2.3第二章 整式的加减章节复习 课件（共59张PPT）
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| 名称 | 2.3第二章 整式的加减章节复习 课件（共59张PPT） |  | |
| 格式 | pptx | ||
| 文件大小 | 3.7MB | ||
| 资源类型 | 试卷 | ||
| 版本资源 | 人教版 | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-12 09:25:01 | ||
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文档简介
(共59张PPT)
七上数学同步精品课件
人教版七年级上册
2. 3整式的加减章节复习
情景导入
知识精讲
典例解析
针对练习
达标检测
小结梳理
第二章 整式的加减
1.知道单项式、多项式的相关概念;
2.知道同类项的概念，掌握合并同类项的方法;
3.运用整式的化简、求值，解决相关问题.
一、用字母表示数
列式时应注意：
①数与字母、字母与字母相乘省略乘号；
②数与字母相乘时数字在前；
③式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写；
④带分数与字母相乘时，把带分数化成假分数；
⑤带单位时，适当加括号.
二、单项式及相关概念
1.单项式：表示数或字母的积的式，子叫做单项式.(单独的一个数或一个字母也是单项式).
2.单项式的系数：单项式中的数字因数称为这个单项式的系数.
3.单项式的次数：一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
1.单独一个数或一个字母也是单项式.
2.不含加减运算，单项式只含有乘积运算.
3.单项式数字因数与字母可能一个或多个.
4.可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算．
判断单项式的方法:
二、单项式及相关概念
在研究单项式的系数和次数问题时，要注意哪些问题：
2.圆周率π是常数.
3.单项式的系数应包括它前面的性质符号.
1.当单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写.
系数问题
4.当单项式的系数不容易看出时，一定要先将单项式写成数×字母的形式.
次数问题
1.切记所有字母的指数的和.
2.当字母指数为1时，不要忽略.
=
二、单项式及相关概念
三、多项式及整式相关概念
1.多项式：几个单项式的和叫做多项式. 其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项.
2.多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.
3.整式：单项式与多项式统称整式.
1.多项式的各项应包括它前面的符号；
3.要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的;
4.一个多项式的最高次项可以不唯一.
2.多项式没有系数的概念，但其每一项均有系数，每一项的系数也包括前面的符号；
在确定多项式的项和次数时应注意：
三、多项式及整式相关概念
1.同类项：像100t与-252t，3x2与2x2，3ab2与-4ab2这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 几个常数项也是同类项. 例如5与-3.
四、同类项及合并同类项
（1）同类项只与字母及其指数有关，与系数无关，与字母在单项式中的排列顺序无关；
（2）抓住“两个相同”：一是所含的字母要完全相同，二是相同字母的指数要相同，这两个条件缺一不可.
2.同类项的判别方法
（3）不要忘记几个单独的数也是同类项.
四、同类项及合并同类项
4.合并同类项的法则：
同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.
3.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项.
3 ab + 5 ab = 8 ab
相加
不变
5.“合并同类项”的方法：
一找，找出多项式中的同类项，不同类的同类项用不同的标记标出；
二移，利用加法的交换律，将不同类的同类项集中到不同的括号内；
三合，将同一括号内的同类项相加即可.
四、同类项及合并同类项
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
注意：
(1)去括号时，要连同括号前面的符号一起去掉；
(2)去括号时，首先要弄清楚括号前面是“＋”号还是“－”号；
(3)注意“括号内各项的符号”的含义是指“各项都变号”或“都不变号”.
五、去括号法则
3.运算结果，常将多项式的某个字母（如x）的降幂（升幂）排列.
1.几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算．
2.整式加减实际上就是：去括号、合并同类项.
整式加减的一般步骤：
（1）如果有括号，那么先去括号；
（2）观察有无同类项；
（3）利用加法的交换律和结合律，分组同类项；
（4）合并同类项.
五、整式的加减
例1.在式子，，，，，，中，单项式有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】解：是一个数字，是单项式；3x-y 式子中存在减法运算，不是单项式；
2 x y是数字与字母的乘积，是单项式；a是单独的一个字母是单项式；
式子中存在加法运算，不是单项式；πa2是单项式；
x+1式子中存在加法运算，不是单项式；故单项式一共有4个．
故选：B
B
单项式典型应用
1
单项式典型应用
1
例2.若是关于，的五次单项式且系数为6，试求，的值．
解：因为 是关于，的五次单项式且系数为6，
所以
所以
【1-1】关于单项式-23x2y2z， 下列结论中正确的是( )
A.系数是-2，次数是4 B.系数是-2，次数是5
C.系数是-2，次数是8 D.系数是-23，次数是5
D
【1-2】如果单项式头amb2n(m，n均为正整数)为六次单项式，那么m可以取的值为________,n可以取的值为________.
