一、选择题
1．如下四个函数的图象，适合用二分法求交点横坐标的是( )
[答案] D
[解析] 选项A，B不符合在零点两边函数值符号相异，不适宜用二分法求解；选项C中，零点左侧没有函数值，无法确定初始区间，只有D中的零点满足图象连续不断 且符号相异，能用二分法．故选D.
2．某公司为了适应市场需求对产品结构做了重大调整，调整后初期利润增长迅速，后来增长越来越慢，若要建立恰当的函数模型来反映该公司调整后利润y与时间x的关系，可选用( )
A．一次函数 B．二次函数
C．指数型函数 D．对数型函数
[答案] D
[解析] 由对数函数图象特征即可得到答案．
3．某商场对顾客实行购物优惠活动，规定一次购物付款总额，
①如果不超过200元，则不予优惠．
②如果超过200元，但不超过500元，则按标准价给予9折优惠．
③如果超过500元，则其500元按第②条给予优惠，超过500元的部分给予7折优惠．
某人两次去购物，分别付款168元和423元，假设他只去一次购买上述同样的商品，则应付款是( )
A．413.7元 B．513.6元
C．546.6元 D．548.7元
[答案] C
[解析] 两次购物标价款：168＋＝168＋470＝638(元)，实际应付款：500×0.9＋138×0.7＝546.6(元)。
4．(2012～2013合肥模拟)已知符号函数sgn(x)=，则函数f(x)＝sgn(ln x)－ln x的零点个数为( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] 令f(x)＝0，则sgn(ln x)－ln x＝0，即sgn(ln x)＝ln x，∴ln x＝0或ln x＝±1，∴x＝e或x＝1或x＝.
5．(盐城中学2012－2013学年度第一学期高一数学测试题)下列函数中不能用二分法求零点的是( )
A．f(x)＝2 x＋3 B．f(x)＝mx＋2 x－6
C．f(x)＝x 2－2 x＋1 D．f(x)＝2x－1
[答案] C
[解析] 由于f(x)＝x 2－2 x＋1＝(x－1)2≥0，因此，f(x)不能用二分法求零点．
6．定义在R上的奇函数f(x)满足：当x>0时，f(x)＝2013x＋log2013x，则方程f(x)＝0的实数根的个数是( )
A．1 B．2
C．3 D．4
[答案] C
[解析] f(x)＝2013x＋log2013x，在(0，＋∞)上为增函数，又f(1)＝2013>0，当x无限接近零时，2013x近似为1，log2013x是负数且无限小，因此函数值为负（如当时，f(x)<0）。所以f(x)在(0，＋∞)上只有一根，又f(x)为奇函数，f(x)在(－∞，0)上递增且有一根，又f(0)＝0，因此，f(x)在R上有3个零点，故选C.
7．(2012～2013河北广平县高一期中试题)函数f(x)＝－x3－3x＋5有零的区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(1,2) D．(2,3)
[答案] C
[解析]∵f(0)＝5，f(－1)＝9，f(1)＝1，f(2)＝－9，
∴f(1)f(2)＜0，故选C.
8．若函数y＝f(x)在区间[0,4]上的图象是连续不断的曲线，且方程f(x)＝0在(0,4)内仅有一个实数根，则f(0)·f(4)的值( )
A．大于0 B．小于0
C．等于0 D．无法判断
[答案] D
[解析] 如图(1)和(2)都满足题设条件．
9．(2012～2013河北广平县高一期中试题)“龟兔赛跑”讲过了这样一个故事：领先的兔子看着缓慢爬行的乌龟，骄傲起来，睡了一觉，当它醒来时，发现乌龟快到终点了，于是急忙追赶，但为时已晚，乌龟还是先到了终点，用S1、S2分别表示乌龟和兔子所行的路线，t为时间，则图中与故事情节相吻合的是( )
[答案] D
10．(2012～2013山东梁山一中期中试题)函数f(x)＝的零点个数为( )
A．0 B．1
C．2 D．3
[答案] B
[解析] f(x)＝在(0，＋∞)上为增函数，
当x＝0时，f(0)＝－1＜0，
当x＝1时，f(1)＝＞0，
∴f(0)f(1)＜0，因此f(x)在(0,1)上有一个零点，又f(x)单调递增，因此只有这一个零点故选B.
11.设函数是[-1，1]上的增函数，且，则方程在[-1，1]内( )
A.可能有3个实数根 B.可能有2个实数根 C.有唯一的实数根 D.没有实数根
[答案]C
[解析]在[-1，1]上是增函数且
在上有唯一实根
在[-1，1] 上有唯一实根.故选C.
