2022-2023学年高一数学同步优品讲练课件（人教A版2019必修第一册）3.4 函数的应用（一）(共38张PPT)

(共38张PPT)
第三章 函数的概念与性质
3.4 函数的应用（一）
榆次一中 数学教研组
学习目标
1.会利用已知函数模型解决实际问题.（数学运算）
2.能建立函数模型解决实际问题.（数学建模）
3.了解拟合函数模型并解决实际问题.（数据分析）
自主预习·悟新知
合作探究·提素养
随堂检测·精评价
牧场中羊群的最大蓄养量为 只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量 （只）与实际蓄养量 （只）和空闲率的乘积成正比，比例系数为 .
阅读教材，结合上述情境回答下列问题：
预学忆思
自主预习·悟新知
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1.写出空闲率 与实际蓄养量 （只）的函数关系.（附：蓄养率 实际蓄养量 最大蓄养量，空闲率 蓄养率）
[答案] 由于最大蓄养量为 只，实际蓄养量为 只，则蓄养率为 ，空闲率为 .
2.写出 关于 的函数解析式，并指出这个函数的定义域.
[答案] 由问题1和题意知 .
3.如何求羊群年增长量的最大值？
[答案] 对二次函数配方，得 ，即当 时， 取得最大值，最大值为 .
4.若羊群的最大蓄养量为10000只，实际蓄养量为8000只，比例系数为 ，则此时的年增长量为多少？
[答案] 由题意，可知 ,此时 , , ,
代入计算可得 ,
故此时羊群的年增长量为1600只.
1.判断下列结论是否正确.（正确的打“√”，错误的打“×”）
（1） 实际应用问题中自变量的取值范围由所得的函数解析式唯一确定.( )
×
（2） 在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型.( )
×
（3） 利用函数模型求实际应用问题得最值时，要特别注意取得最值时的自变量与实际意义是否相符.( )
√
自学检测
2.小明骑车上学，开始时匀速行驶，途中因交通堵塞停留了一段时间，后为了赶时间加快速度行驶.与以上事件吻合得最好的图象是( @8@ ).
A. B. C. D.
C
[解析] 由题意，先匀速行驶，位移时间图象应是直线，停留一段时间，应该是平行于 轴的一段线段，之后加速，应该是上凸的曲线.
3.某公司市场营销人员的个人月收入与其每月的销售量成一次函数关系，其图象如图所示，由图中给出的信息可知，该营销人员没有销售量时的收入是( @10@ ).
A.310元 B.300元 C.290元 D.280元
B
[解析] 由题意可知，收入 是销售量 的一次函数，
设 ，将 ， 代入，得 ， .
故 ，当 时， .
4.某工厂生产某种产品固定成本为2000万元，并且每生产1单位产品，成本增加10万元.又知总收入 （万元）是单位产品数 的函数，且 ，则总利润 的最大值是_______万元.
2500
[解析] 由题意得， ，当 时， 取得最大值，最大值为2500万元.
探究1 常见函数的模型
问题1：.我们前面学过了哪些函数？
[答案] 一次函数、二次函数、反比例函数、幂函数.
情境设置
合作探究·提素养
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问题2：.你能写出它们的解析式吗？
[答案] 一次函数： ；
反比例函数： ；
二次函数： ；
幂函数： （ 为常数）.
问题3：.什么是分段函数？ 你能举例说明吗？
[答案] 形如 这样的函数称为分段函数.
新知生成
不同的函数模型能刻画现实世界中不同的变化规律：
（1）线性函数增长模型适合于描述增长速度不变的变化规律；
（2）幂函数增长模型适合于描述增长速度一般的变化规律.
因此，需抓住题中蕴含的数学信息，恰当、准确地建立相应变化规律的函数模型来解决实际问题.
新知运用
例1 一家庭（父亲、母亲和孩子们）去某地旅游，甲旅行社说：“如果父亲买全票一张，其余人可享受半票优惠.”乙旅行社说：“家庭旅行为集体票，按原价的 优惠.”这两家旅行社的原价是一样的.试就家庭里不同的孩子数，分别建立表达式，计算两家旅行社的收费，并讨论哪家旅行社更优惠.
方法指导 设家庭中孩子数为 ，旅游收费为 ，旅游原价为 ，分别求出甲旅行社和乙旅行社的收费，二者作差比较即可解决.
[解析] 设家庭中孩子数为 ，旅游收费为 ，旅游原价为 ，
甲旅行社收费： ，乙旅行社收费： ，
，
∴当 时，两家旅行社收费相等；当 时，甲旅行社更优惠.
