开江县2022-2023学年高三上学期9月入学考试
理科数学 解析版
一、单选题
1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【详解】故选A
2. 已知集合 ，，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再解绝对值不等式求出集合，最后根据交集的定义计算可得.
【详解】解：由，解得，所以，
由，所以或，解得或，
所以 或 .
所以 .
故选：B
3. 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如图所示的样本数据的频率分布直方图，则（ ）
A. 这种疾病患者的年龄小于等于30的概率为0.2
B. 这种疾病患者的年龄的中位数小于45岁
C. 这种疾病患者的年龄的众数为45岁
D. 这种疾病患者的平均年龄为48岁
【答案】C
【解析】
【分析】根据频率分布直方图中的数据逐一判断即可.
【详解】小于等于30的概率为 ，故A不对；
小于等于45的概率为，
所以中位数大于45，故B错误；
（岁），故D错误；
而众数为最高矩形的中点，所以众数为45，
故选：C.
4. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，是一部问题集，全书分为九章，共收有246个问题，每个问题都有问、答、术三部分组成，内容涉及算术、代数、几何等诸多领域，并与实际生活紧密相连，充分体现了中国人的数学观和生活观.书中第九卷勾股部分记录了这么一个问题：问：今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？术曰：半锯道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材径.如图，术曰所给出的求解公式为：，则答曰（ ）
A. 二尺六寸 B. 二尺五寸 C. 一尺三寸 D. 一尺二寸
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意理解，分清楚“尺”与“寸”的关系，求出即可得出答案.
【详解】由题意可知 ，“深一寸”是指为一寸，“锯道长一尺”是指为一尺，一尺为十寸，所以为十寸，
故为26（寸），即二尺六寸；
故选：A.
5. 已知某正四面体的俯视图外轮廓是边长为1的正三角形，则该正四面体的表面积为（ ）
A B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出正四面体的棱长即可计算作答.
【详解】因正四面体的俯视图外轮廓是边长为1的正三角形，则该正四面体的棱长为1，
所以该正四面体的表面积为.
故选：D
6. 若函数 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的定义求解即可（常用结论：若函数为奇函数，则；若函数为偶函数，则.）
【详解】解析： ， ， .
故选：A.
7. 如图，已知所有棱长均相等的直三棱柱，， 分别为 和的中点，则下列陈述不正确的是（ ）
A. 平面
B.
C. 与 所成角的正切值为
D. 与平面 所成角的正切值为2
【答案】B
【解析】
【分析】对于A：取 的中点 ，利用三角形的中位线、基本事实4、平行四边形的判定和性质得到，再利用线面平行的判定定理进行证明；对于B：先假设，再利用线面垂直的判定和性质得到，进而推得矛盾；对于C、D：作出辅助线，利用异面直线所成的角、线面角的定义得到所求角，再利用直角三角形进行求解.
【详解】对于A：如图，取 的中点 ，连接 .
因为，，且，，
所以，且，
则 为平行四边形，故而 .
又平面，平面，
所以 平面 ，
即选项A正确；
对于B：假设，
又因为，所以，
又，，
所以 平面，
则，与为等边三角形矛盾，
即选项B错误；
对于C、D：取 的中点 ，连接 ，
则 平面 ，且，
所以为 与 所成的角，
且为 与平面 所成的角.
则，，
即选项C、D正确 .
故选：B.
8. 已知函数 ，函数 ，函数 ，函数 ，四个函数的图象如图所示，则 的图象依次为（ ）
A. ①②③④ B. ①②④③ C. ②①③④ D. ②①④③
【答案】A
【解析】
【分析】根据定义域、对称性与奇偶性，结合三角函数的图象性质判断即可.
【详解】由定义域中可知，图②为 .
由可知为奇函数，图③为 .
可得为偶函数，图④为 .
故而图①为 ．
故选：A
9. 如图，已知正方体，分别为所在棱的中点，截面和截面将正方体分成三部分，则这三部分体积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断截得几何体的形状，再利用多面体的体积公式进行求解.
【详解】设正方体的棱长为，则正方体的体积为，
由正方体的对称性可知截面 将正方体平分为体积相等的两部分，
而截面 截得的三棱锥的体积为
，占正方体体积的 .
故而截的三部分几何体的体积为 .
故选：D.
10. 已知抛物线 为原点，过 的任意直线 ，与拋物线 交于点 两点，则 为（ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 钝角、直角、锐角三角形均有可能
【答案】B
【解析】
【分析】设直线 的方程为： ，令 ，直线方程与抛物线方程联立方程组，消元后应用韦达定理得，，代入计算后可得．
【详解】设直线 的方程为： .
