2022-2023学年高一数学同步优品讲练课件（人教A版2019必修第一册）3.2 函数的基本性质（课时2 函数的最大（小）值）(共36张PPT)

(共36张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.2 函数的基本性质
榆次一中 数学教研组
课时2 函数的最大（小）值
学习目标
1.理解函数的最大值和最小值的概念及其几何意义.（数学抽象）
2.能借助函数的图象和单调性，求一些简单函数的最值.（数学运算）
3.能利用函数的最值解决有关的实际应用问题.（数学建模）
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科考队对“早穿棉袄午穿纱，围着火炉吃西瓜”这一独特的沙漠气候进行科学考察，某天气温随时间的变化曲线如图所示.
预学忆思
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1.你能写出该曲线的单调区间吗？
[答案] 单调递增区间为 ；单调递减区间为 ， .
2.该天的最高气温和最低气温分别是多少？
[答案] ， .
3.设该天某时刻的气温为 ，则 在哪个范围内变化？
[答案] .
4.从函数图象上看，气温的最大值、最小值在什么时刻取得？
[答案] 时， 时.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 若对任意 ，都有 ，则 是函数 的最大值.( )
×
（2） 若函数有最值，则最值一定是其值域中的一个元素.( )
√
（3） 若函数的值域是确定的，则它一定有最值.( )
×
（4） 函数的最大值一定比最小值大.( )
×
（5） 若函数 在区间 上单调递减，则函数 在区间 上的最大值为 .( )
√
自学检测
2.函数 在 上的图象如图所示，则此函数的最小值、最大值分别是( @10@ ).
A. ， B. ， C. ， D. ，
C
[解析] 由图可得，函数 在 处取得最小值，最小值为 ，在 处取得最大值，最大值为2，故选C.
3.函数 在区间 上的最大值、最小值分别是( @12@ ).
A. ， B. ， C. ， D.以上都不对
B
[解析] 因为 ，且 ，所以当 时， ；当 时， .故选B.
4.函数 ， ，则 的最大值为____，最小值为____.
1

[解析] 在区间 上单调递减， ，即 .
探究1 函数的最大值、最小值
观察函数图象：
情境设置
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问题1：.函数 的定义域是什么？
[答案] .
问题2：.函数 图象的最高点及最低点的纵坐标分别是什么？
[答案] ， .
问题3：.函数 的值域是什么？
[答案] .
新知生成
一般地，设函数 的定义域为 .
如果存在实数 满足：（1）对于任意 ，都有 ；（2）存在 ，使得 .那么，称 是函数 的最大值.
如果存在实数 满足：（1）对于任意 ，都有 ；（2）存在 ，使得 .那么，称 是函数 的最小值.
新知运用
一、图象法求函数的最值
例1 已知函数 求 的最大值、最小值.
[解析] 作出函数 的图象（如图）.
由图象可知，当 时， 取最大值，最大值为 .
当 时， 取最小值，最小值为 ，
故 的最大值为1，最小值为0.
方法总结 图象法求函数最值的一般步骤
二、利用函数的单调性求最值
例2 已知函数 ， .
（1）判断函数 的单调性并证明；
（2）求函数 的最大值和最小值.
[解析] （1） 是增函数，证明如下：
任取 ， 且 ， ，
因为 ，所以 ， ，
所以 ，即 .所以 在 上单调递增.
（2）由（1）可知， 在 上单调递增，则 ， .
方法总结 （1）若函数 在区间 上单调递增，则 的最大值为 ，最小值为 .
（2）若函数 在区间 上单调递减，则 的最大值为 ，最小值为 .
（3）若函数 有多个单调区间，那就先求出各区间上的最值，再从各区间的最值中决定出最大（小）值.函数的最大（小）值是整个值域范围内的最大（小）值.
（4）若函数定义域为开区间，则不但要考虑函数在该区间上的单调性，还要考虑端点处的函数值或者发展趋势.
三、函数最值的实际应用
例3 某产品生产厂家根据以往的销售经验得到有关生产销售的统计规律：每生产产品
（百台），其总成本为 （万元），其中固定成本为2.8万元，并且每生产1百台的生产成本为1万元（总成本＝固定成本 生产成本）.销售收入 （万元）满足： 假定该产品产销平衡（即生产的产品都能卖掉），根据上述统计规律，请完成下列问题：
（1）写出利润函数 的解析式（利润＝销售收入－总成本）.
（2）工厂生产多少台产品时，可使盈利最多？
[解析] （1）由题意得 ，
所以
（2）当 时，因为函数 单调递减，所以 （万元），
当 时，函数 ，当 时， 有最大值，最大值为3.6（万元），
所以当工厂生产4百台产品时，可使盈利最大，最大盈利为3.6万元.