12．(2012～2013山东梁山一中期中试题)若函数f(x)＝x3－x－1在区间[1,1.5]内的一个零点附近函数值用二分法逐次计算列表如下
x
1
1.5
1.25
1.375
1.3125
f(x)
－1
0.875
－0.2969
0.2246
－0.05151
那么方程x3－x－1＝0的一个近似根(精确度为0,1)为( )
A．1.2 B．1.3125
C．1.4375 D．1.25
[答案] B
[解析] 由于f(1.375)＞0，f(1.3125)＜0，且
1.375－1.3125＜0.1，故选B.
二、填空题
13．以下是三个变量y1，y2，y3随变量x变化的函数值表：
x
1
2
3
4
5
6
7
8
…
y1
2
4
8
16
32
64
128
256
…
y2
1
4
9
16
25
36
49
64
…
y3
0
1
1.585
2
2.322
2.585
2.807
3
…
其中，关于x呈指数函数变化的函数是________．
[答案] y1
[解析] 从表格可以看出，三个变量y1，y2，y3都是越来越大，但是增长速度不同，其中变量y1的增长速度最快，画出它们的图象(图略)，可知变量y1呈指数函数变化，故填y1.
14．(上海理工附中2012～2013学年度第一学期高一教学测试)函数f(x)＝3ax＋1－2a在区间[－1,1]上存在x0使f(x0)＝0(x0≠±1)，则实数a的取值范围是________．
[答案] (－∞，－1)∪(，＋∞)
[解析] 由题意得，当a>0时，f(－1)<0且f(1)>0，∴，∴，当a<0时，f(－1)>0且f(1)<0，∴，∴a<－1，综上，a的范围是(－∞，－1)∪(，＋∞)。
15.三次方程在下列连续整数____________之间有根.
①-2与-1 ②-1与0 ③0与1 ④1与2 ⑤2与3
[答案]①②④
[解析]令
x
-2
-1
0
1
2
3
f(x)
-1
1
-1
-1
7
29
在内均有根.
16．已知函数，当时，函数的零点,则 ．.
[答案]2
[解析]用数形结合法
作出 及的图象，
作出 及
由图象可知，当内变动，内变动时，显然对数函数图象与直线的公共点皆在区间内，即函数的零点，故．
三、解答题
17．用二分法求f(x)＝x3＋x2－2x－2在x的正半轴上的一个零点(误差不超过0.1)．
[解析] 显然f(2)＝23＋22－2×2－2＝6＞0.
当x＞2时f(x)＞0，又f(0)＝－2＜0，f(1)＝－2＜0，
故f(x)在(1,2)区间内有零点.
区间
中点值
中点函数值
[1,2]
1.5
0.625
[1,1.5]
1.25
－0.984
[1.25,1.5]
1.375
－0.260
[1.375,1.5]
1.438
0.165
[1.375,1.438]
因为|1.375－1.438|＝0.063＜0.1，故f(x)＝x3＋x2－2x－2的零点为x＝1.4.
18．关于x的方程mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14＝0有两个实根，且一个大于4，一个小于4，求m的取值范围．
[解析] 令g(x)＝mx2＋2(m＋3)x＋2m＋14，
依题意得或解得－∴m的取值范围是(－，0)．
19. 求方程的解的个数．
[解析]作出函数和的图象，
且时，，，有（如图）
由图象可以知道：函数和的图象的交点的个数为3，
即方程的解的个数为3.
20．某个体经营者把开始6个月试销A，B两种商品的逐月投资金额与所获纯利润列成下表：
投资A种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.65
1.39
1.85
2
1.84
1.4
投资B种商品金额(万元)
1
2
3
4
5
6
获纯利润(万元)
0.25
0.49
0.76
1
1.26
1.51
该经营者准备第7个月投入12万元经营这两种商品，但不知投入A，B两种商品各多少万元才合算．请你帮助制定一个资金投入方案，使得该经营者能获得最大纯利润，并按你的方案求出该经营者第7个月可获得的最大纯利润(结果保留两位有效数字)．
[解析] 以投资额为横坐标，纯利润为纵坐标，在平面直角坐标系中画出散点图，如下图所示．
观察散点图可以看出，A种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律可以用二次函数模型进行模拟．由于(4,2)为最高点，则可设y＝a(x－4)2＋2，再把点(1,0.65)代入，得0.65＝a(1－4)2＋2，
解得a＝－0.15，
所以y＝－0.15(x－4)2＋2.
