2022-2023学年高一数学同步优品讲练课件（人教A版2019必修第一册）3.3 幂函数(共28张PPT)

(共28张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.3 幂函数
榆次一中 数学教研组
学习目标
1.了解幂函数的概念，会求幂函数的解析式.（数学抽象、数学运算）
2.结合五个幂函数的图象，掌握它们的性质.（直观想象）
3.能利用幂函数的单调性比较指数幂的大小.（数学运算）
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1.写出函数 的定义域、值域、单调性和奇偶性.
[答案] 定义域： ；值域： ；单调性：增函数；奇偶性：奇函数.
2.写出函数 的定义域、值域、单调性和奇偶性.
[答案] 定义域： ；值域： ；单调性：在 上是减函数，在 上是增函数；奇偶性：偶函数.
预学忆思
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3.写出函数 的定义域、值域、单调性和奇偶性.
[答案] 定义域： ；值域： ；单调性：在 上是减函数，在 上也是减函数；奇偶性：奇函数.
4.幂函数的形式如何？
[答案] 形如 的函数.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 幂函数的图象必过点 和点 .( )
×
（2） 幂函数的图象都不过第二、四象限.( )
×
（3） 当幂指数 取 ， ， 时，幂函数 是增函数.( )
√
（4） 若幂函数 的图象关于原点对称，则 在定义域内 随 的增大而增大.
( )
×
自学检测
2.在下列四个图形中， 的图象大致是( @9@ ).
A. B. C. D.
D
[解析] 函数 的定义域为 ，是减函数.
3.设 ，则使函数 的定义域为 且为奇函数的所有 的值为( @11@ ).
A. ， B. ， C. ， D. ， ，
A
[解析] 当 时， ，定义域不是 ；
当 或 时，满足题意.
故选A.
4.已知幂函数 的图象过点 ，则 ____.

[解析] 将点 代入函数 ，得 ，解得 ，所以 ， .
探究1 幂函数的概念
问题1∶. 和 是不是幂函数？
[答案] 不是，它们的形式均不符合幂函数的定义要求.
问题2：.幂函数的解析式有什么特征？
[答案] （1）指数为常数.（2）底数是自变量，且自变量的系数为1.（3）幂 的系数为1.
（4）只有1项.
情境设置
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新知生成
一般地，函数_________叫作幂函数.其中____是自变量，____是常数.



特别提醒:幂函数的特征.
(1)以幂的底为自变量,指数为常数(高中阶段只学习指数为有理数的幂函数);
(2) xα的系数为1,且只有一项.
新知运用
例1
（1） 在函数 ， ， 中，幂函数的个数为( @20@ ).
A. B. C. D.
B
[解析] 根据幂函数定义可知，只有 是幂函数，所以选B.
（2） 若 是幂函数，则 __________.
或
[解析] 因为 是幂函数，所以 ，即 ，解得 或 .
方法总结 判断一个函数是否为幂函数的方法
判断一个函数是否为幂函数的依据是该函数是否为 （ 为常数）的形式，即函数的解析式为一个幂的形式，且需满足：（1）指数为常数；（2）底数为自变量；（3）系数为1.
（多选题）下列函数中是幂函数的是( @24@ ).
A. B. C. D.
AD
[解析] 幂函数是形如 （ 为常数）的函数，A是 的情形，D是 的情形，所以A和D都是幂函数；B中 的系数是2，不是幂函数；易知C不是幂函数.
巩固训练
探究2 幂函数的图象与性质
观察下面函数的图象，思考如下问题：
情境设置
问题1：.在第一象限，图象有何特点？
[答案] 都过点 ；只有 随 的增大而减小，且不与 轴相交，其他的都随 的增大而增大.
问题2：.在这几个函数中，哪些是奇函数？哪些是偶函数？哪些是非奇非偶函数？
[答案] ， ， 是奇函数； 是偶函数； 是非奇非偶函数.
问题3：.为什么幂函数在第四象限内不存在图象？
[答案] 当 时， ，不可能出现 的情形，所以幂函数在第四象限不存在图象.
新知生成
1.幂函数的图象
在同一平面直角坐标系中，画出幂函数 ， ， ， ， 的图象，如图所示.
2.幂函数的性质
定义域 __________ ___________
值域 __________ ___________
奇偶性 奇 偶 _____ ___________ _____
单调性 增函数 当 时，_____函数；当 时，_____函数 _____函数 _____函数 当 时，_____函数；当 时，减函数




奇
非奇非偶
奇
增
减
增
增
减
新知运用
一、幂函数的图象及应用
例2 如图，函数 ， ， 的图象和直线 将平面直角坐标系的第一象限分成八个部分：①②③④⑤⑥⑦⑧.若幂函数 的图象经过的部分是④⑧，则 可能是( @41@ ).
A. B. C. D.
B
[解析] ∵函数 的图象过④⑧部分，∴函数 在第一象限内单调递减， .又易知当 时， ，∴只有B选项符合题意.故选B.
方法总结 解决幂函数图象问题应把握的两个原则
（1）依据图象高低判断幂指数大小，相关结论：在 上，指数越大，幂函数图象越靠近 轴（简记为“指大图低”）；在 上，指数越大，幂函数图象越远离 轴（简记为“指大图高”）；
（2）依据图象确定幂指数 与 ， 的大小关系，即根据幂函数在第一象限内的图象（类似于 或 或 的图象）来判断.
1.点 与点 分别在幂函数 ， 的图象上，问当 为何值时，有（1） ；（2） ；（3） ．
[解析] 设 ， ，
， ，
， ，
， .
分别作出它们的图象，如图所示.由图象知，
（1）当 时， ；
（2）当 时， ；
（3）当 时， ．
巩固训练
2.已知幂函数 的图象过点 ，试求出 的解析式，作出 的图象，写出其定义域及单调区间.
[解析] （1）因为 的图象过点 ，所以 ，即 ，得 ，即 ， 的图象如图所示，定义域为 ，单调递减区间为 ，单调递增区间为 .
二、幂函数性质的应用
例3 比较下列各组数中两个数的大小.
（1） 与 ；
（2） 与 .
方法指导 构造幂函数，借助其单调性求解.
[解析] （1）∵幂函数 在 上单调递增，
又 ， .
（2）∵幂函数 在 上单调递减，
又 ， .
方法总结 1.幂函数的常用性质
（1）幂函数 （ ， 与 互为质数）奇偶性的判断方法：
①若 ， 同为奇数，则 为奇函数；
②若 为奇数， 为偶数，则 为偶函数；
③若 为偶数， 为奇数，则 为非奇非偶函数.
（2）幂函数单调性的判断：幂函数 在区间 上，当 时， 是增函数；当 时， 是减函数.
2.比较幂值大小的两种方法
若幂函数 的图象过点 ，则满足不等式 的实数 的取值范围是__________.

[解析] 设 ，因为其图象过点 ，所以 ，解得 ，所以 .因为 在 上为增函数，所以由 ，得 ，解得 .
所以满足不等式 的实数 的取值范围是 .
巩固训练
1.已知幂函数 ， ， ， 在第一象限的图象如图所示，则
( @51@ ).
A. B. C. D.
B
[解析] 通过举例，结合幂函数的图象特征可得 .
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2.若 ， ， ，则它们的大小关系是( @53@ ).
A. B. C. D.
D
[解析] ∵当 时， 在 上单调递增， ， .
3.若幂函数 在 上为减函数,则实数 的值是____.
3
[解析] 由题意得
解得 故 .
4.若 ，求实数 的取值范围.
[解析] 因为 在定义域 上单调递增，
所以 解得 .
故实数 的取值范围为 .