4或2
1或2
【1-3】已知x2y|a|+（b+2）是关于x、y的五次单项式，求a2﹣3ab的值．
解：因为x2y|a|+（b+2）是关于x，y的五次单项式，
所以b+2=0,2+=5
所以a=±3，b=-2
则当a＝﹣3，b＝﹣2时，a2﹣3ab＝9﹣18＝﹣9；
当a＝3，b＝﹣2时，a2﹣3ab＝9+18＝27．
例3.下列整式中哪些是多项式 是多项式的指出项和次数.
x2,y2,-1
2
3x2,-y,3xy3,x4,-1
4
2x,-y
1
多项式典型应用
2
例4.已知关于x，y的多项式x2ym+1+xy2–2x3–5是六次四项式，单项式
3x2ny5–m的次数与这个多项式的次数相同，求m-n的值．
解：因为多项式x2ym+1+xy2-2x3-5是六次四项式，
所以2+m+1=6，
所以m=3，
因为单项式6x2ny5–m的次数也是六次，
所以2n+5-m=6，
多项式典型应用
2
所以n=2，
所以m-n=3-2=1．
【2-1】下列代数式，0，，，，，中，多项式的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
A
【2-2】关于x、y的多项式是四次二项式，则________．
2或-3
【2-3】已知关于x，y的多项式x2ym+1+xy2﹣2x3﹣5是六次四项式，单项式3x2ny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，则m﹣n＝_____．
1
例5.下列各组中的两项是不是同类项 为什么
(1)与 (2)与 (3)与
(4)与 (5)与 (6)与
【分析】（1）与中两项所含相同的字母的指数不同，不是同类项.
（2）与中两项所含的字母不同，不是同类项.
（3）与中两项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项.
（4）与中两项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项.
（5）与中两项不含相同字母，不是同类项.
（6）与中两项是常数项，是同类项
整式的加减运算
3
例6.化简下列各式：
(1)-2x-[x2-2(x2﹣3x)] (2)
（1）解原式=-2x-[x2-2(x2﹣3x)]
=-2x-(x2-2x2+6x）
=-2x-(-x2+6x）
=-2x+x2-6x
=x2-8x
（2）原式
整式的加减运算
3
例7.已知a，b，c三个数在数轴上对应的点如图所示，
化简：
解：根据数轴可知：，|c|>|a|>|b|，
所以b-a<0，2a-b>0，a-c>0，
原式，
．
整式的加减运算
3
【3-1】若3am+1b2与a3bn-1是同类项，则m=____,n=____.
2
3
【3-2】已知一个数为三位数，十位数字是a，个位数字比,a小2，百位数字是a的2倍，用式子表示这个数是( )
A.21a-2 B.211a-2 C.200a-2 D.3a-2
D
（2）解原式＝5a2﹣[a2+5a2﹣2a﹣2a2+6a]
＝5a2﹣（4a2+4a）
＝a2﹣4a．
(1) (2)5a2﹣[a2+（5a2﹣2a）﹣2（a2﹣3a）]
（1）解原式
；
【3-3】化简下列各式：
【3-4】有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，
化简
解：观察数轴得：，
所以，
所以
例8.先化简，再求值：，其中，
．
解：
，
当，时，原式．
整式的化简求值
4
例9.先化简，再求值：，其中a，b满足．
解：原式
；
因为，
所以，，
整式的化简求值
4
所以，，
原式
．
【4-1】先化简，再求值：，其中，．
解原式
当，时，原式．
【4-2】先化简，再求值：3（x2y+xy）﹣2（x2y﹣xy）﹣4x2y﹣3，其中x、y满足|x+1|+（y﹣1）2＝0．
解：因为|x+1|+（y﹣1）2＝0，且|x+1|≥0，（y﹣1）2≥0，
所以x+1＝0，y﹣1＝0，
所以x＝﹣1，y＝1，
所以3（x2y+xy）﹣2（x2y﹣xy）﹣4x2y﹣3
＝3x2y+3xy﹣2x2y+2xy﹣4x2y﹣3
＝﹣3x2y+5xy﹣3
＝﹣3×（﹣1）2×1+5×（﹣1）×1﹣3
【4-2】先化简，再求值：3（x2y+xy）﹣2（x2y﹣xy）﹣4x2y﹣3，其中x、y满足|x+1|+（y﹣1）2＝0．
＝﹣3×1×1﹣5﹣3
＝﹣3﹣5﹣3
＝﹣11．
所以原式化简为﹣3x2y+5xy﹣3，代入求值结果为-11．
整式的加减中无关型问题
5
例10.多项式的值与无关，求的值．
解：
，
∵多项式的值与无关，
∴，
解得：．
∴的值为．
