开江县2022-2023学年高三上学期9月入学考试
文科数学 原卷版
一、单选题
1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
2 已知集合 ，，则 （ ）
A. B. C. D.
3. 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者年龄，得到如图所示的样本数据的频率分布直方图，则（ ）
A. 这种疾病患者的年龄小于等于30的概率为0.2
B. 这种疾病患者的年龄的中位数小于45岁
C. 这种疾病患者的年龄的众数为45岁
D. 这种疾病患者的平均年龄为48岁
4. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，是一部问题集，全书分为九章，共收有246个问题，每个问题都有问、答、术三部分组成，内容涉及算术、代数、几何等诸多领域，并与实际生活紧密相连，充分体现了中国人的数学观和生活观.书中第九卷勾股部分记录了这么一个问题：问：今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？术曰：半锯道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材径.如图，术曰所给出的求解公式为：，则答曰（ ）
A. 二尺六寸 B. 二尺五寸 C. 一尺三寸 D. 一尺二寸
5. 已知某正四面体的俯视图外轮廓是边长为1的正三角形，则该正四面体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
6. 若函数 ，则（ ）
A. B. C. D.
7. 函数 大致图像为（ ）
A. B.
C. D.
8. 如图，已知所有棱长均相等的直三棱柱，， 分别为 和的中点，则下列陈述不正确的是（ ）
A. 平面
B.
C. 与 所成角的正切值为
D. 与平面 所成角的正切值为2
9. 已知函数 ，且 ，则下列陈述不正确的是（ ）
A. 函数 的最小正周期为
B. 为 的一个对称轴
C. 函数 在区间 上单调
D. 函数 在区间 上有两个零点
10. 如图，已知正方体，分别为所在棱的中点，截面和截面将正方体分成三部分，则这三部分体积之比为（ ）
A. B. C. D.
11. 已知抛物线 为原点，过 的任意直线 ，与拋物线 交于点 两点，则 为（ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 钝角、直角、锐角三角形均有可能
12. 下列四个命题：① ，② ，③，其中真命题的个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
二、填空题
13. 已知 ，，且 .则 与 夹角的余弦值为____________.
14. 已知双曲线：，则双曲线的离心率为___________.
15. 已知 ，若 ，则 ____________.
16. 在中，，点是边上一点，且，当的面积最大时，则____________.
三、主观题
17. 我校知名社团“理科学社”，为了了解我校学生对中学数学竞赛是否有兴趣，现从理科学生和文科学生随机各抽取50人进行调查，对中学数学竞赛有兴趣的人数占总人数的 ，理科学生中有5人对中学数学竞赛没有兴趣.
（1）完成下面的列联表，并判断是否有的把握认为对中学数学竞赛是否有兴趣与文理科有关？
有兴趣 没有兴趣 合计
理科
文科
合计
（2）现我校需选择2名学生选手参加“西部数学邀请赛”，经过初选有4名理科学生和2名文科学生进入最后的选拔，若从这六名学生中随机选择2名同学组成我校“西部数学邀请赛代表队”，则求“西部数学邀请赛代表队”中有文科生的概率.
0.05 0.01 0005 0.001
k0 3,841 6.635 7.879 10.828
附：
18. 已知 为数列 的前 项和， 是公差为1的等差数列.
（1）求 的通项公式；
（2）证明： .
19. 在四棱锥中，为等腰梯形，，，，，.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
20. 已知函数 .
（1）若 ，当 时，函数 在 处的切线 也是 的切线，求 的值；
（2）当 时， 和 有相同的最小值，求 的值.
21. 已知椭圆 为椭圆 的左、右焦点，过点 的任意直线 交椭圆 于、 两点，且的周长为8，椭圆 的离心率为 .
（1）椭圆 的方程；
（2）若 为椭圆 上的任一点， 为过焦点 的弦，且 ，求 的值.
22. 已知曲线 的参数方程为： ，（常数 为参数），在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为： .
（1）求曲线 和直线 的普通方程
（2）若直线 交曲线 于 两点，直线 上点 的直角坐标为 ，求 的值.
23. 已知 ，且 .
（1）求证： ；
（2）求证： .开江县2022-2023学年高三上学期9月入学考试
文科数学 解析版
一、单选题
1. 已知复数，则在复平面内对应的点位于( )
A. 第一象限 B. 第二象限
C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】A
【解析】
【详解】故选A
2. 已知集合 ，，则 （ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】首先解一元二次不等式求出集合，再解绝对值不等式求出集合，最后根据交集的定义计算可得.
【详解】解：由，解得，所以，
由，所以或，解得或，
所以 或 .
