数学人教A版（2019）选择性必修第一册3.3.2抛物线的简单几何性质（共21张ppt）

(共21张PPT)
第一章
3.3.2 抛物线的简单几何性质
抛物线
3.3
1.了解抛物线的简单几何性质.
2.能运用抛物线的几何性质解决相关问题.
3.掌握直线与抛物线的位置关系,并会用方程思想解决此类问题.
核心素养：数学抽象、数学运算
学习目标
1.抛物线的定义
平面内与一个定点F和一条直线l (l不经过点F)的距离相等的点的轨迹叫做抛物线.
点F叫做抛物线的焦点,直线l叫做抛物线的准线.
2.抛物线的标准方程
焦点坐标是,它的准线方程是
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新知学习
类比用方程研究椭圆、双曲线几何性质的过程与方法，你认为应研究抛物线 的哪些几何性质？如何研究这些性质？
1.范围
抛物线在轴的右侧（包括原点），开口向右，这条抛物线上的任意一点的横坐标满足不等式；当x 的值增大时，也增大，这说明抛物线向右上方和右下方无限延伸．
.
M (x, y)
抛物线是无界曲线．
探究新知
2.对称性
观察图象，不难发现，关于轴对称.
我们把抛物线的对称轴叫做抛物线的轴．
注：抛物线只有一条对称轴，没有对称中心．
探究新知
3.顶点
抛物线和它轴的交点叫做抛物线的顶点.
抛物线的顶点就是原点O，坐标是 (0, 0) ．
4.离心率
抛物线上的点M 到焦点的距离和它到准线的距离的比，叫做抛物线的离心率.
用 e 表示，e = 1．
5.焦半径
连接焦点与抛物线上的点的线段叫做抛物线的焦半径.
x
O
y
F
P
(x0, y0)
6.通径
通过焦点且垂直对称轴的直线，与抛物线相交于两点，连接这两点的线段叫做抛物线的通径.
通径的长度为____,
这就是抛物线方程中的几何意义.
由通径的定义我们还可以看出，p 刻画了抛物线开口的大小，
p 值越大，开口越宽；p 值越小，开口越窄．
探究新知
图 形 方程 焦点 准线 范围 顶点 对称轴 e
y2 = 2px
（p>0）
y2 = -2px
（p>0）
x2 = 2py
（p>0）
x2 = -2py
（p>0）
x≥0
y∈R
x≤0
y∈R
y≥0
x∈R
y ≤ 0
x∈R
(0,0)
x轴
y轴
1
探究新知 四种抛物线的几何性质的对比
1.抛物线只位于半个坐标平面内,虽然它可以无限延伸,但它没有渐近线;
2.抛物线只有一条对称轴,没有对称中心;
3.抛物线只有一个顶点、一个焦点、一条准线;
4.抛物线的离心率是确定的,为1;
5.抛物线标准方程中的p对抛物线开口的影响.
越大,开口越开阔
解惑提高 四种抛物线的几何性质的特点
例1 已知抛物线关于x轴对称，它的顶点在坐标原点，并且经过点M(2, 2)，求它的标准方程．
解：由已知可设抛物线的标准方程为y2=2px（p>0）
因此所求方程为：y2=4x
变式：顶点在坐标原点,对称轴是坐标轴,并且过点M(2, 2 )的抛物线有几条,求它的标准方程,
y2=4x或x2=y
解惑提高 当焦点在x轴上,开口方向不定时,设为y2=2mx(m ≠0),
当焦点在y轴上,开口方向不定时,设为x2=2my (m≠0),可避免讨论.
则将M点代入得解得：p=2
典例剖析
求适合下列条件的抛物线的标准方程：
（1）关于x轴对称，并且经过点M(5,-4)；
（2）关于y轴对称，准线经过点E(5,-5)；
（3）准线在y轴右侧，顶点到准线的距离是4；
（4）焦点F在y轴负半轴上，经过横坐标为16的点P，且FP平行于准线.
x
x
即时巩固
例2 斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长．
典例剖析
解：方法二：设A(,),B(,),
直线l的为抛物线方程，得
x2-6x+1=0
∴+=6,=1
=8.
(x1, y1)
(x2, y2)
典例剖析
例2 斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长．
典例剖析
例2 斜率为1的直线经过抛物线 y2=4x的焦点F，且与抛物线相交于两点A、B，求焦点弦长AB的长．
解：方法三：由题意可知，，，焦点F的坐标为（1，0），准线方程为.
如图，设，，A，B两点到准线的距离分别为dA，dB.
由抛物线的定义，可知，，
.
因为直线的斜率为1，且过焦点，
所以直线的方程为. ①
将①代入方程，得，化简，得.
所以，.所以，线段AB的长是8.
7.弦长公式
直线l:y=kx+b与抛物线C相交于A(,), B(,)两点，则
8.焦点弦长公式
经过抛物线焦点的直线与抛物线交于A, B两点，则称弦AB为抛物线的焦点弦.
设过抛物线 y2 = 2px (p＞0) 焦点的直线交抛物线于A，B两点，
设 A (x1, y1) ，B (x2, y2) ，则
焦点弦|AB|＝ (x1＋x2) ＋ p
(x1, y1)
(x2, y2)
解惑提高
过点M(2,0)作斜率为1的直线l，交抛物线y2=4x于两点A、B，求焦点，求|AB|．
解：设A(,),B(,),
直线l为抛物线方程，得x2-8x+4=0，
∴+=8,=4
.
即时巩固
随堂小测
D
C
C
C
1.掌握抛物线的几何性质:
范围、对称性、顶点、离心率、焦半径、通径;
2.会利用抛物线的几何性质求抛物线的标准方程、焦点坐标及解决其它问题.
课堂小结
谢 谢！