上海市宝山区重点中学2023届高三上学期9月开学考试
数学试卷 原卷版
一、填空题
1. 不等式的解集为________
2. 已知是虚数单位，复数满足，则__________．
3. 若函数对任意实数x都有，则______
4. 若圆柱的轴截面面积为，则它的侧面积为________．
5. 若直线与曲线（参数）有唯一的公共点，则实数______________．
6. 在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为，则所有项的系数和等于______
7. 若方程恰有两个不同实数根，则实数a的取值范围是______
8. 若随机事件、互斥，、发生概率均不等于0，且分别为，，则实数a的取值范围为_____．
9. 如果，那么共有_________项.
10. 在平面坐标系中,动点和点 满足,则动点的轨迹方程为______.
11. 已知是、是单位向量，，若向量满足，则的最大值为______
12. 数列满足，，，则数列前项和______；
二、选择题
13. 已知双曲线的焦距为，点在的一条渐近线上，则的方程为（ ）
A B. C. D.
14. 设、是定点，且均不在平面上,动点在平面上,且，则点的轨迹为
A. 圆或椭圆 B. 抛物线或双曲线 C. 椭圆或双曲线 D. 以上均有可能
15. 已知数列满足，（），则（ ）
A B. C. D.
16. 设为两个非零向量的夹角，已知对任意实数t，的最小值为1．（ ）
A. 若确定，则唯一确定 B. 若确定，则唯一确定
C. 若确定，则唯一确定 D. 若确定，则唯一确定
三、解答题
17. 在棱长为2的正方体中，M为CD的中点，求：
（1）异面直线与所成角的大小；
（2）△绕直线旋转一周所得的旋转体的体积．
18. 对定义域分别为、的函数、，规定：
函数.
（1）若函数，，写出函数的解析式；
（2）求问题(1)中函数的值域．
19. 某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会．摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球红、黄、黑、白顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球．按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．
（1）求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率；
（2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．
20. 已知椭圆经过点，且其右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
（3）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，试证明：直线过定点．
21. 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn等差数列．
（1）判断数列{an}是否为等比数列？若是，写出通项公式，若不是，请说明理由；
（2）若bn＝﹣2log2an，设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn；
（3）若不等式Tn≤m2﹣m﹣1对一切正整n恒成立，求实数m的取值范围．上海市宝山区重点中学2023届高三上学期9月开学考试
数学试卷 解析版
一、填空题
1. 不等式的解集为________
【答案】
【解析】
【详解】因为所以，
即不等式的解集为.
2. 已知是虚数单位，复数满足，则__________．
【答案】.
【解析】
【详解】∵
∴
∴
故答案为
点睛：复数的乘法．复数的乘法类似于多项式的四则运算，可将含有虚数单位的看作一类同类项，不含的看作另一类同类项，分别合并即可．复数的除法．除法的关键是分子分母同乘以分母的共轭复数，解题中要注意把的幂写成最简形式．
3. 若函数对任意实数x都有，则______
【答案】
【解析】
【分析】根据题意得到是函数的一条对称轴，结合三角函数的图象与性质，即可求解.
【详解】由题意，函数对任意实数x都有，
可得是函数的一条对称轴，
根据三角函数的图象与性质，可得.
故答案为：.
4. 若圆柱的轴截面面积为，则它的侧面积为________．
【答案】
【解析】
【分析】设出圆柱的底面半径和母线长，由此根据圆柱的轴截面面积，求得它的侧面积.
【详解】设圆柱的底面半径为，母线长为，依题意可知，故其侧面积为.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查圆柱侧面积的计算，属于基础题.
5. 若直线与曲线（参数）有唯一的公共点，则实数______________．
【答案】
【解析】
【分析】把圆的参数方程化为普通方程后，找出圆心坐标和圆的半径，根据直线与圆有唯一的公共点得到直线与圆相切，利用点到直线的距离公式表示出圆心到已知直线的距离d，让d等于圆的半径列出关于k的方程，求出方程的解即可得到k的值．
【详解】曲线（参数）化为普通方程可得：.