所以 .
故选：B
3. 在某地区进行流行病学调查，随机调查了100位某种疾病患者的年龄，得到如图所示的样本数据的频率分布直方图，则（ ）
A. 这种疾病患者的年龄小于等于30的概率为0.2
B. 这种疾病患者的年龄的中位数小于45岁
C. 这种疾病患者的年龄的众数为45岁
D. 这种疾病患者的平均年龄为48岁
【答案】C
【解析】
【分析】根据频率分布直方图中的数据逐一判断即可.
【详解】小于等于30的概率为 ，故A不对；
小于等于45的概率为，
所以中位数大于45，故B错误；
（岁），故D错误；
而众数为最高矩形的中点，所以众数为45，
故选：C.
4. 《九章算术》是人类科学史上应用数学的最早巅峰，是一部问题集，全书分为九章，共收有246个问题，每个问题都有问、答、术三部分组成，内容涉及算术、代数、几何等诸多领域，并与实际生活紧密相连，充分体现了中国人的数学观和生活观.书中第九卷勾股部分记录了这么一个问题：问：今有圆材埋在壁中，不知大小，以锯锯之，深一寸，锯道长一尺，问径几何？术曰：半锯道自乘，如深寸而一，以深寸增之，即材径.如图，术曰所给出的求解公式为：，则答曰（ ）
A. 二尺六寸 B. 二尺五寸 C. 一尺三寸 D. 一尺二寸
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意理解，分清楚“尺”与“寸”的关系，求出即可得出答案.
【详解】由题意可知 ，“深一寸”是指为一寸，“锯道长一尺”是指为一尺，一尺为十寸，所以为十寸，
故为26（寸），即二尺六寸；
故选：A.
5. 已知某正四面体的俯视图外轮廓是边长为1的正三角形，则该正四面体的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】根据给定条件，求出正四面体的棱长即可计算作答.
【详解】因正四面体俯视图外轮廓是边长为1的正三角形，则该正四面体的棱长为1，
所以该正四面体的表面积为.
故选：D
6. 若函数 ，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据函数奇偶性的定义求解即可（常用结论：若函数为奇函数，则；若函数为偶函数，则.）
【详解】解析： ， ， .
故选：A
7. 函数 大致图像为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用函数的奇偶性和的正负可判断D为函数 的图像
【详解】解：由可得定义域为，且，
所以是偶函数，故A，C错误；
因为，故B选项错误，
故选：D
8. 如图，已知所有棱长均相等的直三棱柱，， 分别为 和的中点，则下列陈述不正确的是（ ）
A. 平面
B.
C. 与 所成角的正切值为
D. 与平面 所成角的正切值为2
【答案】B
【解析】
【分析】对于A：取 的中点 ，利用三角形的中位线、基本事实4、平行四边形的判定和性质得到，再利用线面平行的判定定理进行证明；对于B：先假设，再利用线面垂直的判定和性质得到，进而推得矛盾；对于C、D：作出辅助线，利用异面直线所成的角、线面角的定义得到所求角，再利用直角三角形进行求解.
【详解】对于A：如图，取 的中点 ，连接 .
因为，，且，，
所以，且，
则 为平行四边形，故而 .
又平面，平面，
所以 平面 ，
即选项A正确；
对于B：假设，
又因为，所以，
又，，
所以 平面，
则，与为等边三角形矛盾，
即选项B错误；
对于C、D：取 的中点 ，连接 ，
则 平面 ，且，
所以为 与 所成的角，
且为 与平面 所成的角.
则，，
即选项C、D正确 .
故选：B.
9. 已知函数 ，且 ，则下列陈述不正确的是（ ）
A. 函数 的最小正周期为
B. 为 的一个对称轴
C. 函数 在区间 上单调
D. 函数 在区间 上有两个零点
【答案】C
【解析】
【分析】先根据已知求出的值，由此得到函数的解析式，结合函数的性质，对A、B、C、D四个选项逐个进行求解即可.
【详解】，.
又，
对A，函数的最小正周期，故A正确；
对B，由得，为的一个对称轴，故B选项正确；
对C，由 ，所以为的一个对称轴，
函数在区间上不单调，所以选项C不正确；
对D，令得 ，
即
令，或，函数在区间上有两个零点，故选项D正确.
故选：C
10. 如图，已知正方体，分别为所在棱的中点，截面和截面将正方体分成三部分，则这三部分体积之比为（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】先判断截得几何体的形状，再利用多面体的体积公式进行求解.