B种商品所获纯利润y与投资额x之间的变化规律是纯性的，可以用一次函数模型进行模拟．
设y＝kx＋b，取点(1,0.25)和(4,1)代入，
得
解得
所以y＝0.25x.
设第7个月投入A，B两种商品的资金分别为xA万元，xB万元，总利润为ω万元，那么
所以ω＝－0.15(xA－4)2＋2＋0.25(12－xA)
＝－0.15＋0.95xA＋2.6
＝－0.15(xA－)2＋0.15()2＋2.6.
当xA＝≈3.2(万元)时，ω取最大值，约为4.1万元，此时xB＝8.8(万元)．
即该经营者下月把12万元中的3.2万元投资A种商品，8.8万元投资B种商品，可获得最大利润约为4.1万元．
21．养鱼场中鱼群的最大养殖量为m t，为保证鱼群的生长空间，实际养殖量不能达到最大养殖量，必须留出适当的空闲量．已知鱼群的年增长量y t和实际养殖量x t与空闲率的乘积成正比，比例系数为k(k>0)．
(1)写出y关于x的函数关系式，并指出这个函数的定义域；
(2)求鱼群年增长量的最大值；
(3)当鱼群的年增长量达到最大值时，求k的取值范围．
思路分析：由题意写出函数关系式，利用配方法求得最大值，列不等式求k的范围．
[解析] (1)由题意得y＝kx()＝kx(1－)(0≤x(2)y＝－x2＋kx＝－ (x－)2＋.
∴当x＝时，y最大＝，
即鱼群年增长量的最大值为t.
(3)由题意可得0≤x＋y∴－2≤k<2，
又∵k>0，∴022．已知函数，[－1，1]．
⑴求的最小值；
⑵关于的方程有解，求实数的取值范围．
[解析]
⑴
令在上单调递增
∴，此时
当时，
当时，
当时，．
⑵方程有解，即方程在上有解，而
∴，可证明在上单调递减，上单调递增
为奇函数，∴当时
∴的取值范围是．
一、选择题
1.如图，下列函数图象与x轴均有交点，但不宜用二分法求交点横坐标的是( )
[答案]B
[解析]用二分法只能求变号零点，选项B中的零点为不变号零点，不宜用二分法求解.故选B.
2.5年计算机的价格降低，则现在价格为8 100元的计算机经过( )年后降为2 400元．( )
A．14 B．15
C．16 D．17
[答案] B
[解析] 由题意得：2400＝8100×，解得n＝15，故选B.
3．(2012～2013山东鱼台一中期中试题)函数f(x)在区间[a，b]上为减函数，则f(x)在[a，b]上( )
A．至少有一个零点 B．只有一个零点
C．没有零点 D．至多有一个零点
[答案] D
[解析]单调减函数与x轴至多一个交点，所以f(x)在[a，b]上至多有一个零点。
4．某方程在区间(2,4)内有一实根，若用二分法求此根的近似值，将此区间分( )次后，所得近似值的精确度可达到0.1( )
A．2 B．3 C．4 D．5
[答案] D
[解析] 等分1次，区间长度为1，等分2次，区间长度变为0.5，…，等分4次，区间长度变为0.125，等分5次，区间长度为0.0625<0.1，符合题意，故选D.
5．(2012～2013山东省临沂市临沂县实验中学阶段性试题)函数f(x)＝＋x－5的零点所在区间为( )
A．(0,1) B．(1,2)
C．(2,3) D．(3,4)
[答案] C
[解析] ∵f(2)＝－1＜0，f(3)＝2＞0，
∴f(2)f(3)＜0.因此函数f(x)＝＋x－5在(2,3)上有一零点，故选C.
6．给出下列四个命题：①函数f(x)＝4x－12的零点是3；②函数f(x)＝x2＋6x＋9的零点是－3；③函数f(x)＝log3(x－1)的零点是1；④函数f(x)＝2x－1的零点是0.其中正确的个数为( )
A．1 B．2 C．3 D．4
[答案] C
[解析]当log3(x－4)＝0时，x－4＝1，∴x＝5，故③错，其余都对．
7．函数f(x)＝ax＋b的零点是－1(a≠0)，则函数g(x)＝ax2＋bx的零点是( )
A．－1 B．0
C．－1和0 D．1和0
[答案] C
[解析] 由条件知f(－1)＝0，∴b＝a，∴g(x)＝ax2＋bx＝ax(x＋1)的零点为0和－1.