表示圆心为(2,0)，半径为1圆.
若直线与有唯一的公共点，则直线与圆相切.
有：，解得：.
【点睛】本题考查学生会将圆的参数方程化为普通方程，灵活运用点到直线的距离公式化简求值，掌握直线与圆相切时满足的条件，是一道基础题．
6. 在的二项展开式中，所有项的二项式系数之和为，则所有项的系数和等于______
【答案】
【解析】
【分析】由二项式系数和可求得的值，然后在二项式中令，可求得所有项的系数和.
【详解】的二项式系数和为，可得，
所以，的所有项的系数和为.
故答案为：.
7. 若方程恰有两个不同的实数根，则实数a的取值范围是______
【答案】；
【解析】
【分析】由于，将已知方程两边平方，利用一元二次不等式的性质求解即可．
【详解】，，等价于，化简得，方程恰有两个不同的实数根，，解得，即实数a的取值范围是
故答案为：
8. 若随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，且分别为，，则实数a的取值范围为_____．
【答案】
【解析】
【分析】
根据已知条件和随机事件的概率范围及互斥事件的性质，列出不等式组，即可求出实数a的取值范围.
【详解】因为随机事件、互斥，、发生的概率均不等于0，所以有：
，即，解得，
故答案为：
9. 如果，那么共有_________项.
【答案】
【解析】
【分析】先确定出中共有多少项，可得出和的项数，然后再将两个代数式中的项数作差可得出的项数.
【详解】是一个数列的和，观察每项的特征，每项都是一个分数，分子都是，分母依次为、、、、，因此有共项，从而的项数为．
故答案为.
【点睛】本题考查数列项数的计算，解题时要观察代数式的结构，属于基础题.
10. 在平面坐标系中,动点和点 满足,则动点轨迹方程为______.
【答案】
【解析】
【分析】根据，代入化简得到答案.
【详解】，则
即，化简得到
故答案为：
【点睛】本题考查了轨迹方程，意在考查学生的计算能力.
11. 已知是、是单位向量，，若向量满足，则的最大值为______
【答案】##
【解析】
【分析】根据题意设，，，求出向量所表示的几何图形的轨迹，再求所表示的几何意义，从而求出的最大值．
【详解】解：由、单位向量，且，则可设，，，
所以，
向量满足，
，
即，
它表示圆心为，半径为的圆，
又表示圆上的点到坐标原点的距离，因为，
所以．
故答案为：．
12. 数列满足，，，则数列前项和______；
【答案】
【解析】
【分析】根据找到数列的规律，利用分组求和法求得数列前项和.
【详解】由，可知，数列的奇数项是首项为，公差为的等差数列，数列的偶数项是首项为，公比为的等比数列.所以.
故答案为：
【点睛】本小题主要考查分组求和法，考查观察与思考问题的能力，考查等差数列和等比数列的前项和公式，属于基础题.
二、选择题
13. 已知双曲线的焦距为，点在的一条渐近线上，则的方程为（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据焦距和点在一条渐近线上可得关于的方程组，求出其解后可得的方程.
【详解】因为焦距为，故半焦距为，故，
因为在一条渐近线上，故，解得，
故双曲线方程为：.
故选：B.
14. 设、是定点，且均不在平面上,动点在平面上,且，则点的轨迹为
A. 圆或椭圆 B. 抛物线或双曲线 C. 椭圆或双曲线 D. 以上均有可能
【答案】D
【解析】
【详解】试题分析：以为高线，为顶点作顶角为的圆锥面，则点就在这个圆锥面上，用平面截这个圆锥面所得截线就是点的轨迹，它可能是圆、椭圆、抛物线、双曲线，因此选D.
考点：圆锥曲线的性质.
