广汉市2022-2023学年高二上学期9月开学考试
数学试卷（理科） 原卷版
一 选择题（共12小题，每题5分，共60分，每题只有一个选项正确）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
2. 已知点是角终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知直线：，：，若，则a值为（ ）
A. 4 B. 2 C. －2 D. ±2
4. 在等比数列中，，，则等于（ ）
A. 81 B. C. 3 D. 243
5. 若，，则下列结论正确的是（ ）
A B.
C. D.
6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
7. 已知函数，则（ ）
A. B. 2 C. 5 D. 3
8. 已知,，若，则向量在向量方向的投影（ ）
A -3 B. -1 C. 1 D. 3
9. △ABC中, a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且 则角B的大小为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°
10. 若，满足，则最大值为（ ）．
A. 1 B. 3 C. 4 D. 6
11. 当圆的圆心到直线的距离最大时，（ ）
A. B. C. D.
12. 设函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
二 填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案写在答题卡上）
13. 已知一圆的圆心为点，该圆经过坐标原点，则圆的方程是___________.
14. 已知，且，的最小值是___________.
15. 设等差数列的前项和为，若，则的通项＝_______.
16. 若不等式对于任意△ABC恒成立，则的最小值为________．
三 解答题（共6小题，满分70分，解答应写出文字说明及演算步骤）
17. 已知平面内两点.
（1）求中垂线方程；
（2）求过点且与直线平行的直线的方程．
18. 在平面直角坐标系中，已知．
（1）若，求实数k的值；
（2）若，求实数t的值．
19. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求的最大值．
20. 已知数列是等比数列，，是16与的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前10项和．
21. 已知，，且．
（1）求的值；
（2）若，，且，求的值．
22. 已知数列的前n项和为，满足，数列满足，且.
（1）证明数列为等差数列，并求数列和的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，对任意的，都有，求实数a的取值范围.广汉市2022-2023学年高二上学期9月开学考试
数学试卷（理科） 解析版
一 选择题（共12小题，每题5分，共60分，每题只有一个选项正确）
1. 已知集合，，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】先根据二次不等式求集合，再根据集合并集运算求解.
【详解】∵，则
故选：C.
2. 已知点是角终边上一点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】利用任意角三角函数的定义即可求得的值.
【详解】因为点是角终边上一点，所以．
故选: D.
3. 已知直线：，：，若，则a的值为（ ）
A. 4 B. 2 C. －2 D. ±2
【答案】C
【解析】
【分析】依题意两直线平行则斜率相等，即可得到方程，求出参数的值，再代入检验即可；
【详解】解：因为直线：，：，且，所以解得，
当时：，：，两直线重合，故，所以.
故选：C
4. 在等比数列中，，，则等于（ ）
A. 81 B. C. 3 D. 243
【答案】A
【解析】
【分析】根据等比数列性质：若，则，整理求解.
【详解】∵数列为等比数列，则
∴
故选：A.
5. 若，，则下列结论正确的是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】利用不等式的基本性质可判断A，采用作差法逐一判断选项B,C,D的正误即可.
【详解】对于选项A：因为，，所以，故A不正确；
对于选项B：由于，因为，，所以，所以，即，故B正确；
对于选项C：因为，所以，故C不正确；
对于选项D：因为，所以，故D不正确.
故选：B.
6. 要得到函数的图象，只需将函数的图象（ ）
A. 向左平移个单位长度
B. 向右平移个单位长度
C. 向左平移个单位长度
D. 向右平移个单位长度
【答案】D
【解析】
【分析】由三角函数图象变换判断．
【详解】，因此将函数的图象向右平移个单位．
故选：D．
7. 已知函数，则（ ）
A. B. 2 C. 5 D. 3
【答案】A
【解析】
【分析】根据分段函数的定义计算．
【详解】由题意可知，f(－2022)＝f(－2019)＝…＝f(－3)＝f(0)＝log3(0＋1)－2＝－2．
故选：A．
8. 已知,，若，则向量在向量方向的投影（ ）
A. -3 B. -1 C. 1 D. 3
【答案】B
【解析】
【分析】
本题首先可以根据向量的运算法则将转化为,然后根据已知,以及向量在向量方向的投影为,最后代入数据计算,即可得出结果.
【详解】∵∴，
∴，向量在向量方向投影为．
故选B．
【点睛】本题考查了向量的相关性质,主要考查了向量的运算法则、向量的数量积以及投影的相关性质,考查计算能力与推理能力,难度较易.
9. △ABC中, a，b，c分别是内角A，B，C的对边，且 则角B的大小为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 120°
【答案】A
【解析】
【详解】由正弦定理得 可化为
化简得到，可以得到 ，由特殊角的三角函数值得到 .
故答案选A.
10. 若，满足，则的最大值为（ ）．
A. 1 B. 3 C. 4 D. 6
【答案】D
【解析】
【分析】先画出可行域，再由，得，作出直线向上平移过点B时，取得最大值，然后求出点B的坐标代入中可求得答案
【详解】不等式组表示的可行域如图所示，由，得，作出直线向上平移过点B时，取得最大值，
由，得，即，
所以的最大值为，
故选：D
11. 当圆的圆心到直线的距离最大时，（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】求出圆心坐标和直线过定点，当圆心和定点的连线与直线垂直时满足题意，再利用两直线垂直，斜率乘积为-1求解即可.
