山西师大附属实高2022-2023学年高二上学期9月开学考试
数学试题 解析版
一、单选题 (每小题 3 分， 共 36 分)
1. 已知集合 ， 则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由交集的定义即可得出答案.
【详解】因为，
则 .
故选：B.
2. 已知复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. 1 D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用复数概念、复数的四则运算求解.
【详解】，
所以的虚部为-1.故A，B，C错误.
故选：D.
3. 连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（ ）
A. 只有2次出现反面 B. 至多2次出现正面
C. 有2次或3次出现正面 D. 有0次或1次出现正面
【答案】D
【解析】
【分析】根据连续抛掷一枚硬币3次，“至少2次出现正面”即有2次或3次出现正面，即可知其对立事件至多出现一次正面，可得答案.
【详解】连续抛掷一枚硬币3次，“至少2次出现正面”即有2次或3次出现正面，
对立事件为有0次或1次出现正面，
故选:D.
4. 命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
【答案】C
【解析】
【分析】由全称命题的否定即可选出答案.
【详解】命题“，”的否定是 “，”
故选：C.
5. 设顶角为等腰三角形为最美三角形，已知最美三角形顶角的余弦值为，则最美三角形底角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】先求出底角为，然后利用余弦的二倍角公式求解即可
【详解】由题意得，底角为，
则．
故选：B
6. 已知 表示不同的点， 表示直线， 表示不同的平面， 则下列推理中错误的是（ ）
A.
B.
C. 直线 与直线是异面直线
D.
【答案】C
【解析】
【分析】根据点、线、面的位置关系，结合公理1和公理3逐一对A、B、C、D四个选项作出判断即可.
【详解】对A，利用公理1：如果一条直线上的两点在一个平面内，则这条直线上的所有点都在这个平面内，故A正确；
对B，根据公理3：如果两个平面有一个公共点，那么它们还有其它公共点，这些公点的集合是一条过该点的公共直线，故B正确；
对C，直线与点，则不能判断直线与直线的位置关系，故C不正确；
对D，直线l与平面内有公共点A，又，则直线与平面只能相交，故D正确.
故选：C
7. 已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】建立如图所示的坐标系，根据可求其最大值.
【详解】以为原点建系，，
，即，故圆的半径为，
∴圆，设中点为，
，
，∴，
故选：D.
8. 关于用统计方法获取数据，分析数据，下列结论错误的是（ ）
A. 某食品加工企业为了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查
B. 为了解高一学生的视力情况，现有高一男生480人，女生420人，按性别进行分层抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为63，则样本容量为135
C. 若甲 乙两组数据的标准差满足则可以估计乙比甲更稳定
D. 若数据的平均数为，则数据的平均数为
【答案】C
【解析】
【分析】对于A，根据普查的适用情形即可求解；
对于B，根据分层抽样的抽样比即可求解；
对于C，根据标准差的含义即可求解；
对于D，根据平均数的公式即可求解.
【详解】对于A，了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查，故A正确；
对于B，根据分层抽样抽样比可知，样本容量为，故B正确；
对于C，因为，所以甲的数据更稳定，故C不正确；
对于D，因为数据的平均数为，
所以，
所以数据的平均数为
，故D正确.
故选：C.
9. 声强级 (单位: ) 由公式 给出， 其中 为声强 (单位: ). 某班级为规范同学在公共场所说话的文明礼仪， 开展了 “不敢高声语， 恐惊读书人” 主题活动， 要求课下同学之间交流时， 每人的声强级不超过 . 现已知 3 位同学课间交流时， 每人的声强分别为 ， 则这 3 人中达到班级要求的人数为（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 3
【答案】C
【解析】
【分析】根据所给声强级公式计算声强级不超过40dB的声强，即可求解.