联立方程：,.
所以 .
令 .
所以 .
又 .
所以 .
故而 为直角三角形.
故选：B．
11. 已知函数，且，则下列陈述不正确的是（ ）
A. 若函数的相邻对称轴之间的距离为，则函数的最小正周期为
B. 若函数的相邻对称轴之间的距离为，则为的一个对称轴
C. 若函数在区间上有三个零点，则的取值范围为
D. 若函数在区间上有三个最值，则的取值范围为
【答案】C
【解析】
【分析】由可求得，对AB，可求得最小正周期，再代入即可验证，根据正弦函数的性质列出不等式可求出CD.
【详解】由，即，
由，所以，．
若函数的相邻对称轴之间的距离为，则，
所以函数的最小正周期，所以．
则，则，
所以为的一个对称轴，故A和B选项正确．
由可得，
若函数在区间上有三个零点．
则需满足，即，故选项C错误．
若函数在区间上有三个最值．
则需满足，即，故选项D正确．
故选：C.
12. 下列四个命题：① ，② ，③ ，其中真命题的个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】对于①，利用对称的单调性可比较大小；对于②，利用对数的运算性质及基本不等式可比较大小；对于③，通过构造函数利用函数的单调性可比较大小.
【详解】对于①，由 ，所以①正确．
对于②，令 ．
所以 ．
所以 ．
所以，
当且仅当 时取等号，故而②正确．
对于③，考虑函数 ，且 ．
又 ．
又，，
从而可知在上单调递增，且当 时， ．
所以 在上为增函数．
所以 时， ．
所以 是 上的增函数， ，
即 ，故③正确．
故选：D
二、填空题
13. 已知 ，，且 .则 与 夹角的余弦值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据向量模的坐标表示求出，再根据夹角公式计算可得.
【详解】 解：由 ，所以 ，
令 为 与 夹角，则 .
故答案为：
14. 已知双曲线：，则双曲线的离心率为___________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据双曲线方程求出即可求出.
【详解】由双曲线：可得，则，
所以离心率.
故答案为：2.
15. 从正四面体顶点及其棱的中点共10个点中，任取3个点，则这三个点构成的三角形为等边三角形的概率为____________．
【答案】##0.2
【解析】
【分析】先利用组合求出基本事件的总数，在分类讨论求出取出的3个点构成的三角形为等边三角形的基本事件的个数，再根据古典概型即可得解.
【详解】解：如图，①在正四面体中，四个面为全等的正三角形，每个大正三角形中，由3个顶点和三条边的3个中点，取3个点，可以形成5个正三角形，共计种，
②平行于正四面体每个表面均有1个正三角形，
综上所述，共计有24个正三角形，
所以构成等边三角形的概率为．
故答案为：.
16. 在中，，点是边上的一点，且，当的面积最大时，则____________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，求出点 的轨迹为以 为圆心，半径为2的圆，数形结合，得到当 在 处时， 的面积最大，从而求出.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系.
则 .
令 .
由 ，即 .
所以 ，即点 的轨迹为以 为圆心，半径为2的圆.
所以当 在 处时， 的面积最大.
所以.
故答案为：
三、非选择题组
17. 已知 为数列 的前 项和， 是公差为1的等差数列.
（1）求 的通项公式；
（2）证明： .
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出给定的等差数列通项公式，再利用前n项和求通项的方法求解作答；
（2）利用（1）的结论，结合裂项相消法求解作答.
【小问1详解】
因是公差为1的等差数列，而，则，因此，即，
当时，，满足上式，
所以的通项公式是.
【小问2详解】
由（1）知：，
所以.
18. 如图，在四棱锥中，为等腰梯形，，，，，．
（1）证明：平面；
（2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值．
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）先证明平面，从而证明，再证明，根据线面垂直的判定定理即可证明结论.
（2）建立空间直角坐标系，求出相关点的坐标，求出平面PBC,PAD的法向量，利用向量的夹角公式，即可求得答案.
