22.3.1 实际问题与二次函数（一）几何图形面积问题 课件（共26张PPT）

(共26张PPT)
九上数学同步优质课件
人教版九年级上册
实际问题与二次函数
（一）几何图形面积问题
第二十二章 二次函数
1.分析实际问题中变量之间的二次函数关系.（难点）
2.会运用二次函数求实际问题中的最大值或最小值.
3.能应用二次函数的性质解决图形中最大面积问题.（重点）
1.二次函数y=a(x-h)2+k的图象是一条______，它的对称轴是_______，顶点坐标是_______.
2.二次函数y=ax2+bx+c的图象是一条_______，它的对称轴是___________，顶点坐标是___________.当a＞0时，抛物线开口向___，有最___点，即当x=____时，y最小值=______；当a＜0时，抛物线开口向___，有最___点，即当x=____时，y最大值=_______.
抛物线
直线x=h
(h,k)
抛物线
直线
上
低
下
高
问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是 h=30t-5t2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
可以看出，这个函数图象是一条抛物线的一部分. 这条抛物线的顶点是这个函数的图像的最高点，也就是说，当t取顶点的横坐标时，这个函数有最大值.
【分析】可以借助函数图象解决这个问题，画出函数 h=30t-5t2(0≤t≤6).
解：由函数h=30t-5t2(0≤t≤6)的图象性质可知.
当t= = =3时，
h有最大值= = =45.
也就是说，小球运动时间是3s时，小球最高.小球运中的最大高度是45m.
问题：从地面竖直向上抛出一小球，小球的高度h（单位：m）与小球的运动时间t（单位：s）之间的关系式是 h=30t-5t2 （0≤t≤6）．小球的运动时间是多少时，小球最高？小球运动中的最大高度是多少？
用总长为60m的篱笆墙围成矩形场地，矩形面积S随矩形一边长l的变化而变化，当l是多少米时，场地的面积S最大？
解：矩形场地的周长是60m，一边长为lm，所以另一边长为(-l)m.
场地的面积
S=l(30-l) (0＜l＜30)
即 S=-l2+30l (0＜l＜30)
因为，a=-1＜0，所以，当 l=-=15时，S有最大值 =225.
也就是说，当l是15m时，场地的面积S最大.
如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长32m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
2.我们可以设面积为S，如何设自变量？
3.面积S的函数关系式是什么？
1.变式1与例题有什么不同？
S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x.
设垂直于墙的边长为x米
x
x
60-2x
32
4.如何求解自变量x的取值范围？墙长32m对此题有什么作用？
5.如何求最值？
最值在其顶点处，即当x=15m时，S=450m2.
0＜60－2x≤32，即14≤x＜30.
S＝x(60－2x)＝－2x2＋60x(14≤x＜30)
32
如图，用一段长为60m的篱笆围成一个一边靠墙的矩形菜园，墙长18m，这个矩形的长、宽各为多少时，菜园的面积最大，最大面积是多少？
x
1.变式2与变式1有什么异同？
2.可否模仿变式1设未知数、列函数关系式？
3.可否试设与墙平行的一边为x米？则如何表示另一边与面积？
解：设矩形面积为Sm2,与墙平行的一边为x米，则
18
4.当x=30时，S取最大值，此结论是否正确？
5.如何求自变量的取值范围？
0＜x≤18.
6.如何求最值？
由于30＞18，因此只能利用函数的增减性求其最值.当x=18时，S有最大值是378.
不正确.
变式练习
18
【点睛】实际问题中求解二次函数最值问题，不一定都取图象顶点处，要根据自变量的取值范围.通过变式1与变式2的对比，希望同学们能够理解函数图象的顶点、端点与最值的关系，以及何时取顶点处、何时取端点处才有符合实际的最值.
二次函数解决几何面积最值问题的方法
1.求出函数解析式和自变量的取值范围；
2.配方变形，或利用公式求它的最大值或最小值,
3.检查求得的最大值或最小值对应的自变量的值必须在自变量的取值范围内.
例1.某社区委员会决定把一块长40m，宽30m的矩形空地改建成健身广场；设计图如图所示，矩形四周修建4个全等的长方形花坛，花坛的长比宽多5米，其余部分修建健身活动区，设花坛的长为xm(6≤x≤10)，健身活动区域的面积为Sm2．
(1)求出S与x之间的函数关系式；
(2)求健身活动区域的面积S的最大值．
解：(1)由题意解得：
；
例1.某社区委员会决定把一块长40m，宽30m的矩形空地改建成健身广场；设计图如图所示，矩形四周修建4个全等的长方形花坛，花坛的长比宽多5米，其余部分修建健身活动区，设花坛的长为xm(6≤x≤10)，健身活动区域的面积为Sm2．
(1)求出S与x之间的函数关系式；
(2)求健身活动区域的面积S的最大值．
解：(2)
，
∵，抛物线开口向下，对称轴为，
∴当时，S随x的增大而减小，
∴当时，S有最大值，最大值为1176，
答：活动区域面积S的最大值为．
例2.在矩形ABCD中，AB=6cm,BC=12cm,点P从点A出发，沿AB向点B以1cm/s的速度移动，同时点Q从点B出发沿BC边向C以2cm/s的速度移动，如果PQ两点分别到达B、C两点停止移动.