方法总结 （1）解实际应用题时，要弄清题意，从实际出发，引入数学符号，建立数学模型，列出函数关系式，分析函数的性质，从而解决问题，要注意自变量的取值范围.
（2）在实际应用问题中，最大利润、用料最省等问题常转化为求函数最值来解决，本题转化为二次函数求最值，利用配方法和分类讨论思想使问题得到解决.
1.已知函数 ，画出函数的图象，确定函数的最值情况，并写出值域.
[解析]
图象如图所示，
由图象知，函数 的最大值为2，没有最小值，
所以其值域为 .
巩固训练
2.已知函数 ，求函数 的最大值和最小值.
[解析] 设 ， 是 上任意两个实数，且 ，
所以 ，
因为 ，所以 ， ， ，
所以 ，即 ，所以 在 上单调递增，
所以 ， .
3.将进货单价为40元的商品按50元一个出售时，能卖出500个，已知这种商品每涨价1元，其销售量就减少10个，为得到最大利润，售价应为多少元？最大利润为多少？
[解析] 设售价为 元，利润为 元，单个涨价 元，销量减少 个，销量为 个，则 .
故当 时， .即售价为70元时，利润获得最大，最大利润为9000元.
探究2 二次函数的最值问题
如图，用一段长为 的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长 .
问题1：.如何表示矩形的面积？
[答案] 设 为 米，矩形的面积为 ，
则 为 米，由 ,得 ，
所以矩形的面积 .
情境设置
问题2：.如何求围成的矩形菜园 的面积的最大值？
[答案] 矩形的面积 ，
所以当 时，矩形面积 取得最大值，最大值为312.5.
问题3：.你能归纳求二次函数最值的方法吗？
[答案] 求解二次函数最值问题的方法：
（1）确定对称轴与抛物线的开口方向并作图.
（2）在图象上标出定义域的位置.
（3）观察函数图象，通过函数的单调性写出最值.
新知生成
二次函数 具有对称性、增减性、最值等性质，即对于 ，
①其图象是抛物线，关于直线 成轴对称图形；
②若 ，则函数在区间 上单调递减，在区间 上单调递增；
③若 ，则函数在区间 上单调递增，在区间 上单调递减；
④若 ，则当 时， 有最小值，为 ，若 ，则当 时， 有最大值，为 .
新知运用
例4 （1）已知函数 ，若 ，求函数 的最值；
（2）已知函数 ，若 ，求函数 的最值；
（3）已知函数 ，求函数 的最值.
方法指导 结合二次函数的单调性和求最值的方法进行求解.
[解析] （1）∵函数 的图象开口向上，对称轴为直线 ，
在 上单调递减，在 上单调递增，且 .
， .
（2）由题意得函数图象的对称轴为直线 ，
①当 ，即 时，
，
.
②当 ，即 时，
，
.
③当 ，即 时，
，
.
④当 ，即 时，
，
.
设函数 的最大值为 ，最小值为 ，
则
（3）设 ，则 .
由（1）知 在 上单调递减，在 上单调递增.
当 ，即 时， ，无最大值.
方法总结 1.二次函数在指定区间上的最值与二次函数图象的开口、对称轴有关，求解时要注意这两个因素.
2.图象直观，便于分析、理解；配方法说理更严谨，一般用于解答题.
设函数 ， .
（1） 当 时，求函数 的最小值 的表达式；
[解析] ，
∴对称轴为直线 .
当 时， 在 上单调递增，
；
当 时， 在 上单调递减，
；
巩固训练
当 时， 在 上单调递减，在 上单调递增，
.
综上所述，
（2） 求函数 的最大值.
[解析] 当 时， ， ；
当 时， ， ；
当 时， ， .
综上所述， ．
1.函数 在 上的图象如图所示，则此函数在 上的最大值、最小值分别为( @40@ ).
A. ， B. ， C. ，无最小值 D. ，
C
[解析] 观察图象可知，图象的最高点坐标是 ，故其最大值是3；无最低点，即该函数不存在最小值.故选C.
随堂检测·精评价
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2.函数 在 上的最小值为( @42@ ).
A. B. C. D.
B
[解析] 函数 在 上单调递减，∴当 时， .
3.已知函数 ，当 时，恒有 成立，则实数 的取值范围是
( @44@ ).
A. B. C. D.
B
[解析] 因为 在 上单调递增，所以 ，故满足 .
又因为在 时， 恒成立，所以 ，故 .
4.画出函数 的图象，并写出函数 的单调区间及最小值.
[解析] 作出函数 的图象如图所示.
由图象可知， 的单调递增区间为 和 ，无单调递减区间，函数 的最小值为 .