例11.已知A＝﹣3x2﹣2mx+3x+1，B＝2x2+2mx﹣1，且2A+3B的值与x无关，求m2﹣m的值．
解：2A+3B＝2(﹣3x2﹣2mx+3x+1)+3(2x2+2mx﹣1）
＝-6x2-4mx+6x+2+6x2+6mx-3
＝(6+2m)x-1，
因为2A+3B的值与x无关，所以6+2m＝0时，
解得m＝-3，
当m＝-3时m2﹣m＝(﹣3)2﹣(﹣3)＝12．
整式的加减中无关型问题
5
【5-1】试说明：不论x取何值，代数式的值恒不变．
解：（x3+5x2+4x﹣1）﹣（﹣x2﹣3x+2x3﹣3）+（8﹣7x﹣6x2+x3）
＝x3+5x2+4x﹣1+x2+3x﹣2x3+3+8﹣7x﹣6x2+x3
＝x3﹣2x3+x3+5x2+x2﹣6x2+4x+3x﹣7x+10
＝10，
∵此代数式恒等于10，
∴不论x取何值，代数式的值是不会改变的．
【5-2】学习了整式的加减运算后，张老师给同学们布置了一道课堂练习题“a=-10，b=2022时，求的值”．芳芳同学做完后对同桌说：“张老师给的条件b=2022是多余的，这道题不给的值，照样可以求出结果来．”同桌不相信她的话，亲爱的同学们，你相信芳芳的说法吗？说说你的理由．
解：(3a2b 2ab2+4a) 2(2a2b 3a)+2(ab2+a2b) 1
=3a2b-2ab2+4a-4a2b+6a+2ab2+a2b-1
=10a-1，
当a=-10时，原式=10×（-10）-1=-101．
化简结果中不含字母b，故最后的结果与b的取值无关，b=2022这个条件是多余的，
则芳芳同学的说法是正确的．
【5-3】已知，，若中不含一次项和常数项，求的值．
解：
∵计算结果不含有一次项和常数项，
∴，解得：，
∴
=-10
整式的加减实际应用
6
例12.2021年7月20日，郑州遭遇千年一遇的特大暴雨，面对严重汛情，社会各方力量纷纷赴郑救援．7月21日，为存放物资，现在要建一个三角形简易存放地，第一条边长为，第二条边比第一条边多，第三条边比第二条边短．
(1)求这个三角形周长（用含，的式子表示）；
（1）解：因为第二条比第一条边长a-b，则第二条边长为：
（3a+2b）+（a-b）=4a+b，
所以第三条边比第二条边短2a，则第三条边长为：（4a+b）-2a=2a+b，
所以三角形周长是：（3a+2b）+（4a+b）+（2a+b）=9a+4b，
所以这个三角形周长是9a+4b；
整式的加减实际应用
6
例12.2021年7月20日，郑州遭遇千年一遇的特大暴雨，面对严重汛情，社会各方力量纷纷赴郑救援．7月21日，为存放物资，现在要建一个三角形简易存放地，第一条边长为，第二条边比第一条边多，第三条边比第二条边短．
(2)当m，m时，请你计算围成这个三角形存放地需要多少米材料？
（2）当a=230m，b=150m时，原式=9×230+4×150=2670（m），
所以围成这个三角形存放地需要2670米材料．
整式的加减实际应用
6
例13.一个三位数M，百位数字为a，十位数字为b，个位数字是c．
(1)请用含a，b，c的式子表示这个数M；
(2)现在把三位数M的百位数字，十位数字，个位数字分别交换到个位数字，百位数字，十位数字，得到一个新的三位数N，请用含a，b，c的式子表示N；
(3)请用含a，b，c的式子表示N-M，请判断N-M是否能被9整除？并说明理由．
(1)解：因为百位数字为a，十位数字为b，个位数字是c，
所以；
(2)因为百位数字为b，十位数字为c，个位数字是a，
所以；
整式的加减实际应用
6
例13.一个三位数M，百位数字为a，十位数字为b，个位数字是c．
(1)请用含a，b，c的式子表示这个数M；
(2)现在把三位数M的百位数字，十位数字，个位数字分别交换到个位数字，百位数字，十位数字，得到一个新的三位数N，请用含a，b，c的式子表示N；
(3)请用含a，b，c的式子表示N-M，请判断N-M是否能被9整除？并说明理由．
(3)因为
．
所以能被9整除．
【6-1】某轮船顺水航行，逆水航行，已知轮船在静水中的速度是，水流速度是．
(1)轮船顺水和逆水共航行多少千米？
(2)若，，求该轮船顺水航行的路程比逆水航行的路程多多少千米？
（1）解：根据题意得：
答：轮船顺水和逆水共航行千米
（2）根据题意得：
当，时，原式（千米）
答：轮船顺水航行的路程比逆水航行的路程多35千米．
【6-2】母亲节，阳阳送给妈妈一份精美的礼物，并用丝带把长方体礼品盒打上包装（如图所示，图中虚线为丝带），打蝴蝶结的部分需用丝带．
(1)用含、、的式子求出打好整个包装需用丝带总长度；
(2)若1米丝带费用为3元，求当，，时，（1）中丝带的总费用为多少元？
（1）解：由题意得打好整个包装需用丝带总长度为2x＋4y＋2z＋（x－y＋z）＝2x＋4y＋2z＋x－y＋z＝（3x＋3y＋3z）cm，答：打好整个包装需用丝带总长度为（3x＋3y＋3z）cm．