(1)设运动开始后第ts时，五边形APQCD的面积为Scm2，写.出S与t的函数关系式，并指出自变量t的取值范围;
(2)t为何值时，S最小，求出S最小值.
解:(1)∵ts后，PB=6-t，BQ=2t
∴S=S矩形ABCD-S△PBQ=6×12-×(6-t)×2t
即S=t2-6t+72=(t-3)2+63(0(2)∵a=1>0
∴当t=3时，S最小=63cm2.
例3.某建筑物的窗户如图所示，它的上半部是半圆，下半部是矩形，制造窗框的材料总长(图中所有的黑线的长度和)为16m.求出y与x的关系式;当x等于多少时，窗户通过的光线最多 此时，窗户的面积S是多少
解:∵4y+6x+πx=16
∴y=
∴S=2xy+πx2=2x()+πx2=-3x2+8x
∵a=-3<0
∴当x=-=m时，S光线最多==m2
1.二次函数y=-(x+1)2+2的最大值是( )
A.2 B.1 C.-1 D.-2
2.已知0≤x≤，那么函数y=-2x2+8x-6的最大值是( )
A.-6 B.2 C.- D.不能确定
3.把一段长1.6米的铁丝围成长方形ABCD， 设宽为x,面积为y.则当y最大时，x所取的值是( )
A.0.5 B.0.4 C.0.3 D.0.6
A
C
B
4.如图，正方形ABCD的边长为1，E、F、G、H盼别为各边上的点，且AE=BF=
CG=DH,设小正方形EFGH的面积为S,AE为x，则S关于x的函数图象大致是( )
B
5.函数y=x2-x+1的最小值是_____.
6.如图，用长12m的铝合金条制成一个中间有横档的矩形窗框，为使窗户的透光面积最大(忽略窗框的宽度),则AD长为_____m.
7.如图，矩形纸片ABCD中，AD=16cm，AB=10cm，将该矩形纸片沿垂直于BC的三条虚线折成一个上下无盖的长方体纸筒，则该纸筒的最大容积为_____cm3.
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2
160
8.已知直角三角形两条直角边的和等于8，两条直角边各为多少时，这个直角三角形的面积最大，最大值是多少？
解：设直角三角形的一边为x，则另一边为(8-x)，面积为y.
则y与x的函数关系式为
y=x(8-x)(0＜x＜8) 即y=-x2+4x(0＜x＜8)
∵a=-＜0，
∴ 当x=-=4时，y最大=8.
答：当两条直角边都为4时，这个直角三角形的面积最大，最大值为8.
9.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，点P移动到B点后停止，点Q也随之停止运动，设P、Q从点A、B同时出发，运动时间为ts，四边形APQC的面积是S
(1)试写出S与t之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围；
(2)若S是21cm2时，确定t值；
(3)t为何值时，S有最大（或最小）值，求出这个最值．
解：（1）∵在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，∴运动ts时，AP=2t，BP=8－2t，BQ=t∴S=S△ABC－S△PBQ=×AB×CB－×PB×QB
=×8×6－×（8－2t）×t=t2－4t+24（0≤t≤4）
9.如图，在△ABC中，∠ABC＝90°，AB＝8cm，BC＝6cm，动点P，Q分别从点A，B同时开始移动（移动方向如图所示），点P的速度为2cm/s，点Q的速度为1cm/s，点P移动到B点后停止，点Q也随之停止运动，设P、Q从点A、B同时出发，运动时间为ts，四边形APQC的面积是S
(1)试写出S与t之间的函数关系式，并确定自变量的取值范围；
(2)若S是21cm2时，确定t值；
(3)t为何值时，S有最大（或最小）值，求出这个最值．
解：（2）当S=21时，则t2－4t+24=21，
解得t=1或t=3
（3）∵S=t2－4t+24=(t-2)2+20，
∴当t=2时，S有最小值20
几何面积最值问题
一个关键
一个注意
建立函数关系式
常见几何图形的面积公式
依 据
最值有时不在顶点处，则要利用函数的增减性来确定
谢谢
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