【详解】依题意，，
∴，
故声强为，的两人达到要求，
故选：C
10. 已知函数 是定义域为 的偶函数， 且 ， 若 在 上是单调递减的， 那么 在 上是（ ）
A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先增后减 D. 先减后增
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数奇偶性可判断函数在上单调递增，结合即可判断答案.
【详解】由函数是定义域为的偶函数，在上是单调递减的，
可知在上单调递增，
又，即2为函数的一个周期，
故在上单调递增，
故选：A
11. 筒车是我国古代发明的一种灌溉工具， 因其经济又环保， 至今还在农业生产中得到使用 (图 1)， 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理 (图 2).现有一个半径为 3 米的筒车按逆时针方向每分钟旋转 1 圈， 筒车的轴心距离水面的高度为 2 米， 设筒车上的某个盛水筒 到水面的距离为 (单位: 米) (在水面下则 为负数)， 若以盛水筒 刚浮出水面为初始时刻， 经过 秒后， 下列命题正确的是（ ）(参考数据: )
①， 其中， 且 ，
②， 其中， 且 ，
③当 时， 盛水筒再次进入水中，
④当 时， 盛水筒到达最高点.
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④
【答案】C
【解析】
【分析】根据题意作出示意图，如图所示，其中为筒车的轴心的位置，为水面，过作于点，为筒车经过秒后的位置，连接，过作于点，首先根据已知条件求出，进而得出，，即可判断①②，将代入求得的解析式可判断③，将代入求得的解析式可判断④.
【详解】根据题意作出示意图，如图所示，其中为筒车的轴心的位置，为水面，过作于点，为筒车经过秒后的位置，连接，过作于点，筒车的角速度为，
由题意可知，，
所以,
所以，
因为，
所以，其中， 且 ，所以①错误，②正确，
对于③，当时，，，，所以，故盛水筒没有进入水中，所以③错误，
对于④，当时，，，即，所以，所以盛水筒到达最高点，所以④正确，
故选：C
12. 地球环境科学亚欧合作组织在某地举办地球环境科学峰会， 为表彰为保护地球环境做出卓越贡献的地球科研卫士， 会议组织方特别制作了富有地球寓意的精美奖杯， 奖杯主体由一个铜球和一个三足托盘组成， 如图(1)， 已知球的表面积为 ， 底座由边长为 4 的正三角形铜片 沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得， 如图(2)， 则下列 结论正确的个数是（ ）
（1）直线 与平面 所成的角为
（2）底座多面体 的体积为
（3）平面 平面
（4）球面上的点距离球托底面 的最小距离为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
【答案】B
【解析】
【分析】根据图形的形成可知，三点在底面上的投影分别是三边中点，，，由平面可得就是直线与平面所成的角，即可判断（1）；多面体的体积为直三棱柱体积减去三个相同的三棱锥，利用几何体的体积公式计算，可判断（2）；利用面面平行的判定定理证明平面平面，可判断（3）；由已知可得球的半径，计算球心到平面的距离，即可判断（4）.
【详解】解：根据图形的形成可知，三点在底面上的投影分别是三边中点，，，如图所示，
对于（1），平面，∴就是直线与平面所成的角，
是等边三角形，∴，（1）正确；
对于（2），将几何体补全为直三棱柱，如下图示，
∴多面体的体积为直三棱柱体积减去三个相同的三棱锥，
∴由下图知：，
故（2）正确；
对于（3），因为且，故四边形为平行四边形，故，
因为、分别为、的中点，则，故，
∵平面，平面，∴平面，
∵，平面，平面，∴平面，
∵，所以，平面平面，
因为过直线有且只有一个平面与平面平行，显然平面与平面不重合，
故平面与平面不平行，故（3）错误；
对于（4），由上面讨论知，设是球心，球半径为，
由得，则是正四面体，棱长为1，
设是的中心，则平面，又平面，
所以，，则，又.
所以球离球托底面的最小距离为，（4）错误.
故选：B.