8．设函数f(x)＝，则方程f(x)＝的解为( )
A. B．3
C．3或 D．无解
[答案] B
[解析] 当x≤1时 2－x＝∴x＝ (舍)，
当x>1时＝∴x＝3，故选B.
9．农民收入由工资性收入和其他收入两部分构成.2006年某地区农民人均收入为3 150元(其中工资性收入为1 800元，其他收入为1 350元)，预计该地区自2007年起的5年内，农民的工资性收入将以每年6%的年增长率增长，其他收入每年增加160元．根据以上数据，2011年该地区农民人均收入介于( )
A．4 200元～4 400元 B．4 400元～4 600元
C．4 600元～4 800元 D．4 800元～5 000元
(注：当0[答案] B
[解析] 根据题意可得，2011年该地区农民收入为
1800(1＋6%)5＋1350＋5×160
≈1800×(1＋5×6%)＋2150＝4490.
故选B.
10．若方程有两个实数解，则的取值范围是（ ）
A． B． C． D．
[答案]A
[解析]作出图象，发现当时，函数与函数有个交点。
11．函数f(x)＝ex＋x－2的零点所在的一个区间是( )
A．(－2，－1) B．(－1,0)
C．(0,1) D．(1,2)
[答案]C
[解析]∵f(0)＝e0－2＝－1<0，f(1)＝e1＋1－2＝e1－1>0，∴f(0)·f(1)<0，故选C。
12．一个机器人每一秒钟前进或后退一步，程序设计师让机器人先前进3步再后退2步的规律移动，如果将机器人放在数轴的原点，面向正的方向以一步的距离为一个单位长度．令P(n)表示第n s时机器人所在位置的坐标，且记P(0)＝0，则下列结论中错误的是( )
A．P(3)＝3 B．P(5)＝1
C．P(2 003)>P(2 005) D．P(2 007)>P(2 008)
[答案] D
[解析] 机器人程序为前进3步、后退2步，则P(3)＝3，P(5)＝1均正确，即5步等于前进了一个单位长度，
∴P(2 003)＝P(2 000)＋P(3)＝403，
P(2 005)＝P(2 000)＋P(5)＝401，
∴P(2 003)>P(2 005)正确．
又P(2 007)＝P(2 005)＋P(2)＝403，
P(2 008)＝P(2 005)＋P(3)＝404，
∴P(2 007)>P(2 008)错误．
二、填空题
13．已知函数y＝f(x)是R上的奇函数，其零点为x1，x2，…，x2 013，则x1＋x2＋…＋x2 013＝________.
[答案] 0
[解析] ∵f(x)是R上的奇函数，
∴0是函数y＝f(x)的零点．
其他非0的零点关于原点对称．
∴x1＋x2＋…＋x2013＝0.
14．如函数f(x)＝x2＋mx＋m＋3的一个零点为0，则另一个零点是________．
[答案] 3
[解析] 代入x＝0得m＝－3.
∴f(x)＝x2－3x，则x2－3x＝0得x1＝0，x2＝3
因此另一个零点为3.
15．为了稳定市场，确保农民增收，某农产品的市场收购价格a与其前三个月的市场收购价格有关，且使a与其前三个月的市场收购价格之差的平方和最小．若下表列出的是该产品前6个月的市场收购价格，则7月份该产品的市场收购价格应为________.