【6-2】母亲节，阳阳送给妈妈一份精美的礼物，并用丝带把长方体礼品盒打上包装（如图所示，图中虚线为丝带），打蝴蝶结的部分需用丝带．
(1)用含、、的式子求出打好整个包装需用丝带总长度；
(2)若1米丝带费用为3元，求当，，时，（1）中丝带的总费用为多少元？
（2）解：当，，时，3x＋3y＋3z＝3×25＋3×14＋3×10＝147（cm）147cm＝1.47米，所需费用为1.47×3＝4.41元，答：丝带的总费用为4.41元．
与整式的加减有关的探索性问题
7
例14.观察下列各式：﹣a，a2，﹣a3，a4，﹣a5，a6，…
(1)写出第2014个和2015个单项式；
(2)写出第n个单项式．
解：由﹣a，a2，﹣a3，a4，﹣a5，a6，…
可得第n项的表达式为（﹣1）n，
所以第2014个单项式为，第2015个单项式为﹣．
(2)由单项式的特点可得第n个单项式为(﹣1)n．
例15.设n表示自然数，用关于n的整式表示出来.从2开始连续的偶数相加,它们和的情况如下表:
加数的个数n 和s
1 2=1×2
2 2+4=6=2×3
3 2+4+6=12=3×4
4 2+4+6+8=20=4×5
…… ……
与整式的加减有关的探索性问题
7
⑴s与n之间有什么关系？能否用一个关系式来表示？
【分析】观察上表,当n=1时,s=1×2,即第一个数字是1,第二个数字是2;当n=2时,s=2+4=6=2×3,第一个数字是2,第二个数字是3,依此类推,发现第一个数字是n,第二个数字比n大1.
解:⑴s与n的关系为s=n(n+1).
解：当n= =1002时,
s=1002×(1002+1)=1005006.
即2+4+6+8+……+2004=1005006.
⑵计算2+4+6+8+……+2004.
与整式的加减有关的探索性问题
7
例16.用黑白两种颜色的正六边形地面砖中力所示的规律，拼成若干图案．
(1)第1个图形中有白色地砖 块；第2个图形中有白色地砖 块；第3个图形中有白色地砖 块；第4个图形中有白色地砖 块；
（1）解：第1个图形中有白色地砖6块，即4×1+2=6；
第2个图形中有白色地砖10块，即4×2+2=10；
第3个图形中有白色地砖14块，即4×3+2=14．
第4个图形中有白色地砖4×4+2=18（块）；
与整式的加减有关的探索性问题
7
例16.用黑白两种颜色的正六边形地面砖中力所示的规律，拼成若干图案．
(2)求第n个图案中有白色地砖的块数，并求出n＝100时白色地砖的块数．
（2）解：根据（1）可知：
第n个图案中，白色地砖共（4n+2）块．
所以n=100时，白色地砖共
4×100+2=402（块）．
【7-1】观察下列一串单项式的特点： ， ， ， ， ，…
（1）写出第10个和第2020个单项式．
（2）写出第n个单项式．
解：（1）因为当n＝1时，xy，当n＝2时，﹣3x2y，当n＝3时，5x3y，当n＝4时，﹣7x4y，当n＝5时，9x5y，
所以第10个单项式是﹣(2×10﹣1) x10y，即﹣19x10y．
第2020个单项式是﹣(2×2020﹣1) x2020y，即﹣4039x2020y．
【7-1】观察下列一串单项式的特点： ， ， ， ， ，…
（1）写出第10个和第2020个单项式．
（2）写出第n个单项式．
解：（2）因为n为奇数时，单项式的系数为正数，n为偶数时，单项式的系数为负数．
所以符合可用(﹣1)n+1表示，
因为系数的数字部分是连续的奇数，
所以可用2n﹣1来表示，
又因为第n个单项式的x的指数为n，y的指数不变，还是1，
所以第n个单项式可表示为(﹣1)n+1(2n﹣1)xny．
【7-2】如图,文化广场上摆了一些桌子，若并排摆n张桌子,可同时容纳多少人 当n=20时，可同时容纳多少人
解: (1) 4×1+2，
(2) 4×2+2,
……
(n) 4n+2
当n=20时，4n+2=4×20+2
=82(人)
6052
【7-3】观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2017个图形中共有________个五角星．
【解析】可以发现每个图形的五角星个数都比前面一个图形的五角星个数多3个.由于第1个图形的五角星个数是3×1+1，所以第n个图形的五角星个数是3n+1,故第2017个图形五角星个数是3×2017+1=6052.
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第二章 整式的加减
1.知道单项式、多项式的相关概念;
2.知道同类项的概念，掌握合并同类项的方法;
3.运用整式的化简、求值，解决相关问题.
