高中数学人教A版（2019）必修第一册 5.7三角函数的应用教案

5.7 三角函数的应用
1、三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题，二是把实际问题抽象转化成数学问题，建立数学模型，再利用三角函数的有关知识解决问题
2、利用搜集到的数据，先画出相应的“散点图”、观察散点图，然后进行函数拟合获得具体的函数模型，最后利用函数模型来解决相应的实际问题
题型一 模型求解
例 1　一半径为的水轮，水轮圆心距离水面2，已知水轮每分钟按逆时针方向转动3圈，当水轮上点从水中浮现时开始计时，即从图中点开始计算时间.将点距离水面的高度(单位：)表示为时间(单位：)的函数，则此函数表达式为（ ）
A． B．
C． D．
【答案】A
【分析】
由图可知将水轮放入平面直角坐标系中,由三角函数的定义即可得到结果.
【详解】
由图,,则,所以,
由水轮每分钟按逆时针方向转动3圈,可得,则,
设,
由题代入可得,
故选:A
如图，为了研究钟表与三角函数的关系，建立如图所示的坐标系，设秒针尖位置P(x，y).若初始位置为P0，当秒针从P0(注：此时t＝0)正常开始走时，那么点P的纵坐标y与时间t的函数关系式为（ ）
A．y＝sin B．y＝sin
C．y＝sin D．y＝sin
【答案】C
【分析】
根据题意，求得初相，再根据周期，即可判断选择.
【详解】
由题意可得，初始位置为P0，不妨设初相为，
故可得，，则.排除B、D.
又函数周期是60(秒)且秒针按顺时针旋转，即T＝＝60，
所以|ω|＝，即ω＝－.
故满足题意的函数解析式为：.
故选：.
题型二 实际应用
例 2　据市场调查，某种商品一年内每月的价格满足函数关系式：f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B，x为月份.已知3月份该商品的价格首次达到最高，为9万元，7月份该商品的价格首次达到最低，为5万元.
（1）求f(x)的解析式；
（2）求此商品的价格超过8万元的月份.
【答案】（1）f(x)＝2sin＋7；（2）2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元.
【分析】
（1）由最大值和最小值求得，由周期求得，再用最高点坐标代入可得，从而得解析式；
（2）解不等式2sin＋7>8中在上的整数解即得．
【详解】
解（1）由题意可知＝7－3＝4，∴T＝8，
∴ω＝.
又，∴，
即f(x)＝2sin＋7.(*)
又f(x)过点(3，9)，代入(*)式得2sin＋7＝9，
∴sin＝1，∴，k∈Z.
又|φ|<，∴φ＝－，
∴f(x)＝2sin＋7(1≤x≤12，x∈N*).
（2）令f(x)＝2sin＋7>8，
∴sin>，
∴，k∈Z，
可得＋8k又1≤x≤12，x∈N*，∴x＝2，3，4，10，11，12.
即2月份、3月份、4月份、10月份、11月份、12月份此商品的价格超过8万元.
某班级欲在半径为1米的圆形展板上做班级宣传，设计方案如下：用四根不计宽度的铜条将圆形展板分成如图所示的形状，其中正方形ABCD的中心在展板圆心，正方形内部用宣传画装饰，若铜条价格为10元/米，宣传画价格为20元/平方米，展板所需总费用为铜条的费用与宣传画的费用之和．
（1）设，将展板所需总费用表示成的函数；
（2）若班级预算为100元，试问上述设计方案是否会超出班级预算？
【答案】（1）；（2）上述设计方案是不会超出班级预算．
【分析】
（1）过点O作，垂足为H，用表示出OH和PH，从而可得铜条长度和正方形的面积，进而得出函数式；
（2）利用同角三角函数的关系和二次函数的性质求出预算的最大值即可得出结论．
【详解】
（1）过点O作，垂足为H，则，，
正方形ABCD的中心在展板圆心，铜条长为相等，每根铜条长，
，展板所需总费用为．
（2）
，当时等号成立.