【小问1详解】
证明：在等腰梯形中，,,
由余弦定理可得,
所以,所以．
又，且平面,
所以平面,平面,
故而．
又，即,
所以,又平面,
所以平面．
【小问2详解】
由（1）可知，两两垂直，故以D为坐标原点以DA,DB,DP为x,y,z轴建立如图空间直角坐标系，
故而．
由题意可知 ,故为等腰三角形，
且．
所以．
所以，
设为平面的一个法向量，则,
即,令．
所以，即,
由于平面．所以为平面的一个法向量．
设平面和平面所成锐二面角为,
所以,
所以平面和平面所成锐二面角的余弦值为．
19. 某校举办“复兴杯”羽毛球比赛活动，甲、乙两名选手进入最后的决赛，决赛采用三局两胜的赛制，决出最后的冠军，甲在第一局获胜的概率为，从第二局开始，甲每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则该局甲获胜的概率增加，若上局未获胜，则该局甲获胜的概率减小，且甲连胜两局获胜的概率为（每局比赛没有平局）.
（1）求甲获胜的概率；
（2）若冠军奖金为1600元，且在甲第一局获胜的情况下，由于不可抗拒力的原因，比赛被迫取消，请问：你认为甲、乙如何分配奖金比较合理？
【答案】（1）
（2）甲应获得1300元奖金，乙获得300元奖金比较合理
【解析】
【分析】（1）先求出，再利用互斥事件的概率加法公式和相互独立事件的概率乘法公式即可求解；
（2）先求出在甲第一局获胜的情况下，甲输掉比赛事件的概率，即可求解.
【小问1详解】
令事件：甲第局获胜，．
甲连胜两局的概率为：．
所以．
则甲获胜的概率为：
．
【小问2详解】
由题意知，在甲第一局获胜的情况下，甲输掉比赛事件为：甲接下来的比赛中连输两场．
即．
故而甲乙应按照的比例来分配比赛奖金，即甲应获得1300元奖金，乙获得300元奖金比较合理．
20. 已知椭圆 为椭圆 的左、右焦点，过点 的任意直线 交椭圆 于、 两点，且的周长为8，椭圆 的离心率为 .
（1）椭圆 的方程；
（2）若 为椭圆 上的任一点， 为过焦点 的弦，且 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的定义得到，再利用离心率和进行求解；
（2）先设出相关点的坐标，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得到和，再利用进行 和
求解.
【小问1详解】
由题意可知， 的周长为
.
所以 ，又 ，
所以 ，则 ，
所以椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
不妨令 .
所以 ，即.
当 时，不妨设直线 为 ，其中 .
直线 为 ，其中 .
联立方程 ，
得 .
所以 ，即 .
同理可得： .
又 .
所以 .
则
，
综上所述， .
21. 已知函数．
（1）当，和有相同的最小值，求的值；
（2）若有两个零点，求证：．
【答案】（1）
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）分别求出和的最小值，列方程即可求出结果；
（1）问题转化为有两个零点，证明，进而只需要证明只需要证明，也即是，从而令，构造函数求出最值即可证出结论．
【小问1详解】
由．
所以．
所以．
令，则为上的增函数，且．
所以在上单调递减，上单调递增．
所以．
又．
所以．令，则
所以为上的增函数．
又．
令，因为在上单调递增，且，而，因此函数与直线有唯一交点，
故方程在上有唯一解，
所以存在唯一，使得．
即，故，
所以在上单调递减，在上单调递增．
所以．
所以．
故而．
【小问2详解】
由题意有两个零点．
所以，即．
所以等价于：有两个零点，证明.
不妨令．
由．
要证，只需要证明．
即只需证明：．
只需证明：，即．
令．
只需证明：．
令．
则，即在上为增函数．
又．
所以．
综上所述，原不等式成立．
【点睛】导函数中常用的两种常用的转化方法：一是利用导数研究含参函数的单调性，常化为不等式恒成立问题．注意分类讨论与数形结合思想的应用；二是函数的零点、不等式证明常转化为函数的单调性、极(最)值问题处理．
22. 已知曲线 的参数方程为： ，（常数 为参数），在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为： .
（1）求曲线 和直线 的普通方程
（2）若直线 交曲线 于 两点，直线 上点 的直角坐标为 ，求 的值.
【答案】（1）曲线C普通方程 ， 直线l普通方程
（2）
【解析】
【分析】（1）利用代入消元及极坐标转化为直角坐标即可求解；
（2）根据已知条件得出直线的参数方程，将直线的参数方程与曲线的直角坐标方程联立，利用韦达定理，结合直线参数方程中的参数的几何意义即可求解.
【小问1详解】
由 消去 得： .
由 ，即 .
又 .
所以直线 的普通方程为 .
【小问2详解】
由题意知直线 的参数方程为 .
联立方程 ，得 .
设两点对应的参数分别为，则
.
由参数 的几何意义可知：
.
23. 已知 ，且 .
（1）求证： ；
（2）求证： .
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】(1)用巧用“1”进行代入化简，再用基本不等式即可得证.