一、用字母表示数
列式时应注意：
①数与字母、字母与字母相乘省略乘号；
②数与字母相乘时数字在前；
③式子中出现除法运算时，一般按分数形式来写；
④带分数与字母相乘时，把带分数化成假分数；
⑤带单位时，适当加括号.
二、单项式及相关概念
1.单项式：表示数或字母的积的式，子叫做单项式.(单独的一个数或一个字母也是单项式).
2.单项式的系数：单项式中的数字因数称为这个单项式的系数.
3.单项式的次数：一个单项式中,所有字母的指数的和叫做这个单项式的次数.
1.单独一个数或一个字母也是单项式.
2.不含加减运算，单项式只含有乘积运算.
3.单项式数字因数与字母可能一个或多个.
4.可以含有除以数的运算，不能含有除以字母的运算．
判断单项式的方法:
二、单项式及相关概念
在研究单项式的系数和次数问题时，要注意哪些问题：
2.圆周率π是常数.
3.单项式的系数应包括它前面的性质符号.
1.当单项式的系数是1或-1时，“1”通常省略不写.
系数问题
4.当单项式的系数不容易看出时，一定要先将单项式写成数×字母的形式.
次数问题
1.切记所有字母的指数的和.
2.当字母指数为1时，不要忽略.
=
二、单项式及相关概念
三、多项式及整式相关概念
1.多项式：几个单项式的和叫做多项式. 其中，每个单项式叫做多项式的项，不含字母的项叫做常数项.
2.多项式的次数：多项式里，次数最高项的次数，叫做这个多项式的次数.
3.整式：单项式与多项式统称整式.
1.多项式的各项应包括它前面的符号；
3.要确定一个多项式的次数，先要确定此多项式中各项(单项式)的次数，然后找次数最高的;
4.一个多项式的最高次项可以不唯一.
2.多项式没有系数的概念，但其每一项均有系数，每一项的系数也包括前面的符号；
在确定多项式的项和次数时应注意：
三、多项式及整式相关概念
1.同类项：像100t与-252t，3x2与2x2，3ab2与-4ab2这样，所含字母相同，并且相同字母的指数也相同的项叫做同类项. 几个常数项也是同类项. 例如5与-3.
四、同类项及合并同类项
（1）同类项只与字母及其指数有关，与系数无关，与字母在单项式中的排列顺序无关；
（2）抓住“两个相同”：一是所含的字母要完全相同，二是相同字母的指数要相同，这两个条件缺一不可.
2.同类项的判别方法
（3）不要忘记几个单独的数也是同类项.
四、同类项及合并同类项
4.合并同类项的法则：
同类项的系数相加，所得的结果作为系数，字母和字母的指数不变.
3.合并同类项：把多项式中的同类项合并成一项叫做合并同类项.
3 ab + 5 ab = 8 ab
相加
不变
5.“合并同类项”的方法：
一找，找出多项式中的同类项，不同类的同类项用不同的标记标出；
二移，利用加法的交换律，将不同类的同类项集中到不同的括号内；
三合，将同一括号内的同类项相加即可.
四、同类项及合并同类项
如果括号外的因数是正数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相同；
如果括号外的因数是负数，去括号后原括号内各项的符号与原来的符号相反.
注意：
(1)去括号时，要连同括号前面的符号一起去掉；
(2)去括号时，首先要弄清楚括号前面是“＋”号还是“－”号；
(3)注意“括号内各项的符号”的含义是指“各项都变号”或“都不变号”.
五、去括号法则
3.运算结果，常将多项式的某个字母（如x）的降幂（升幂）排列.
1.几个整式相加减，通常用括号把每一个整式括起来，再用加、减连接，然后进行运算．
2.整式加减实际上就是：去括号、合并同类项.
整式加减的一般步骤：
（1）如果有括号，那么先去括号；
（2）观察有无同类项；
（3）利用加法的交换律和结合律，分组同类项；
（4）合并同类项.
五、整式的加减
例1.在式子，，，，，，中，单项式有( )
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
【分析】解：是一个数字，是单项式；3x-y 式子中存在减法运算，不是单项式；
2 x y是数字与字母的乘积，是单项式；a是单独的一个字母是单项式；
式子中存在加法运算，不是单项式；πa2是单项式；
x+1式子中存在加法运算，不是单项式；故单项式一共有4个．
故选：B
B
单项式典型应用
1
单项式典型应用
1
例2.若是关于，的五次单项式且系数为6，试求，的值．
解：因为 是关于，的五次单项式且系数为6，
所以
所以
【1-1】关于单项式-23x2y2z， 下列结论中正确的是( )
A.系数是-2，次数是4 B.系数是-2，次数是5
C.系数是-2，次数是8 D.系数是-23，次数是5
D
【1-2】如果单项式头amb2n(m，n均为正整数)为六次单项式，那么m可以取的值为________,n可以取的值为________.