二、填空题（每小题 4 分， 共 16 分）
13. 已知平面向量，，若，则________．
【答案】
【解析】
【分析】根据求出的值，再根据模长的坐标公式求解即可.
【详解】因为，所以.
所以，所以.
故答案为：
14. 已知样本，，，…，方差，则样本，，，…，方差______．
【答案】18
【解析】
【分析】根据方差的性质：当数据都加上一个数时，方差不变，都乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍，即可得出答案．
【详解】解：因为样本，，，…，方差，方差的性质：当数据都加上一个数时，方差不变，都乘以一个数时，方差变成这个数的平方倍，
所以样本，，，…，的方差为，
故答案为：18.
15. 某海轮以海里/时的速度航行，在点测得海面上油井在南偏东方向上，向北航行分钟后到达点，测得油井在点的南偏东方向上，海轮改为北偏东的航向再行驶分钟到达点，则、间的距离为______海里．
【答案】
【解析】
【分析】根据题意，画出草图，在中由正弦定理解出，在中，根据勾股定理求得.
【详解】如图，在中，（海里），
，,
由，得，
解得海里．
在中，（海里），
由已知得，
所以（海里）,
所以、间的距离为海里．
故答案为：.
16. 六氟化硫是一种无机化合物，化学式为，常温常压下为无色无臭无毒不燃的稳定气体，密度约为空气密度的5倍，是强电负性气体，广泛用于超高压和特高压电力系统．六氟化硫分子结构呈正八面体排布（8个面都是正三角形）．若此正八面体的表面积为，则该正八面体的内切球的体积为______．
【答案】
【解析】
【分析】先由正八面体的结构特征求出内切球半径，求出a＝4，即可求出正八面体的体积.
【详解】解：设该正八面体的棱长为a，则，解得a＝4．
故内切球圆心O到各顶点的距离为．
故在正三棱锥O－ABC中，，
故．
由正八面体的结构特征可得的长为内切球半径.
所以该正八面体的内切球体积为．
故答案为：.
三. 解答题（每小题 12 分， 共 48 分）
17. 在中，设角，，的对边分别为，，．已知向量，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
【答案】（1）；
（2）．
【解析】
【分析】（1）根据平面向量数量积的坐标表示即可解出；
（2）由正弦定理先求出的关系，再由余弦定理即可解出，最后根据三角形的面积公式即可解出
【小问1详解】
由可得，，所以，而，所以．
【小问2详解】
由得，而，即，解得，所以，故的面积为．
18. 已知函数，且函数图像中相邻两条对称轴间的距离为.
（1）求的值及函数的单调递增区间；
（2）当时，求函数的最值，并写出相应的自变量的取值.
【答案】（1），单调递增区间为
（2）时，取最小值；时，取最大值2
【解析】
【分析】（1）先由题意求出，再由解出即可求解；
（2）由可得，结合函数的图像求解即可.
【小问1详解】
因为函数图像中相邻两条对称轴间的距离为，
所以，
所以，即，
所以，
由，
得，
所以的单调递增区间为.
【小问2详解】
因为，
所以，
所以，
所以，，
所以即时，取最小值；
即时，取最大值.
19. 为了解市民对疫苗接种工作的满意度，从本市居民中随机抽取若干居民进行评分（满分100分），根据调查数据制成表格和频率分布直方图（如下图所示），已知评分在的居民有300人.
满意度评分
满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意
（1）求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；
（2）根据所给数据，估计样本的中位数（保留小数点后一位）；
（3）定义满意度指数（满意程度的平均分）/100，若，则疫苗接种工作需要进行调整，否则不需要调整，根据所学知识判断该市疫苗接种工作是否需要进行调整？
【答案】（1），1200人
（2）82.9 （3）不需要进行调整.
【解析】
【分析】（1）由频率分布直方图的面积和为1可求得，由的居民有300人，结合频率分布直方图的频率可求得所调查的总人数；
（2）根据小于中位数的频率和为0.5计算中位数即可；
（3）根据所给计算公式，结合频率分布直方图数据直接计算即可.