【详解】解：因为圆的圆心为,半径，
又因直线过定点A(-1,1),
故当与直线垂直时，圆心到直线的距离最大，
此时有，即，解得.
故选：C
12. 设函数，若对于任意的，不等式恒成立，则实数的取值范围是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】由题意知时的开口向上且值域，则问题转化为在上恒成立，讨论、，结合二次函数的性质求的取值范围.
【详解】∵，即开口向上且，
由恒成立，即在上恒成立，
∴当时，即，由二次函数的性质，显然成立；
当时，有两个零点，则只需满足，解得，故；
综上，的取值范围是.
故选：B
二 填空题（共4小题，每小题5分，共20分，将答案写在答题卡上）
13. 已知一圆的圆心为点，该圆经过坐标原点，则圆的方程是___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用已知条件求出圆的半径，进而可得出圆的方程．
【详解】圆心为点，且该圆经过坐标原点，半径，则圆的方程是
故答案为：
14. 已知，且，的最小值是___________.
【答案】
【解析】
【分析】利用基本不等式，结合“1”的变换，即可求解.
【详解】 ，
当且仅当时，即，时，等号成立.
故答案为：
15. 设等差数列的前项和为，若，则的通项＝_______.
【答案】
【解析】
【详解】试题分析：根据题意，由于等差数列的性质可知等差数列的前n项和为,若,，故可知数列2n，故答案为2n．
考点：等差数列
点评：本试题主要是考查了等差数列的求和以及通项公式的运用，属于中档题．
16. 若不等式对于任意△ABC恒成立，则的最小值为________．
【答案】5
【解析】
【分析】直接利用正弦定理角化边，然后利用三角形的两边之和大于第三边进行放缩，进而看成关于的二次函数即可求出值域，从而求出结果.
【详解】结合正弦定理得，
，
，
．
故答案为：5.
三 解答题（共6小题，满分70分，解答应写出文字说明及演算步骤）
17. 已知平面内两点.
（1）求的中垂线方程；
（2）求过点且与直线平行的直线的方程．
【答案】（1）; （2）.
【解析】
【详解】试题分析：
(1)首先求得中点坐标，然后求得斜率，最后利用点斜式公式即可求得直线方程；
(2)利用点斜式可得直线方程为.
试题解析：
（1）， ∴的中点坐标为
，∴的中垂线斜率为
∴由点斜式可得 ∴的中垂线方程为
（2）由点斜式 ∴直线的方程
18. 在平面直角坐标系中，已知．
（1）若，求实数k的值；
（2）若，求实数t的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由共线向量的坐标公式，可得答案；
（2）由垂直向量的数量积为零，根据坐标公式，可得答案.
【小问1详解】
因为．所以，，因为
所以，解得．
【小问2详解】
，因为，
所以，解得．
19. 在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a,b,c,设S为△ABC的面积，满足．
（Ⅰ）求角C的大小；
（Ⅱ）求的最大值．
【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）
【解析】
【详解】解：（1）由题意可知，；
（2）
当△ABC为等边三角形的时候取得最大值．
20. 已知数列是等比数列，，是16与的等差中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）求数列的前10项和．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）设数列的公比为q，由题知，可得，可求出，即可求出数列的通项公式；
（2）由（1），得，由裂项相消法即可求出答案
【小问1详解】
设数列的公比为q，由题知，
即，即，所以．
【小问2详解】
由（1），得，
所以．
21. 已知，，且．
（1）求的值；
（2）若，，且，求的值．
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）由向量垂直的坐标表示可求得，由，利用正余弦齐次式的求法可求得结果；
（2）利用同角三角函数关系可求得，根据，利用两角和差余弦公式可求得，结合范围可得结果.
【小问1详解】
由得：，，
.
【小问2详解】
由（1）知：，，，；
，，，又，；
，
又，.
22. 已知数列的前n项和为，满足，数列满足，且.
（1）证明数列为等差数列，并求数列和的通项公式；
（2）若，数列的前n项和为，对任意的，都有，求实数a的取值范围.
【答案】（1）证明见解析；，；
（2）
【解析】
【分析】（1）利用求的通项公式；利用定义法证明出为等差数列，进而求出数列的通项公式；（2）利用错位相减法求出数列的和,进一步利用函数的单调性求出结果
【小问1详解】
当时, ,所以；
当时,由可得：，两式相减得：.
又，从而数列为首项,公比的等比数列.
所以数列的通项公式为.
又，两边同除以得：，
从而数列为首项公差d=1等差数列，所以
数列的通项公式为.
【小问2详解】
由（1）得.
所以
①-②得：，
即
由（1）知，，
因为对任意的,都有,
即恒成立，
故,记，所以，
又因为
故数列为递增数列，所以当时,取最小值，
于是a的范围是.