【详解】设正方体的棱长为，则正方体的体积为，
由正方体的对称性可知截面 将正方体平分为体积相等的两部分，
而截面 截得的三棱锥的体积为
，占正方体体积的 .
故而截的三部分几何体的体积为 .
故选：D.
11. 已知抛物线 为原点，过 的任意直线 ，与拋物线 交于点 两点，则 为（ ）
A. 钝角三角形 B. 直角三角形
C. 锐角三角形 D. 钝角、直角、锐角三角形均有可能
【答案】B
【解析】
【分析】设直线 的方程为： ，令 ，直线方程与抛物线方程联立方程组，消元后应用韦达定理得，，代入计算后可得．
【详解】设直线 的方程为： .
联立方程：,.
所以 .
令 .
所以 .
又 .
所以 .
故而 为直角三角形.
故选：B．
12. 下列四个命题：① ，② ，③，其中真命题的个数为（ ）
A. 0个 B. 1个 C. 2个 D. 3个
【答案】D
【解析】
【分析】直接利用对数的运算性质，构造相应的函数关系式，利用导数工具进行求解即可.
【详解】对①，由， 所以①正确.
对②，构造函数
又，所以 在 上单调递增，且 .
则，故②正确.
对③，构造函数，， 为增函数.
又，当 时，， 在 上的增函数.
，即，可得，故③正确.
真命题的个数为3个.
故选：D
二、填空题
13. 已知 ，，且 .则 与 夹角的余弦值为____________.
【答案】
【解析】
【分析】首先根据向量模的坐标表示求出，再根据夹角公式计算可得.
【详解】 解：由 ，所以 ，
令 为 与 夹角，则 .
故答案为：
14. 已知双曲线：，则双曲线的离心率为___________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据双曲线方程求出即可求出.
【详解】由双曲线：可得，则，
所以离心率.
故答案为：2.
15. 已知 ，若 ，则 ____________.
【答案】2
【解析】
【分析】根据的解析式得到即可.
【详解】因为，所以，
所以，
所以 ，因为，
则 ，
故答案为：2
16. 在中，，点是边上的一点，且，当的面积最大时，则____________.
【答案】##0.5
【解析】
【分析】建立平面直角坐标系，求出点 的轨迹为以 为圆心，半径为2的圆，数形结合，得到当 在 处时， 的面积最大，从而求出.
【详解】建立如图所示的平面直角坐标系.
则 .
令 .
由 ，即 .
所以 ，即点 的轨迹为以 为圆心，半径为2的圆.
所以当 在 处时， 的面积最大.
所以.
故答案为：
三、主观题
17. 我校知名社团“理科学社”，为了了解我校学生对中学数学竞赛是否有兴趣，现从理科学生和文科学生随机各抽取50人进行调查，对中学数学竞赛有兴趣的人数占总人数的 ，理科学生中有5人对中学数学竞赛没有兴趣.
（1）完成下面列联表，并判断是否有的把握认为对中学数学竞赛是否有兴趣与文理科有关？
有兴趣 没有兴趣 合计
理科
文科
合计
（2）现我校需选择2名学生选手参加“西部数学邀请赛”，经过初选有4名理科学生和2名文科学生进入最后的选拔，若从这六名学生中随机选择2名同学组成我校“西部数学邀请赛代表队”，则求“西部数学邀请赛代表队”中有文科生的概率.
0.05 0.01 0.005 0.001
k0 3,841 6.635 7.879 10.828
附： .
【答案】（1）列联表见解析，有
（2）
【解析】
【分析】（1）根据题意进行数据分析，完成列联表，套公式计算出，对照参数下结论；
（2）列举基本事件，利用古典概型的概率公式即可求解.
【小问1详解】
由题意知，从我校随机抽取100人进行调查，其中理科生50人，文科生50人.
由于对中学数学竞赛有兴趣的人数占总人数的，
所以对中学数学竞赛有兴趣的人数为75人，没有兴趣的有25人.
又理科学生中有5人对中学数学竞赛没有兴趣.
所以文科学生中对中学数学竞赛没有兴趣的有20人，理科学生中对中学数学竞赛有兴趣的有45人，可得列联表如下：
有兴趣 没有兴趣 合计
理科 45 5 50
文科 30 20 50
合计 75 25 100
所以.
所以有的把握认为对中学数学竞赛是否有兴趣与文理科有关.
【小问2详解】
记1，2，3，4分别代表四个不同的理科学生， 分别代表不同的文科学生.
由题意列举如下：
，共15种情况.
其中有文科学生参加的有：
，共9种情况.
所以“西部数学邀请赛代表队”中有文科生的概率为.