【小问1详解】
由频率分布直方图知，即，解得，
设总共调查人，则，解得.
即调查的总人数为1200人.
【小问2详解】
由频率分布直方图得：
的频率为：，
的频率为，
设样本的中位数为，则，解得.
所以样本的中位数约为82.9.
【小问3详解】
由频率分布直方图知各段的频率分别为：0.02，0.04，0.14，0.20，0.35，0.25，
∴，
∴该市疫苗接种工作不需要进行调整.
20. 如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）．
（1）证明：平面平面；
（2）是否存在点，使得二面角的正切值为？若存在，确定点位置；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）见解析 （2）存在，为的中点，
【解析】
【分析】（1）由已知可得平面，则，则有平面，所以，而，所以平面，再由面面垂直的判定定理可证得结论，
（2）假设存在点满足题意，过作于，过作于，连接，可证得为二面角的平面角，不妨设，则，则由∽，可得，再由可求出的值，从而可确定出点的位置
小问1详解】
证明：因为，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，
所以平面，
因为平面，
所以，
因为，所以,
因为，
所以平面，
因为平面，
所以平面平面，
【小问2详解】
假设存在点满足题意，如图，过作于，
因为，所以∥，
由（1）知平面，所以平面，
因为平面，所以，
过作于，连接，
因为，所以平面，
因为平面，所以，
所以为二面角的平面角，
不妨设，则，
在中，设，
因为∽，
所以，
所以，得，
所以，解得，
即此时为中点，
综上，存在点，使得二面角的正切值为，此时为的中点，
【点睛】关键点点睛：此题考查面面垂直的判定，考查二面角的求法，解题的关键是通过过作于，过作于，连接，结合已知条件证明出为二面角的平面角，再根据题意求解，考查数形结合的思想，属于较难题山西师大附属实高2022-2023学年高二上学期9月开学考试
数学试题 原卷版
一、单选题 (每小题 3 分， 共 36 分)
1. 已知集合 ， 则 （ ）
A. B. C. D.
2. 已知复数满足，则的虚部为（ ）
A. B. C. 1 D.
3. 连续抛掷一枚硬币3次，观察正面出现的情况，事件“至少2次出现正面”的对立事件是（ ）
A. 只有2次出现反面 B. 至多2次出现正面
C. 有2次或3次出现正面 D. 有0次或1次出现正面
4. 命题“，”的否定是（ ）
A. ， B. ，
C. ， D. ，
5. 设顶角为的等腰三角形为最美三角形，已知最美三角形顶角的余弦值为，则最美三角形底角的余弦值为（ ）
A. B. C. D.
6. 已知 表示不同点， 表示直线， 表示不同的平面， 则下列推理中错误的是（ ）
A.
B.
C. 直线 与直线是异面直线
D.