上述设计方案是不会超出班级预算．
1、如图为一半径为的水轮，水轮圆心距水面，已知水轮每分钟转圈，水轮上的点到水面距离与时间满足关系式，则有（ ）
A．， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】
根据题意可得出的值，以及该函数的最小正周期，利用周期公式可求得的值，进而得出结论.
【详解】
由题意可知，可得，该函数的周期为，
.
故选：B.
2、（多选）水车在古代是进行灌溉引水的工具，亦称“水转简车”，是一种以水流作动力，取水灌田的工具.据史料记载，水车发明于隋而盛于唐，距今已有1000多年的历史，是人类的一项古老的发明，也是人类利用自然和改造自然的象征，如图是一个半径为的水车，一个水斗从点出发，沿圆周按逆时针方向匀速旋转，且旋转一周用时120秒.经过秒后，水斗旋转到点，设点的坐标为，其纵坐标满足（，，），则下列叙述正确的是（ ）.
A．
B．当时，函数单调递增
C．当时，的最大值为
D．当时，.
【答案】AD
【分析】
求出圆的半径，利用周期求出，通过三角函数的解析式求出初相，再利用正弦函数的性质判断求解即可．
【详解】
解：由题意，，，所以；
又点代入可得，解得；
又，所以．正确；
所以，当，时，，，所以函数先增后减，错误；
，时，点到轴的距离的最大值为6，错误；
当时，，的纵坐标为，横坐标为，所以，正确．
故选：．
3、如图所示，一个摩天轮半径为10m，轮子的底部在距离地面2m处，如果此摩天轮按逆时针转动，每300s转一圈，且当摩天轮上某人经过点P处(点P与摩天轮中心高度相同)时开始计时．
（1）求此人相对于地面的高度关于时间的关系式；
（2）在摩天轮转动的一圈内，大约有多长时间此人相对于地面的高度不小于17 m.
【答案】（1）h＝10sint＋12(t≥0)；（2）100s.
【分析】
（1）求出t s时，所转过的角度，然后由正弦函数性质可得；
（2）由（1）的解析式，解不等式即得．
【详解】
解：（1）设在t s时，摩天轮上某人在高h m处．这时此人所转过的角为 t＝ t，故在t s时，此人相对于地面的高度为h＝10t＋12(t≥0)．
（2）由10sint＋12≥17，得sint≥，
则25≤t≤125，125－25＝100．
故此人有100 s相对于地面的高度不小于17m.
4、交流电的电压（单位：）与时间（单位：）的关系可用来表示，求：
（1）开始时的电压；
（2）电压值重复出现一次的最短时间间隔；
（3）电压的最大值和第一次获得最大值的时间.
【答案】（1）（2）.（3）
【解析】
【分析】
(1)代入求解即可.
(2)电压值重复出现一次的最短时间间隔即为求解最小正周期.
(3)由题意令再求解即可.
【详解】
（1）当时,,即开始时的电压为.
（2）最小正周期,即时间间隔为.
（3）电压的最大值为,当时,,即第一次取得最大值的时间为第.
5、如图,游乐场中的摩天轮匀速转动,每转动一圈需要分钟,其中心距离地面米,半径为米,如果你从最低处登上摩天轮,那么你与地面的距离将随时间的变化而变化,以你登上摩天轮的时刻开始计时,请回答下列问题:
(1)求出你与地面的距离(米)与时间(分钟)的函数解析式.
(2)当你第次距离地面米时,用了多长时间
【答案】（1）（2）分钟.
【分析】
(1)由已知可设由周期为分钟可知,当时,摩天轮第次到达最高点,即此函数第次取得最大值,即可求得答案;
(2)设转第圈时,第分钟时距地面米,由,得,即可求得答案.
【详解】
(1)由已知可设,
由周期为分钟可知,当时,摩天轮第次到达最高点,
即此函数第次取得最大值,
,即.
所求的函数关系式为.
(2)设转第圈时,第分钟时距地面米,
由,
得,
或,
解得或,
时,第次距地面米,
故第次距离地面米时,用了(分钟).
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