仁寿第一中学校2022-2023学年高二上学期9月开学考试
数学试题 解析版
一、选择题
1. 若点P（3，1）到直线l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距离为3，则a＝（ ）
A. 2 B. 3 C. D. 4
【答案】A
【解析】
【分析】利用点到直线的距离公式，求解即可．
【详解】解：点P（3，1）到直线l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距离为3，
可得3，解得a＝2，
故选：A．
2. 如图，中，，，点E是的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据向量的加法法则和减法法则进行运算即可.
【详解】
故选：B.
3. 已知向量满足，，且与的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】由向量数量积定义可求得，利用向量数量积的运算律可求得结果.
【详解】，
.
故选：C.
4. 在中，，若使绕直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积是（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】旋转体是一个圆锥，利用公式计算可求得表面积.
【详解】将绕直线旋转一周，得到一个底面半径为，高为的一个圆锥，
故所形成几何体的表面积，
故选：A．
5. 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示. 则该几何体的体积为（ ）
A. B.
C. D.
【答案】C
【解析】
【详解】试题分析：由三视图可知,上面是半径为的半球,体积为,下面是底面积为1,高为1的四棱锥,体积,故选C.
【考点】根据三视图求几何体的体积
【名师点睛】本题主要考查三视图及几何体的体积计算，本题涉及正四棱锥及球的体积计算，综合性较强，较全面地考查了考生的识图用图能力、空间想象能力、运算求解能力等.
6. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C. 若，则
D. 若，且与所成的角和与所成的角相等，则
【答案】B
【解析】
【分析】根据线线、线面、面面位置关系有关知识对选项进行分析，从而确定正确答案.
【详解】A选项，若，则与可能平行，所以A选项错误.
B选项，两个平面垂直于同一个平面，则这两个平面平行，所以B选项正确.
C选项，若，则可能含于，所以C选项错误.
D选项，若，且与所成的角和与所成的角相等，则可能与异面或相交，
故选：B
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】利用两角和差余弦公式和辅助角公式可求得，结合二倍角余弦公式可求得结果.
【详解】，，
.
故选：A.
8. 圆锥底面半径为1，高为，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长是（ ）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】利用平行线分线段成比例列方程，由此求得正方体的棱长.
【详解】过圆锥的顶点和正方体底面的一条对角线作圆锥的截面，如图所示，
可得圆锥的轴截面和正方体的对角面，
设正方体的棱长为，则，
设是圆锥底面圆心，则，，
由于，所以，
所以，解得，
即内接正方体棱长为.
故选：C
9. 已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面的距离为，，，则球O的表面积为（ ）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】根据题意得平面截球所得圆的半径（即的外接圆半径）为，进而根据勾股定理计算求解即可得，进而可得球的表面积.
【详解】∵中，，，
∴平面截球所得圆的半径（即的外接圆半径）为
又球心到平面的距离，
球O的半径，解得，
故球O的表面积，
故选：A．
【点睛】球的截面的性质：用一个平面去截球，截面是一个圆面，如果截面过球心，则截面圆半径等于球半径，如果截面圆不过球心，则截面圆半径小于球半径，设截面圆半径为，球半径为，球心到截面圆距离为，则．在圆中也有类似的性质．解题时注意应用．
10. 在正方形ABCD中，O为BD中点，将平面ABD沿对角线BD翻折，使得平面平面BCD，则直线AB与CD所成角的大小为（ ）
A. 30° B. 45° C. 60° D. 90°
【答案】C
【解析】
【分析】过、作、，且交于，连接、，即知直线AB与CD所成角即为或其补角，根据已知求，即可确定其大小.
【详解】过、作、，且交于，连接、，
所以直线AB与CD所成角即为或其补角，
若正方形ABCD边长为2，则，
而，面面BCD，面，面面，
所以面BCD，而面，即，且，
故，则△为等边三角形，故.
故选：C
11. 如图，为正方体，下列错误是（ ）
A. BD平面
B.
C. 平面平面
D. 异面直线与所成的角为60°
【答案】D
【解析】
【分析】对于A，用线面平行判定定理即可判断；对于B和D，利用线面垂直的性质和判定定理即可判断；对于C，利用线面垂直和性质和面面垂直的判定定理即可判断
【详解】解：如图，为正方体，
对于A，∵BD平面，平面，∴BD平面，故A正确；
对于B和D，易得平面，平面，∴，
∵，平面，∴平面，∵平面故B正确，D错误；
对于C，易得平面，平面，∴，
∵平面，
平面，∵平面，∴平面平面，故C正确.