4或2
1或2
【1-3】已知x2y|a|+（b+2）是关于x、y的五次单项式，求a2﹣3ab的值．
解：因为x2y|a|+（b+2）是关于x，y的五次单项式，
所以b+2=0,2+=5
所以a=±3，b=-2
则当a＝﹣3，b＝﹣2时，a2﹣3ab＝9﹣18＝﹣9；
当a＝3，b＝﹣2时，a2﹣3ab＝9+18＝27．
例3.下列整式中哪些是多项式 是多项式的指出项和次数.
x2,y2,-1
2
3x2,-y,3xy3,x4,-1
4
2x,-y
1
多项式典型应用
2
例4.已知关于x，y的多项式x2ym+1+xy2–2x3–5是六次四项式，单项式
3x2ny5–m的次数与这个多项式的次数相同，求m-n的值．
解：因为多项式x2ym+1+xy2-2x3-5是六次四项式，
所以2+m+1=6，
所以m=3，
因为单项式6x2ny5–m的次数也是六次，
所以2n+5-m=6，
多项式典型应用
2
所以n=2，
所以m-n=3-2=1．
【2-1】下列代数式，0，，，，，中，多项式的个数有（ ）
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
A
【2-2】关于x、y的多项式是四次二项式，则________．
2或-3
【2-3】已知关于x，y的多项式x2ym+1+xy2﹣2x3﹣5是六次四项式，单项式3x2ny5﹣m的次数与这个多项式的次数相同，则m﹣n＝_____．
1
例5.下列各组中的两项是不是同类项 为什么
(1)与 (2)与 (3)与
(4)与 (5)与 (6)与
【分析】（1）与中两项所含相同的字母的指数不同，不是同类项.
（2）与中两项所含的字母不同，不是同类项.
（3）与中两项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项.
（4）与中两项所含字母相同，并且相同字母的指数也相同，是同类项.
（5）与中两项不含相同字母，不是同类项.
（6）与中两项是常数项，是同类项
整式的加减运算
3
例6.化简下列各式：
(1)-2x-[x2-2(x2﹣3x)] (2)
（1）解原式=-2x-[x2-2(x2﹣3x)]
=-2x-(x2-2x2+6x）
=-2x-(-x2+6x）
=-2x+x2-6x
=x2-8x
（2）原式
整式的加减运算
3
例7.已知a，b，c三个数在数轴上对应的点如图所示，
化简：
解：根据数轴可知：，|c|>|a|>|b|，
所以b-a<0，2a-b>0，a-c>0，
原式，
．
整式的加减运算
3
【3-1】若3am+1b2与a3bn-1是同类项，则m=____,n=____.
2
3
【3-2】已知一个数为三位数，十位数字是a，个位数字比,a小2，百位数字是a的2倍，用式子表示这个数是( )
A.21a-2 B.211a-2 C.200a-2 D.3a-2
D
（2）解原式＝5a2﹣[a2+5a2﹣2a﹣2a2+6a]
＝5a2﹣（4a2+4a）
＝a2﹣4a．
(1) (2)5a2﹣[a2+（5a2﹣2a）﹣2（a2﹣3a）]
（1）解原式
；
【3-3】化简下列各式：
【3-4】有理数，在数轴上对应点的位置如图所示，
化简
解：观察数轴得：，
所以，
所以
例8.先化简，再求值：，其中，
．
解：
，
当，时，原式．
整式的化简求值
4
例9.先化简，再求值：，其中a，b满足．
解：原式
；
因为，
所以，，
整式的化简求值
4
所以，，
原式
．
【4-1】先化简，再求值：，其中，．
解原式
当，时，原式．
【4-2】先化简，再求值：3（x2y+xy）﹣2（x2y﹣xy）﹣4x2y﹣3，其中x、y满足|x+1|+（y﹣1）2＝0．
解：因为|x+1|+（y﹣1）2＝0，且|x+1|≥0，（y﹣1）2≥0，
所以x+1＝0，y﹣1＝0，
所以x＝﹣1，y＝1，
所以3（x2y+xy）﹣2（x2y﹣xy）﹣4x2y﹣3
＝3x2y+3xy﹣2x2y+2xy﹣4x2y﹣3
＝﹣3x2y+5xy﹣3
＝﹣3×（﹣1）2×1+5×（﹣1）×1﹣3
【4-2】先化简，再求值：3（x2y+xy）﹣2（x2y﹣xy）﹣4x2y﹣3，其中x、y满足|x+1|+（y﹣1）2＝0．
＝﹣3×1×1﹣5﹣3
＝﹣3﹣5﹣3
＝﹣11．
所以原式化简为﹣3x2y+5xy﹣3，代入求值结果为-11．
整式的加减中无关型问题
5
例10.多项式的值与无关，求的值．
解：
，
∵多项式的值与无关，
∴，
解得：．
∴的值为．
例11.已知A＝﹣3x2﹣2mx+3x+1，B＝2x2+2mx﹣1，且2A+3B的值与x无关，求m2﹣m的值．