15. 已知数列满足，（），则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据题意推得，得到数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比都为，首项分别为和，结合等比数列的求和公式，即可求解.
【详解】由题意，数列满足，
当时，可得，则，
又由，可得，所以，
所以数列的奇数项和偶数项分别成等比数列，且公比都为，首项分别为和，
所以
.
故选：B.
16. 设为两个非零向量的夹角，已知对任意实数t，的最小值为1．（ ）
A. 若确定，则唯一确定 B. 若确定，则唯一确定
C. 若确定，则唯一确定 D. 若确定，则唯一确定
【答案】B
【解析】
【分析】由平方得出，由条件可得的最小值为1，可到与角的关系，从而得到答案.
【详解】，令，因为，
所以当时，，又的最小值为1，
所以的最小值也为1，即，
即，
所以，所以，故若确定，则唯一确定.
故选：B
三、解答题
17. 在棱长为2的正方体中，M为CD的中点，求：
（1）异面直线与所成的角的大小；
（2）△绕直线旋转一周所得的旋转体的体积．
【答案】（1）；
（2）
【解析】
【分析】（1）作出辅助线，找出即为异面直线与所成的角，再求出边长，利用余弦定理求出夹角；
（2）分析出绕直线旋转一周所得的旋转体可看作两个圆锥的组合体，求出圆锥的底面半径和高，从而求出组合体的体积.
【小问1详解】
连接，则∥，所以即为异面直线与所成的角，
因为M为CD的中点，
所以，
由勾股定理得：，同理可得：，，
由余弦定理可得：，
所以异面直线与所成的角的大小为；
【小问2详解】
因为为直角三角形，斜边为，
所以绕直线旋转一周所得的旋转体可看作两个圆锥的组合体，
其中过点D作DH⊥于点H，则，
即两个圆锥的底面半径为，高分别为，
所以组合体的体积为.
18. 对定义域分别为、的函数、，规定：
函数.
（1）若函数，，写出函数的解析式；
（2）求问题(1)中函数的值域．
【答案】（1）；（2）或或.
【解析】
【分析】（1）先利用函数要有意义，需满足的条件先求出和的定义域，再计算且、且、且三种情况，分别对应解析式，即可得到结论；
（2）利用基本不等式求函数的最值，注意等号成立的条件，分和两种情况讨论.
【详解】（1）∵的定义域，
的定义域，
所以.
（2）当时，.
若，则，∴.
当且仅当时，等号成立．
若，则，
∴，
当且仅当时取等号．
当时，，
综上知值域为或或．
19. 某超市在节日期间进行有奖促销，规定凡在该超市购物满400元的顾客，均可获得一次摸奖机会．摸奖规则如下：奖盒中放有除颜色不同外其余完全相同的4个球红、黄、黑、白顾客不放回的每次摸出1个球，若摸到黑球则摸奖停止，否则就继续摸球．按规定摸到红球奖励20元，摸到白球或黄球奖励10元，摸到黑球不奖励．
（1）求1名顾客摸球2次摸奖停止的概率；
（2）记X为1名顾客摸奖获得的奖金数额，求随机变量X的分布列和数学期望．
【答案】（1）；（2）分布列见解析，20.
【解析】
【分析】(1)1名顾客摸球2次停止摸奖的情况有，基本事件的个数为，然后代入等可能事件的概率公式可求．
(2)随机变量X的所有取值为0，10，20，30，40，利用排列组合计数，分别求出X取各个值时的概率即可求解随机变量X的分布列及期望．
【详解】解：（1）设“1名顾客摸球2次停止摸奖”为事件A，则，
故1名顾客摸球2次停止摸奖的概率．
（2）随机变量X的所有取值为0，10，20，30，40．
X=0表示第一次取球取到了黑球，概率为；
X=10表示第一次取到了白球或黄球，第二次取到了黑球，概率为；
X=20表示前两次取到白球黄球，第三次取到黑球或第一次取到红球，第二次取到黑球，概率为；
X=30表示前两次取球有一次取到白球或黄球，有一次取到红球，第三次取到黑球，概率为；
X=40表示前三次取到的是红白黄三个球，第四次取到黑球，概率为.