月份
1
2
3
4
5
6
价格(元/担)
68
78
67
71
72
70
[答案] 71
16．已知y＝x(x－1)(x＋1)的图象如图所示．令f(x)＝x(x－1)(x＋1)＋0.01，则下列关于f(x)＝0的解叙述正确的是________．
①有三个实根；
②x＞1时恰有一实根；
③当0＜x＜1时恰有一实根；
④当－1＜x＜0时恰有一实根；
⑤当x＜－1时恰有一实根(有且仅有一实根)．
[答案] ①⑤
[解析] f(x)的图象是将函数y＝x(x－1)(x＋1)的图象向上平移0.01个单位得到．故f(x)的图象与x轴有三个交点，它们分别在区间(－∞，－1)，(0，)和(，1)内，故只有①⑤正确．
三、解答题
17．甲、乙两人连续6年对某县农村鳗鱼养殖业的规模(总产量)进行调查，提供了两个方面的信息，分别得到如下两图．
甲调查表明：每个鱼池平均产量直线上升，从第1年1万条鳗鱼上升到第6年2万条．
乙调查表明：全县鱼池总个数直线下降，由第1年 30个减少到第6个10个．
请你根据提供的信息说明：
(1)第2年全县鱼池的个数及全县出产的鳗鱼总数；
(2)哪一年的规模(即总产量)最大？说明理由．
[解析] (1)由题意，得图1中的直线经过(1,1)和(6,2)两点，从而求得其解析式为y1＝0.2x＋0.8，图2中的直线经过(1,30)和(6,10)两点．从而求得其解析式为y2＝－4x＋34.则当x＝2时，y1＝0.2×2＋0.8＝1.2，y2＝－4×2＋34＝26，y1×y2＝1.2×26＝31.2，所以第2年全县有鱼池26个，全县出产的鳗鱼总数为31.2万条．
(2)设当第m年时，出产量为n，那么n＝y1·y2＝(0.2m＋0.8)(－4m＋34)＝－0.8m2＋3.6m＋27.2＝－0.8(m2－4.5m－34)＝－0.8(m－2.25)2＋31.25，所以当m＝2时，n有最大值为31.2，即当第2年时，鳗鱼养殖业的规模最大，最大产量为31.2万条．
18. 求函数的一个正数零点(精确到0.1).
[解析]由于，可取区间作为计算的初始区间，用二分法逐步计算，列表如下：
区间
中点
中点函数值
[1，2]
1.5
-2.625
[1.5，2]
1.75
0.2344
[1.5，1.75]
1.625
-1.3027
[1.625，1.75]
1.6875
-0.5618
[1.6875，1.75]
1.71875
-0.1709
由上表计算可知，区间[1.6875，1.75]的长度1.75-1.6875=0.0625<0.1，所以可以将1.6875的近似值1.7作为函数零点的近似值.
19．已知函数f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，求的取值范围，并求出该零点.
[解析]：∵f(x)＝4x＋m·2x＋1有且仅有一个零点，
即方程(2x)2＋m·2x＋1＝0仅有一个实根.
设2x＝t(t＞0)，则t2＋mt＋1＝0.
当Δ＝0，即m2－4＝0，
∴m＝－2时，t＝1；m＝2时，t＝－1不合题意，舍去，
∴2x＝1，x＝0符合题意.
当Δ＞0，即m＞2或m＜－2时，
t2＋mt＋1＝0有一正一负根，
即t1t2＜0，这与t1t2＞0矛盾.
∴这种情况不可能.
综上可知：m＝－2时，f(x)有唯一零点，该零点为＝0.
20.若方程在内有惟一解，求实数m的取值范围．
[解析]原方程可变形为：，即
设曲线和直线，图象如图所示．
由图可知：
①当时，有惟一解；
②当1≤l—m<4时，有惟一解．
∴m=1或一321．某电器公司生产A型电脑.2009年这种电脑每台平均生产成本为5 000元，并以纯利润20%确定出厂价，从2010年开始，公司通过更新设备和加强管理，使生产成本逐年降低，到2013年，尽管A型电脑出厂价仅是2009年出厂价的80%，但却实现了 50%纯利润的高效益．
(1)求2013年每台A型电脑的生产成本；
(2)以2007年生产成本为基数，求2009～2013年生产成本平均每年降低的百分率(精确到1%，注：≈2.236，≈2.449)．
观测时间
2003年底
2004年底
2005年底
2006年底
2007年底
比原有面
积增加数
(万公顷)
0.200 0
0.400 0
0.600 1
0.799 9
1.000 1
[解析] (1)设2013年每台电脑的生产成本为x元，依据题意，有
x(1＋50%)＝5000×(1＋20%)×80%，
解得x＝3 200(元)．
(2)设2009～2013年间每年平均生产成本降低的百分率为y，
则依据题意，得5000(1－y)4＝3 200，
解得y1＝1－，y2＝1＋ (舍去)．
所以y＝1－≈0.11＝11%.
所以，2013年每台电脑的生产成本为3200元，2009年到2013年生产成本平均每年降低11%.
22．已知函数（为实数，，）．
（1）当函数的图像过点，且方程有且只有一个根，求的表达式；
（2）在（1）的条件下，当时，是单调函数，求实数的
取值范围；
（3）若 当，，，且函数为偶函数
时，试判断能否大于？
[解析]（1）因为，所以.
因为方程有且只有一个根，所以.
所以. 即，.所以.
（2）因为=．
所以当 或时，即或时，是单调函数．
（3）为偶函数，所以. 所以.
所以
因为，不妨设，则.又因为，所以.
所以. 此时.
所以．
