B. C. D.
CD
[解析] 在 上单调递减； 在 上既不单调递增也不单调递减； 在 上单调递增； 在 上单调递增.故选CD.
巩固训练
2.利用单调性的定义证明:函数 在 上单调递减．
[解析] 任取 ， ，且 ，
则 ．
因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，即 ， ．
所以 在 上单调递减.
探究2 函数的单调区间
下图是某市一天24小时的气温变化图.
问题1：.请问气温在哪段时间内是逐渐下降的，在哪段时间内是逐渐升高的？
[答案] 在 ， 上是逐渐下降的，在 上是逐渐升高的．
情境设置
问题2：.情境中函数 的单调递增区间、单调递减区间是什么？
[答案] 单调递增区间是 ，单调递减区间是 ， .
问题3：.情境中的函数是单调函数吗？
[答案] 根据单调函数的定义可知 不是单调函数.
新知生成
如果函数 在区间 上___________或___________，那么就说函数 在这一区间上具有（严格的）单调性，区间 叫作函数 的___________．
单调递增
单调递减
单调区间
特别注意:(1)函数在某个区间上单调递增(减),但是在整个定义域上不一定都是单调递增(减).如函数y=(≠0)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递减,但是在整个定义域上不具有单调性.
(2)当一个函数出现两个或两个以上的单调区间时,不能用“∪”连接,而应该用“和”或“,”连接.如函数y=(≠0)在区间(-∞,0)和(0,+∞)上都单调递减,不能认为y=(≠0)的单调递减区间为(-∞,0)∪(0,+∞).
新知运用
例2 （1）定义在区间 上的函数 的图象如图所示，根据图象写出函数的单调区间，以及在每一单调区间上的单调性.
（2）作出函数 的图象，并指出函数 的单调区间．
[解析] （1） 的单调区间有 ， ， ， ，其中 在区间 ， 上单调递减，在区间 ， 上单调递增．
（2） 的图象如图所示，
由图可知，函数 的单调递减区间为 和 ，单调递增区间为 ．
方法总结
（1）函数单调区间的两种求法
①图象法，即先画出图象，根据图象求单调区间．
②定义法，即先求出定义域，再利用定义法进行判断求解．
（2）函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质，单调区间是定义域的子集；当函数出现两个以上单调区间时，单调区间之间可用“，”分开，可以用“和”来表示，不能用“ ” ；在单调区间 上函数要么是增函数，要么是减函数，不能二者兼有．
1.函数 的单调递减区间是____________________．
，
[解析] 函数 的定义域为 ，
设 ， ，且 ，则 ．
因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，即 ．
所以函数 在 上单调递减，同理函数 在 上单调递减．
综上，函数 的单调递减区间是 ， ．
巩固训练
2.函数 的图象如图所示，试写出它的单调区间，并指出单调性．
[解析] 的单调区间有 ， ， ， ，其中单调递减区间是 ， ；单调递增区间是 ， .
探究3 函数单调性的应用
问题1：.从单调递增的定义，经过移项变形，我们能得到什么结论？
[答案] 得到 与 同号， 这其实就是不等式证明中的作差法．
问题2：.交换 ， 的大小位置，式子 与 的符号有什么变化？
[答案] 与 依然同号.
情境设置
新知生成
1.增函数满足对任意 ，都有 ，也可以用一个不等式来替代： 或 .减函数满足对任意 ，都有 ，相应地也可用一个不等式来替代： 或 .
2.熟悉常见的一些函数的单调性，包括一次函数、二次函数、反比例函数等．
3.若 ， 都是增函数， 是减函数，则：①在定义域的交集（非空）上， 单调递增， 单调递增；② 单调递减， 单调递增．
新知运用
例3 （1） 若函数 在区间 上单调递增，则实数 的取值范围是___________.

[解析] 的图象开口向下，要使 在 上单调递增，只需 ，即 .∴实数 的取值范围为 ．
（2） 已知函数 在 上单调递增，且 ，则实数 的取值范围为__________．

[解析] 在 上单调递增，且 ，
，即 ，∴实数 的取值范围为 ．
【变式探究】
1.若本例（1）的函数 在 上是单调函数，求 的取值范围．
[解析] 由题意可知 或 ，即 或 ．
所以 的取值范围为 ．
2.若本例（2）的函数 是定义在 上的减函数，求 的取值范围．
[解析] 由题意可知 解得 ．
所以 的取值范围为 ．
方法总结
1.利用单调性比较大小或解不等式的方法
（1）利用函数的单调性可以比较函数值或自变量的大小.在解决比较函数值的问题时，要注意将对应的自变量转化到同一个单调区间上；
（2）在求解与抽象函数有关的不等式时，往往是利用函数的单调性将“ ”符号脱掉，使其转化为具体的不等式求解.此时应特别注意函数的定义域．
2.已知函数的单调性求参数的取值范围的一般方法
（1）将参数看成已知数，求函数的单调区间，再与已知的单调区间比较，求出参数的取值范围；
（2）运用函数单调性的定义建立关于参数的不等式（组），解不等式（组）求出参数的取值范围.
若 是定义在 上的减函数，则不等式 的解集是
_ _______．

[解析] 依题意，得不等式组 解得 ．
巩固训练
1.（多选题）若函数 在区间 上单调递增，对于任意的 ， ，则下列结论中正确的有( @50@ ).
A. B.
C. D.
AB
[解析] 由函数单调性的定义可知， 与 同号，由此可知，选项 , 正确；对于 , ，因为 ， 的大小关系无法判断，所以 与 的大小关系也无法判断，故 ， 不正确．
随堂检测·精评价
YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL
2.函数 在 上是减函数，则有( @52@ ).
A. B. C. D.
C
[解析] 因为函数 在 上是减函数，且 ，所以 ．
3.函数 在区间 上( @54@ ).
A.单调递减 B.单调递增
C.先单调递减后单调递增 D.先单调递增后单调递减
C
[解析] 因为
作出 的图象，如图所示，
所以 在区间 上单调递减，在区间 上单调递增．
4.证明：函数 在 上单调递增．
[解析] 设 ，
则 .
， ， ， ，
，即 ， ，
在 上单调递增．