18. 已知 为数列 的前 项和， 是公差为1的等差数列.
（1）求 的通项公式；
（2）证明： .
【答案】（1）；
（2）证明见解析.
【解析】
【分析】（1）求出给定的等差数列通项公式，再利用前n项和求通项的方法求解作答；
（2）利用（1）结论，结合裂项相消法求解作答.
【小问1详解】
因是公差为1的等差数列，而，则，因此，即，
当时，，满足上式，
所以的通项公式是.
【小问2详解】
由（1）知：，
所以.
19. 在四棱锥中，为等腰梯形，，，，，.
（1）证明：平面；
（2）求点到平面的距离.
【答案】（1）证明见解析
（2）
【解析】
【分析】（1）通过证明、来证得 平面.
（2）利用等体积法求得点 到平面 的距离.
【小问1详解】
在等腰梯形 中， ，，
由余弦定理可得 ，
所以 ，
所以 .
又 ，且 ，平面，
所以 平面 .
由于平面，所以 .
又 ，即 .
所以 .
又 ，平面，
所以 平面 .
【小问2详解】
由（1）知， 两两垂直.
所以
而在 中， .
所以 ，则 ，
则为锐角，所以 .
所以 .
令点 到平面 的距离为 .
所以，
即 .
所以点 到平面 的距离 .
20. 已知函数 .
（1）若 ，当 时，函数 在 处的切线 也是 的切线，求 的值；
（2）当 时， 和 有相同的最小值，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】(1)求出在处的切线为.则此直线也为的切线，对求导，再令，得的切点的横坐标为1，进而得的切点坐标为（1，2），由此点在上即可求出的值；
(2)利用导数求得的最小值为1，即的最小值也为1，利用导数求得，，进而求得.，代入中即可求得的值.
【小问1详解】
解：因为.所以，.
所以公切线的方程为.又.
所以，令，所以.
所以公切线与函数的图象的切点为.所以，
所以；
【小问2详解】
解：由.所以.所以.
令，则为上的增函数，且.
当时，，当时，，
所以在上单调递减，上单调递增.
所以.又.
所以.由在上为增函数.
所以为上的增函数.又.
当趋于时，趋于，所以存在唯一，使得.
即，所以在上单调递减，在上单调递增，
所以.
所以.所以.
故.
21. 已知椭圆 为椭圆 的左、右焦点，过点 的任意直线 交椭圆 于、 两点，且的周长为8，椭圆 的离心率为 .
（1）椭圆 的方程；
（2）若 为椭圆 上的任一点， 为过焦点 的弦，且 ，求 的值.
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）利用椭圆的定义得到，再利用离心率和进行求解；
（2）先设出相关点的坐标，联立直线和椭圆的方程，得到关于的一元二次方程，利用根与系数的关系得到和，再利用进行 和
求解.
【小问1详解】
由题意可知， 的周长为
.
所以 ，又 ，
所以 ，则 ，
所以椭圆 的方程为 .
【小问2详解】
不妨令 .
所以 ，即.
当 时，不妨设直线 为 ，其中 .
直线 为 ，其中 .
联立方程 ，
得 .
所以 ，即 .
同理可得： .
又 .
所以 .
则
，
综上所述， .
22. 已知曲线 的参数方程为： ，（常数 为参数），在平面直角坐标系中，以坐标原点为极点，以 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，直线 的极坐标方程为： .
（1）求曲线 和直线 的普通方程
（2）若直线 交曲线 于 两点，直线 上点 的直角坐标为 ，求 的值.
【答案】（1）曲线C普通方程 ， 直线l普通方程
（2）
【解析】
【分析】（1）利用代入消元及极坐标转化为直角坐标即可求解；
（2）根据已知条件得出直线的参数方程，将直线的参数方程与曲线的直角坐标方程联立，利用韦达定理，结合直线参数方程中的参数的几何意义即可求解.
【小问1详解】
由 消去 得： .
由 ，即 .
又 .
所以直线 的普通方程为 .
【小问2详解】
由题意知直线 的参数方程为 .
联立方程 ，得 .
设两点对应的参数分别为，则
.
由参数 的几何意义可知：
.
23. 已知 ，且 .
（1）求证： ；
（2）求证： .
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】(1)用巧用“1”进行代入化简，再用基本不等式即可得证.
(2)将代入“”中，再进行化简，即可使用基本不等式求证.
【小问1详解】
证明：由 , 所以 . 所以
，
当且仅当 时取等号, 即 .由此得证.
【小问2详解】
证明：由
当且仅当 时取等号.由此得证.
