高中数学人教A版（2019）必修第一册 2.2基本不等式

2.2 基本不等式
1、两类平均数
两个正数的算术平均数与几何平均数．设a，b是任意两个正数，称为a，b的算术平均数；称为a，b的几何平均数．
如：1和9的算术平均数是5，而1和9的几何平均数是3．
2、重要不等式
设a，b∈R，∵a2＋b2－2ab＝(a－b)2≥0，
∴a2＋b2≥2ab. 当且仅当a＝b时，等号成立．
3、基本不等式
设a，b是任意两个正数，那么≤.
当且仅当a＝b时，等号成立．基本不等式可叙述为：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数．
如果把看做是正数a，b的等差中项，看做是正数a，b的等比中项，那么基本不等式也可以叙述为：两个正数的等差中项不小于它们的等比中项．
基本不等式的几何意义是“半径不小于半弦”．
4、基本不等式的应用
已知x，y都是正数，
(1)如果积xy是定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2；
(2)如果和x＋y是定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2．
题型一　基本不等式求解
例 1 若x＞0，求f(x)＝＋3x的最小值
∵x＞0，由基本不等式得
f(x)＝＋3x≥2＝2＝12.
当且仅当3x＝，即x＝2时，
f(x)取最小值12.
1、函数的最小值为__________．
【答案】
2、若，则的最小值为（ ）
A．2 B．4 C．6 D．8
【答案】C
题型二　构造基本不等式
例 2 已知x＞2，求x＋的最小值．
∵x＞2，∴x－2＞0，
∴x＋＝x－2＋＋2≥
2＋2＝6.
当且仅当x－2＝，
即x＝4时，等号成立．
所以x＋的最小值为6.
1、若，则的最小值为（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
2、若，求的最小值.
【答案】3
题型三　“1”的妙用
例 3 已知正数满足,则的最小值是___________.
【答案】 ９
1、已知x＞0，y＞0，＋＝1，求2x＋3y的最小值．
2x＋3y＝1·＝(2x＋3y)＝
2＋＋＋18≥2＋2＋18＝2＋12＋18＝32，
当且仅当y＝2x时取等号，且＋＝1，
即x＝4，y＝8时成立，
∴2x＋3y的最小值为32.
2、已知，，且，则的最小值为________.
【答案】
题型四　最大值求解
例 4 已知，求的最大值
【答案】
1、已知．求的最大值；
【答案】（1）；
2、已知，求的最大值；
【解析】
题型五　基本不等式的实际应用
例 5 某公司印刷广告，广告正文排成矩形版面，其中矩形面积为，其左右两边都留有宽为的空白，其上、下两边都留有宽为的空白，问如何确定版面纸张的尺寸，才能使纸张的用量最少？
【答案】长为，宽为
1、如图所示，用总长为定值l的篱笆围成长方形的场地，以墙为一边，并用平行于一边的篱笆隔开.
（1）设场地面积为y，垂直于墙的边长为x，试用解析式将y表示成x的函数，并确定这个函数的定义域；
（2）怎样围才能使得场地的面积最大 最大面积是多少
【答案】（1）y=x(l 3x)；(0，)（2）当垂直于墙的边长为时，这块长方形场地的面积最大，最大面积为.
1、设，，若，则的最小值为__________．
【答案】16
2、正实数 满足：，则的最小值为_____.
【答案】9
3、已知a，b均为正数，，则的最小值为________．
【答案】
4、已知正实数，满足，则的最小值为（ ）
A．4 B．6 C．9 D．10
【答案】C
5、若正数x，y满足x+3y=5xy，则3x+4y的最小值是( )
A． B． C．5 D．6
【答案】C
6、已知，求的最大值.
【答案】1
7、若，，且，求的最小值．
【答案】
8、已知，满足，求的最小值．
【答案】（1）64；（2）
9、建造一个容积为立方米，深为米的无盖长方体蓄水池，池壁的造价为每平方米元，池底的造价为每平方米元.
（1）把总造价（元）表示为底面一边长（米）的函数；
（2）当为何值时，总造价最小，并求出最小值.
【答案】（1）（2）时，总造价最小，最小值为元.
10、合肥一中、六中为了加强交流，增进友谊，两校准备举行一场足球赛，由合肥一中版画社的同学设计一幅矩形宣传画，要求画面面积为，画面的上、下各留空白，左、右各留空白.
（1）如何设计画面的高与宽的尺寸，才能使宣传画所用纸张面积最小
（2）设画面的高与宽的比为，且，求为何值时，宣传画所用纸张面积最小
【答案】（1）画面的高，宽时所用纸张面积最小；（2）.
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