解：2A+3B＝2(﹣3x2﹣2mx+3x+1)+3(2x2+2mx﹣1）
＝-6x2-4mx+6x+2+6x2+6mx-3
＝(6+2m)x-1，
因为2A+3B的值与x无关，所以6+2m＝0时，
解得m＝-3，
当m＝-3时m2﹣m＝(﹣3)2﹣(﹣3)＝12．
整式的加减中无关型问题
5
【5-1】试说明：不论x取何值，代数式的值恒不变．
解：（x3+5x2+4x﹣1）﹣（﹣x2﹣3x+2x3﹣3）+（8﹣7x﹣6x2+x3）
＝x3+5x2+4x﹣1+x2+3x﹣2x3+3+8﹣7x﹣6x2+x3
＝x3﹣2x3+x3+5x2+x2﹣6x2+4x+3x﹣7x+10
＝10，
∵此代数式恒等于10，
∴不论x取何值，代数式的值是不会改变的．
【5-2】学习了整式的加减运算后，张老师给同学们布置了一道课堂练习题“a=-10，b=2022时，求的值”．芳芳同学做完后对同桌说：“张老师给的条件b=2022是多余的，这道题不给的值，照样可以求出结果来．”同桌不相信她的话，亲爱的同学们，你相信芳芳的说法吗？说说你的理由．
解：(3a2b 2ab2+4a) 2(2a2b 3a)+2(ab2+a2b) 1
=3a2b-2ab2+4a-4a2b+6a+2ab2+a2b-1
=10a-1，
当a=-10时，原式=10×（-10）-1=-101．
化简结果中不含字母b，故最后的结果与b的取值无关，b=2022这个条件是多余的，
则芳芳同学的说法是正确的．
【5-3】已知，，若中不含一次项和常数项，求的值．
解：
∵计算结果不含有一次项和常数项，
∴，解得：，
∴
=-10
整式的加减实际应用
6
例12.2021年7月20日，郑州遭遇千年一遇的特大暴雨，面对严重汛情，社会各方力量纷纷赴郑救援．7月21日，为存放物资，现在要建一个三角形简易存放地，第一条边长为，第二条边比第一条边多，第三条边比第二条边短．
(1)求这个三角形周长（用含，的式子表示）；
（1）解：因为第二条比第一条边长a-b，则第二条边长为：
（3a+2b）+（a-b）=4a+b，
所以第三条边比第二条边短2a，则第三条边长为：（4a+b）-2a=2a+b，
所以三角形周长是：（3a+2b）+（4a+b）+（2a+b）=9a+4b，
所以这个三角形周长是9a+4b；
整式的加减实际应用
6
例12.2021年7月20日，郑州遭遇千年一遇的特大暴雨，面对严重汛情，社会各方力量纷纷赴郑救援．7月21日，为存放物资，现在要建一个三角形简易存放地，第一条边长为，第二条边比第一条边多，第三条边比第二条边短．
(2)当m，m时，请你计算围成这个三角形存放地需要多少米材料？
（2）当a=230m，b=150m时，原式=9×230+4×150=2670（m），
所以围成这个三角形存放地需要2670米材料．
整式的加减实际应用
6
例13.一个三位数M，百位数字为a，十位数字为b，个位数字是c．
(1)请用含a，b，c的式子表示这个数M；
(2)现在把三位数M的百位数字，十位数字，个位数字分别交换到个位数字，百位数字，十位数字，得到一个新的三位数N，请用含a，b，c的式子表示N；
(3)请用含a，b，c的式子表示N-M，请判断N-M是否能被9整除？并说明理由．
(1)解：因为百位数字为a，十位数字为b，个位数字是c，
所以；
(2)因为百位数字为b，十位数字为c，个位数字是a，
所以；
整式的加减实际应用
6
例13.一个三位数M，百位数字为a，十位数字为b，个位数字是c．
(1)请用含a，b，c的式子表示这个数M；
(2)现在把三位数M的百位数字，十位数字，个位数字分别交换到个位数字，百位数字，十位数字，得到一个新的三位数N，请用含a，b，c的式子表示N；
(3)请用含a，b，c的式子表示N-M，请判断N-M是否能被9整除？并说明理由．
(3)因为
．
所以能被9整除．
【6-1】某轮船顺水航行，逆水航行，已知轮船在静水中的速度是，水流速度是．
(1)轮船顺水和逆水共航行多少千米？
(2)若，，求该轮船顺水航行的路程比逆水航行的路程多多少千米？
（1）解：根据题意得：
答：轮船顺水和逆水共航行千米
（2）根据题意得：
当，时，原式（千米）
答：轮船顺水航行的路程比逆水航行的路程多35千米．
【6-2】母亲节，阳阳送给妈妈一份精美的礼物，并用丝带把长方体礼品盒打上包装（如图所示，图中虚线为丝带），打蝴蝶结的部分需用丝带．
(1)用含、、的式子求出打好整个包装需用丝带总长度；
(2)若1米丝带费用为3元，求当，，时，（1）中丝带的总费用为多少元？