(2)将代入“”中，再进行化简，即可使用基本不等式求证.
【小问1详解】
证明：由 , 所以 . 所以
，
当且仅当 时取等号, 即 .由此得证.
【小问2详解】
证明：由 .
当且仅当 时取等号.由此得证.开江县2022-2023学年高三上学期9月入学考试
理科数学 原卷版
一、单选题
1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2. 已知集合 ，，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如图所示的样本数据的频率分布直方图，则（ ）
A. 这种疾病患者的年龄小于等于30的概率为0.2
B. 这种疾病患者的年龄的中位数小于45岁
C. 这种疾病患者的年龄的众数为45岁
D. 这种疾病患者的平均年龄为48岁
4. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，是一部问题集，全书分为九章，共收有246个问题，每个问题都有问、答、术三部分组成，内容涉及算术、代数、几何等诸多领域，并与实际生活紧密相连，充分体现了中国人的数学观和生活观.书中第九卷勾股部分记录了这么一个问题：问：今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？术曰：半锯道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材径.如图，术曰所给出的求解公式为：，则答曰（ ）
A. 二尺六寸 B. 二尺五寸 C. 一尺三寸 D. 一尺二寸
5. 已知某正四面体的俯视图外轮廓是边长为1的正三角形，则该正四面体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 若函数 ，则（ ）
A. B. C. D.
7. 如图，已知所有棱长均相等的直三棱柱，， 分别为 和的中点，则下列陈述不正确的是（ ）
A. 平面
B.
C. 与 所成角的正切值为
D. 与平面 所成角的正切值为2
8. 已知函数 ，函数 ，函数 ，函数 ，四个函数的图象如图所示，则 的图象依次为（ ）
A. ①②③④ B. ①②④③ C. ②①③④ D. ②①④③
9. 如图，已知正方体，分别为所在棱的中点，截面和截面将正方体分成三部分，则这三部分体积之比为（ ）
A. B. C. D.
10. 已知抛物线 为原点，过 的任意直线 ，与拋物线 交于点 两点，则 为（ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 钝角、直角、锐角三角形均有可能
11. 已知函数，且，则下列陈述不正确的是（ ）
A. 若函数的相邻对称轴之间的距离为，则函数的最小正周期为
B. 若函数的相邻对称轴之间的距离为，则为的一个对称轴
C. 若函数在区间上有三个零点，则的取值范围为
D. 若函数在区间上有三个最值，则取值范围为
12. 下列四个命题：① ，② ，③ ，其中真命题的个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题
13. 已知 ，，且 .则 与 夹角余弦值为____________.
14. 已知双曲线：，则双曲线离心率为___________.
15. 从正四面体的顶点及其棱的中点共10个点中，任取3个点，则这三个点构成的三角形为等边三角形的概率为____________．
16. 在中，，点是边上的一点，且，当的面积最大时，则____________.
三、非选择题组
17. 已知 为数列 的前 项和， 是公差为1的等差数列.
（1）求 的通项公式；
（2）证明： .
18. 如图，在四棱锥中，等腰梯形，，，，，．
（1）证明：平面；
（2）求平面和平面所成锐二面角的余弦值．
19. 某校举办“复兴杯”羽毛球比赛活动，甲、乙两名选手进入最后的决赛，决赛采用三局两胜的赛制，决出最后的冠军，甲在第一局获胜的概率为，从第二局开始，甲每局获胜的概率受上局比赛结果的影响，若上局获胜，则该局甲获胜的概率增加，若上局未获胜，则该局甲获胜的概率减小，且甲连胜两局获胜的概率为（每局比赛没有平局）.
（1）求甲获胜的概率；
（2）若冠军奖金为1600元，且在甲第一局获胜的情况下，由于不可抗拒力的原因，比赛被迫取消，请问：你认为甲、乙如何分配奖金比较合理？
20. 已知椭圆 为椭圆 的左、右焦点，过点 的任意直线 交椭圆 于、 两点，且的周长为8，椭圆 的离心率为 .
（1）椭圆 的方程；
（2）若 为椭圆 上的任一点， 为过焦点 的弦，且 ，求 的值.
21. 已知函数．
（1）当，和有相同的最小值，求的值；
（2）若有两个零点，求证：．
22. 已知曲线 参数方程为： ，（常数 为参数），在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为： .
（1）求曲线 和直线 的普通方程
（2）若直线 交曲线 于 两点，直线 上点 的直角坐标为 ，求 的值.
23. 已知 ，且 .
（1）求证： ；
（2）求证： .