7. 已知直角三角形ABC中，，AB=2，AC=4，点P在以A为圆心且与边BC相切的圆上，则的最大值为（ ）
A. B. C. D.
8. 关于用统计方法获取数据，分析数据，下列结论错误的是（ ）
A. 某食品加工企业为了解生产的产品是否合格，合理的调查方式为抽样调查
B. 为了解高一学生的视力情况，现有高一男生480人，女生420人，按性别进行分层抽样，样本量按比例分配，若从女生中抽取的样本量为63，则样本容量为135
C. 若甲 乙两组数据标准差满足则可以估计乙比甲更稳定
D. 若数据的平均数为，则数据的平均数为
9. 声强级 (单位: ) 由公式 给出， 其中 为声强 (单位: ). 某班级为规范同学在公共场所说话文明礼仪， 开展了 “不敢高声语， 恐惊读书人” 主题活动， 要求课下同学之间交流时， 每人的声强级不超过 . 现已知 3 位同学课间交流时， 每人的声强分别为 ， 则这 3 人中达到班级要求的人数为（ ）
A. 0 B. 1 C. D. 3
10. 已知函数 是定义域为 的偶函数， 且 ， 若 在 上是单调递减的， 那么 在 上是（ ）
A. 单调递增 B. 单调递减 C. 先增后减 D. 先减后增
11. 筒车是我国古代发明的一种灌溉工具， 因其经济又环保， 至今还在农业生产中得到使用 (图 1)， 明朝科学家徐光启在《农政全书》中用图画描绘了筒车的工作原理 (图 2).现有一个半径为 3 米的筒车按逆时针方向每分钟旋转 1 圈， 筒车的轴心距离水面的高度为 2 米， 设筒车上的某个盛水筒 到水面的距离为 (单位: 米) (在水面下则 为负数)， 若以盛水筒 刚浮出水面为初始时刻， 经过 秒后， 下列命题正确的是（ ）(参考数据: )
①， 其中， 且 ，
②， 其中， 且 ，
③当 时， 盛水筒再次进入水中，
④当 时， 盛水筒到达最高点.
A. ①③ B. ②③ C. ②④ D. ①④
12. 地球环境科学亚欧合作组织在某地举办地球环境科学峰会， 为表彰为保护地球环境做出卓越贡献的地球科研卫士， 会议组织方特别制作了富有地球寓意的精美奖杯， 奖杯主体由一个铜球和一个三足托盘组成， 如图(1)， 已知球的表面积为 ， 底座由边长为 4 的正三角形铜片 沿各边中点的连线垂直向上折叠成直二面角所得， 如图(2)， 则下列 结论正确的个数是（ ）
（1）直线 与平面 所成的角为
（2）底座多面体 的体积为
（3）平面 平面
（4）球面上的点距离球托底面 的最小距离为
A. 1 B. 2 C. 3 D. 4
二、填空题（每小题 4 分， 共 16 分）
13. 已知平面向量，，若，则________．
14. 已知样本，，，…，方差，则样本，，，…，方差______．
15. 某海轮以海里/时的速度航行，在点测得海面上油井在南偏东方向上，向北航行分钟后到达点，测得油井在点的南偏东方向上，海轮改为北偏东的航向再行驶分钟到达点，则、间的距离为______海里．
16. 六氟化硫是一种无机化合物，化学式为，常温常压下为无色无臭无毒不燃稳定气体，密度约为空气密度的5倍，是强电负性气体，广泛用于超高压和特高压电力系统．六氟化硫分子结构呈正八面体排布（8个面都是正三角形）．若此正八面体的表面积为，则该正八面体的内切球的体积为______．
三. 解答题（每小题 12 分， 共 48 分）
17. 在中，设角，，的对边分别为，，．已知向量，，且．
（1）求角的大小；
（2）若，，求的面积．
18. 已知函数，且函数图像中相邻两条对称轴间的距离为.
（1）求的值及函数的单调递增区间；
（2）当时，求函数的最值，并写出相应的自变量的取值.
19. 为了解市民对疫苗接种工作的满意度，从本市居民中随机抽取若干居民进行评分（满分100分），根据调查数据制成表格和频率分布直方图（如下图所示），已知评分在的居民有300人.
满意度评分
满意度等级 不满意 基本满意 满意 非常满意
（1）求频率分布直方图中a的值及所调查的总人数；
（2）根据所给数据，估计样本的中位数（保留小数点后一位）；
（3）定义满意度指数（满意程度的平均分）/100，若，则疫苗接种工作需要进行调整，否则不需要调整，根据所学知识判断该市疫苗接种工作是否需要进行调整？
20. 如图，在直角梯形中，，，，为的中点，沿将折起，使得点到点的位置，且，为的中点，是上的动点（与点，不重合）．
（1）证明：平面平面；
（2）是否存在点，使得二面角的正切值为？若存在，确定点位置；若不存在，请说明理由．