（1）解：由题意得打好整个包装需用丝带总长度为2x＋4y＋2z＋（x－y＋z）＝2x＋4y＋2z＋x－y＋z＝（3x＋3y＋3z）cm，答：打好整个包装需用丝带总长度为（3x＋3y＋3z）cm．
【6-2】母亲节，阳阳送给妈妈一份精美的礼物，并用丝带把长方体礼品盒打上包装（如图所示，图中虚线为丝带），打蝴蝶结的部分需用丝带．
(1)用含、、的式子求出打好整个包装需用丝带总长度；
(2)若1米丝带费用为3元，求当，，时，（1）中丝带的总费用为多少元？
（2）解：当，，时，3x＋3y＋3z＝3×25＋3×14＋3×10＝147（cm）147cm＝1.47米，所需费用为1.47×3＝4.41元，答：丝带的总费用为4.41元．
与整式的加减有关的探索性问题
7
例14.观察下列各式：﹣a，a2，﹣a3，a4，﹣a5，a6，…
(1)写出第2014个和2015个单项式；
(2)写出第n个单项式．
解：由﹣a，a2，﹣a3，a4，﹣a5，a6，…
可得第n项的表达式为（﹣1）n，
所以第2014个单项式为，第2015个单项式为﹣．
(2)由单项式的特点可得第n个单项式为(﹣1)n．
例15.设n表示自然数，用关于n的整式表示出来.从2开始连续的偶数相加,它们和的情况如下表:
加数的个数n 和s
1 2=1×2
2 2+4=6=2×3
3 2+4+6=12=3×4
4 2+4+6+8=20=4×5
…… ……
与整式的加减有关的探索性问题
7
⑴s与n之间有什么关系？能否用一个关系式来表示？
【分析】观察上表,当n=1时,s=1×2,即第一个数字是1,第二个数字是2;当n=2时,s=2+4=6=2×3,第一个数字是2,第二个数字是3,依此类推,发现第一个数字是n,第二个数字比n大1.
解:⑴s与n的关系为s=n(n+1).
解：当n= =1002时,
s=1002×(1002+1)=1005006.
即2+4+6+8+……+2004=1005006.
⑵计算2+4+6+8+……+2004.
与整式的加减有关的探索性问题
7
例16.用黑白两种颜色的正六边形地面砖中力所示的规律，拼成若干图案．
(1)第1个图形中有白色地砖 块；第2个图形中有白色地砖 块；第3个图形中有白色地砖 块；第4个图形中有白色地砖 块；
（1）解：第1个图形中有白色地砖6块，即4×1+2=6；
第2个图形中有白色地砖10块，即4×2+2=10；
第3个图形中有白色地砖14块，即4×3+2=14．
第4个图形中有白色地砖4×4+2=18（块）；
与整式的加减有关的探索性问题
7
例16.用黑白两种颜色的正六边形地面砖中力所示的规律，拼成若干图案．
(2)求第n个图案中有白色地砖的块数，并求出n＝100时白色地砖的块数．
（2）解：根据（1）可知：
第n个图案中，白色地砖共（4n+2）块．
所以n=100时，白色地砖共
4×100+2=402（块）．
【7-1】观察下列一串单项式的特点： ， ， ， ， ，…
（1）写出第10个和第2020个单项式．
（2）写出第n个单项式．
解：（1）因为当n＝1时，xy，当n＝2时，﹣3x2y，当n＝3时，5x3y，当n＝4时，﹣7x4y，当n＝5时，9x5y，
所以第10个单项式是﹣(2×10﹣1) x10y，即﹣19x10y．
第2020个单项式是﹣(2×2020﹣1) x2020y，即﹣4039x2020y．
【7-1】观察下列一串单项式的特点： ， ， ， ， ，…
（1）写出第10个和第2020个单项式．
（2）写出第n个单项式．
解：（2）因为n为奇数时，单项式的系数为正数，n为偶数时，单项式的系数为负数．
所以符合可用(﹣1)n+1表示，
因为系数的数字部分是连续的奇数，
所以可用2n﹣1来表示，
又因为第n个单项式的x的指数为n，y的指数不变，还是1，
所以第n个单项式可表示为(﹣1)n+1(2n﹣1)xny．
【7-2】如图,文化广场上摆了一些桌子，若并排摆n张桌子,可同时容纳多少人 当n=20时，可同时容纳多少人
解: (1) 4×1+2，
(2) 4×2+2,
……
(n) 4n+2
当n=20时，4n+2=4×20+2
=82(人)
6052
【7-3】观察下列图形：它们是按一定规律排列的，依照此规律，第2017个图形中共有________个五角星．
【解析】可以发现每个图形的五角星个数都比前面一个图形的五角星个数多3个.由于第1个图形的五角星个数是3×1+1，所以第n个图形的五角星个数是3n+1,故第2017个图形五角星个数是3×2017+1=6052.
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