综上，随机变量X的分布列为：
X 0 10 20 30 40
P
．
20. 已知椭圆经过点，且其右焦点与抛物线的焦点重合，过点且与坐标轴不垂直的直线与椭圆交于，两点．
（1）求椭圆的方程；
（2）设为坐标原点，线段上是否存在点，使得？若存在，求出的取值范围；若不存在，说明理由；
（3）过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，点关于轴的对称点为，试证明：直线过定点．
【答案】（1）；（2）存在，；（3）证明见解析．
【解析】
【分析】（1）求出抛物线的焦点，即可根据椭圆的右焦点坐标及点列方程求解a、b，从而求得椭圆方程；（2）设直线的方程为：，，联立直线方程与椭圆方程可得关于x的一元二次方程，利用韦达定理及中点坐标公式用k表示出线段的中点，，根据所给等式可证明直线为直线的垂直平分线，则可得直线的方程，求出点N的横坐标从而可求得n的范围；（3）联立直线AB的方程与椭圆方程可得关于x的一元二次方程，设，，，，，，根据韦达定理求出、，求出直线AE的方程并令，求出x并逐步化简可得，则直线过定点.
【详解】（1）椭圆右焦点与抛物线的焦点重合，
且经过点，
，解得，
椭圆的方程为：．
（2）设直线的方程为：，，
代入，得：，
恒成立．
设，，，，线段的中点为，，
则，，
由，得：，
直线为直线的垂直平分线，
直线的方程为：，
令得：点的横坐标，
，，．
线段上存在点，使得，其中．
（3）证明：设直线的方程为：，，
代入，得：，
过点且不垂直于轴的直线与椭圆交于，两点，
由，得：，
设，，，，，，
则，，
则直线的方程为，
令得：
．
直线过定点．
【点睛】圆锥曲线中的定点、定值问题是高考中的常考题型，难度较大，考查知识间的联系与综合，着重考查考生运用圆锥曲线的知识进行逻辑推理的能力.
1.参数法 圆锥曲线的定点、定值问题会涉及到曲线上的动点及动直线，所以很常用的方法就是设动点或设动直线，即引入参数解决问题，那么设参数就有两种情况，第一种是设点的坐标，第二种是设直线的斜率.
2.由特殊到一般法 如果要解决的问题是一个定值（定点）问题，而题设条件又没有给出这个定值（定点），那么我们可以这样思考：由于这个定值（定点）对符合要求的一些特殊情况必然成立，那么我们根据特殊情况先找到这个定值（定点），明确了解决问题的目标，然后进行一般情况下的推理证明.
21. 已知各项均为正数的数列{an}的前n项和为Sn，首项为a1，且，an，Sn等差数列．
（1）判断数列{an}是否为等比数列？若是，写出通项公式，若不是，请说明理由；
（2）若bn＝﹣2log2an，设cn＝，求数列{cn}的前n项和Tn；
（3）若不等式Tn≤m2﹣m﹣1对一切正整n恒成立，求实数m取值范围．
【答案】（1）是，
（2）
（3）或
【解析】
【分析】（1）根据等差数列性质得到，根据得到，得到答案.
（2），，利用错位相减法计算得到答案.
（3），根据数列的单调性得到最大值为，解不等式得到答案.
【小问1详解】
，an，Sn等差数列，即，当时，，；
当时，，相减得到，即，
故数列是首项为，公比为的等比数列，即，验证时成立.
故.
【小问2详解】
，，
，
，
两式相减得到：
，故.
【小问3详解】
，设，则，
即当时，数列递减，，，，故数列的最大值为.
，解得或.