即当家庭中只有一个孩子时，两家旅行社收费相等；当家庭中有两个及以上孩子时，甲旅行社更优惠.
方法总结 （1）解决一次函数模型的实际应用问题时，本着“问什么，设什么，列什么”这一原则；
（2）一次函数的最值求解问题，常转化为求解不等式 （或 ），解答时，注意系数 的正负，也可以结合函数图象或其单调性来求最值.
某航空公司规定，乘机所携带行李的重量 与运费 （元）之间的函数关系如图所示，那么乘客可免费携带行李的最大重量为________.

[解析] 设 与 之间的函数关系式为 ，将点 ， 代入得 ，令 ，可得 ，故乘客可免费携带行李的最大重量为 .
巩固训练
探究2 函数模型的应用
问题：.解决函数应用问题的基本步骤是什么？
[答案] 一般按以下几个步骤进行：（1）审题；（2）建模；（3）求模；（4）还原.
情境设置
新知生成
函数模型应用的两个方面：
（1）利用已知的函数模型解决问题；
（2）建立恰当的函数模型，并利用所得函数模型解释有关现象，对某些发展趋势进行预测.
利用函数模型解决实际应用问题时，要抓住关键，选择和建立恰当的函数模型.
新知运用
一、二次函数模型的应用
例2 某牧场中羊群的最大蓄养量为 只，为保证羊群的生长空间，实际蓄养量不能达到最大蓄养量，必须留出适当的空闲量.已知羊群的年增长量 只和实际蓄养量 只与空闲率
（空闲率指空闲量与最大蓄养量的比值）的乘积成正比，比例系数为 .
（1）写出 关于 的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
（2）求羊群年增长量的最大值；
（3）当羊群的年增长量达到最大值时，求 的取值范围.
[解析] （1）根据题意，由于最大蓄养量为 只，实际蓄养量为 只，
则蓄养率为 ，故空闲率为 ，由此可得 .
（2）对 配方，得 .
即当 时， 取得最大值，最大值为 .
（3）由题意知，为给羊群留有一定的生长空间，实际蓄养量与年增长量的和应小于最大蓄养量，即 .
因为当 时， ，所以 ，解得 .
又因为 ，所以 .
方法总结 利用二次函数求最值的方法及注意点
（1）方法：根据实际问题建立函数模型解析式后，可利用配方法、判别式法、换元法、函数的单调性等方法求最值，从而解决实际问题中的利润最大、用料最省等最值问题.
（2）注意：取得最值的自变量与实际意义是否相符.
二、幂函数模型的应用
例3 某公司研发 ， 两种芯片耗费资金2千万元，现在准备投入资金进行生产.经市场调查与预测，生产 芯片的毛收入 （千万元）与投入的资金 （千万元）成正比，已知每投入1千万元，公司获得毛收入0.25千万元；生产 芯片的毛收入 （千万元）与投入的资金 （千万元）的函数关系为 ，其图象如图所示.
（1）试分别求出生产 ， 两种芯片的毛收入 （千万元）与投入资金 （千万元）的函数关系式.
（2）如果公司只生产一种芯片，那么生产哪种芯片的毛收入更大？
（3）现在公司准备投入4亿元资金同时生产 ， 两种芯片，设投入 千万元生产 芯片，用 表示公司所获净利润.当 为多少时，可以获得最大净利润？并求出最大净利润.（净利润 芯片毛收入 芯片毛收入 研发耗费资金）
[解析] （1）由题意可得，生产 芯片的毛收入 .
将 ， 代入 ，
得 ∴
∴生产 芯片的毛收入 .
（2）由 ，得 ；由 ，得 ；由 ，得 .
∴当投入资金大于16千万元时，生产 芯片的毛收入更大；当投入资金等于16千万元时，生产 ， 芯片的毛收入相等；当投入资金小于16千万元时，生产 芯片的毛收入更大.
（3）由题意知投入 千万元资金生产 芯片，则投入 千万元资金生产 芯片，故公司所获净利润 ，故当 ，即 千万元时，公司所获净利润最大，最大净利润为9千万元.
方法总结 幂函数模型的应用求解策略
（1）给出含参数的函数关系式，利用待定系数法求出参数，明确函数关系式.
（2）根据题意，直接列出相应的函数关系式.
三、分段函数模型的应用
例4 提高过江大桥的车辆通行能力可改善整个城市的交通状况.在一般情况下，大桥上的车流速度 （单位：千米/时）是车流密度 （单位：辆/千米）的函数.当桥上的车流密度达到200辆/千米时，造成堵塞，此时车流速度为0千米/时；当车流密度不超过 辆/千米时，车流速度为60千米/时.研究表明：当 时，车流速度 是车流密度 的一次函数.
（1）当 时，求函数 的表达式；
（2）当车流密度 为多大时，车流量（单位时间内通过桥上某观测点的车辆数，单位：辆/时） 可以达到最大？并求出最大值（精确到1辆/时）.
[解析] （1）由题意，当 时， ；
当 时，设 ，由已知得 解得
故函数 的表达式为
（2）依题意并结合（1）可得
当 时， 为增函数，故当 时， 在区间 上取得最大值，最大值为 ；
当 时， ，当且仅当 时，等号成立.所以当 时， 在区间 上取得最大值,最大值为 .
综上所述，当 时， 在区间 上取得最大值，最大值为 .
即当车流密度为100辆/千米时，车流量可以达到最大，最大值约为3333辆/时.
方法总结 （1）现实生活中有很多问题都是用分段函数表示的，如出租车计费、个人所得税等，分段函数是刻画现实问题的重要模型.
（2）分段函数的每一段自变量变化所遵循的规律不同，因此可以先将其看成几个问题，将各段的变化规律分别找出来，再将其整合到一起，要注意各段自变量的范围，特别是端点值.
1.某桶装水经营部每天的房租、人员工资等固定成本为200元，每桶水的进价是5元，销售单价与日均销售量的关系如下表.
销售单价/元 6 7 8 9 10 11 12
日均销售量/桶 480 440 400 360 320 280 240
请根据以上数据作出分析，这个经营部怎样定价才能获得最大利润.
巩固训练
[解析] 由表中数据可知，销售单价每增加1元，日均销售量就减少40桶，
设在进价的基础上增加 元后，日均销售利润为 元，
在此情况下的日均销售量为 （桶），令 ，则 .
故 ， .易知，当 时， 取得最大值.
所以只需将销售单价定为11.5元，就可获得最大利润.
2.在固定压力差（压力差为常数）下，当气体通过圆形管道时，其流量 与管道半径 的四次方成正比.
（1）写出函数解析式；
（2）假设气体在半径为 的管道中的流量为 ，求该气体通过半径为 的管道时，其流量 的函数解析式；
（3）已知（2）中的气体通过的管道半径为 ，计算该气体的流量.（精确到 ）
[解析] （1）由题意，得 （ 是大于0的常数）.
（2）由 ， ，得 ，
，
∴流量 的函数解析式为 .
（3） ，∴当 时， .
3.某商品在近30天内每件的销售价格 （元）与时间 （天）的函数关系是 该商品的日销售量 （件）与时间 （天）的函数关系是 ，求这种商品的日销售金额的最大值，并指出日销售金额最大的一天是30天中的第几天.
[解析] 设日销售金额为 （元），则 ，
＝
当 ， 时， ，此时 ；
当 ， 时， ，此时 .
由 知， ，故第25天的日销售金额最大，最大值为1125元.
1.某厂日产手套总成本 （元）与手套日产量 （副）的函数解析式为 ，而手套出厂价格为每副10元，则该厂为了不亏本，至少日产手套( @27@ ).
A. 副 B. 副 C. 副 D. 副
D
[解析] 由题意可得，每天的利润 .
令 ，则 ，解得 .
所以为了不亏本，至少日产手套800副.
随堂检测·精评价
YUCI NO.1 MIDDLE SCHOOL
2.一辆汽车在某段路程中的行驶速度 与时间 的关系图象如图所示，则当 时，汽车已行驶的路程为( @29@ ).
A. B. C. D.
C
[解析] 当 时，汽车行驶的路程 .
3.用长度为 的材料围成一矩形场地，并且中间加两道隔墙，要使矩形的面积最大，则隔墙的长度为____ .
3
[解析] 设隔墙的长为 ，矩形面积为 ，
则 ， ，
所以当 时， 有最大值.
4.某化工厂引进一条先进生产线生产某种化工产品，其生产的总成本 （万元）与年产量
（吨）之间的函数关系式可以近似地表示为 ，已知此生产线年产量最大为210吨.若每吨产品平均出厂价为40万元，则当年产量为多少吨时，可以获得最大利润？最大利润是多少？
[解析] 设可获得的总利润为 万元，
则 ， .
在 上是增函数，∴当 时，
（万元）.
∴当年产量为210吨时，可获得最大利润，最大利润为1660万元.