故选：D.
12. 锐角中，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】根据已知条件及余弦定理，再利用正弦定理、三角形内角和定理及两角和的正弦公式，结合三角形的为锐角三角形得出角的范围即可求解
【详解】由，得，
由余弦定理得，所以，
即，由正弦定理得,
因为,
所以,
即.
因为为锐角三角形，
所以或，解得或（舍），
因为为锐角三角形，.
所以.
故选：B.
二、填空题
13. 已知△ABC的平面直观图是边长为的正三角形，那么原△ABC的面积为
【答案】##
【解析】
【分析】根据原图和直观图的关系求得原图的面积.
【详解】直观图如下图所示，是边长为的正三角形，是的中点，
，过作，交轴于，
由于，所以是等腰直角三角形，
所以.
原图如下图所示，则三角形的高等于，
所以三角形的面积为.
故答案为：
14. 在球面上有四点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，则这个球的表面积是
【答案】##
【解析】
【分析】通过补形的方法求得球的半径，进而求得球的表面积.
【详解】依题意，两两垂直，且，
由此补形成正方体如下图所示，
则四面体外接球，也即是正方体的外接球，
所以求的半径为，
所以球的表面积为.
故答案为：
15. 如图,无人机在离地面高200m的A处,观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN为_________m.
【答案】300
【解析】
【详解】试题分析：由条件，,所以,,,所以,,这样在中，,在中，，解得,中，，故填：300.
考点：解斜三角形
【思路点睛】考察了解三角形的实际问题，属于基础题型，首先要弄清楚两个概念，仰角和俯角，都指视线与水平线的夹角，将问题所涉及的边和角在不同的三角形内转化，最后用正弦定理解决高度.
16. 在中，.若，，且，则的值为
【答案】
【解析】
【分析】根据向量运算列方程，化简求得的值.
【详解】，
，由，得：
，
解得.
故答案：
三、解答题
17. 已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：平面.
【答案】证明见解析
【解析】
【分析】通过构造平行四边形的方法，结合线面平行的判定定理证得结论成立.
【详解】设的中点为，连接，
因为是的中点，所以，
因为四边形是平行四边形，是的中点，所以，
所以，则四边形是平行四边形，
所以，
因为平面，平面，
所以平面.
18. 如图四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD＝60°，PA⊥面ABCD，E 是AB的中点，F是PC的中点.
（1）求证：DE⊥平面PAB
（2）求证：平面.
【答案】（1）证明见解析
（2）证明见解析
【解析】
【分析】（1）通过证明来证得平面.
（2）通过构造平行四边形的方法，结合线面平行的判定定理证得平面.
【小问1详解】
由于四边形是菱形，，
所以三角形是等边三角形，而是的中点，所以.
由于平面平面，所以，
由于平面，
所以平面.
【小问2详解】
取的中点，连接，
由于是的中点，是的中点，所以，
由于是的中点，所以，
所以，所以四边形是平行四边形，所以，
由于平面，平面，
所以平面.
19. 已知函数.
(1)求函数的最小正周期;
(2)在中，角所对的边分别为，且满足，求的取值范围.
【答案】(1);(2)
【解析】
【分析】（1）用两角差余弦公式、辅助角公式，化简，即可求出周期；
（2）用正弦定理将条件等式化为角，结合三角形内角和关系，可求出，求出的范围，整体替换结合正弦函数的值域，即可求解.
【详解】(1)由
，
则的最小正周期;
(2)由正弦定理:
则，
由，
则，则，
由，
所以，
由，则
由，则，
所以，则，
所以.
【点睛】本题考查三角函数恒等变换以及图像与性质，考查正弦定理边角互化，考查计算能力，属于中档题.
20. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
（1）求A；
（2）若，D是BC上的点，AD平分，求AD的长
【答案】（1）
（2）
【解析】
【分析】（1）运用正弦定理边化角即可；
（2）首先运用余弦定理求出b，根据角平分线的特点运用面积相等的方法即可求解.
【小问1详解】
由正弦定理可得 ，
∵，
∴ ，
可得...
∵，∴；
【小问2详解】
依题设，设，
由余弦定理得 ，
由题设知： 即，
又 ，
由 可得：
，
所以 ，
解得，即；
综上，，.
21. 在①；②公差为，且成等比数列；③；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，______.
（1）求数列通项公式；
（2）令，其中表示不超过的最大整数，求的值.
【答案】（1）选①，；选②，；选③，
（2）选①，58；选②，69；选③，106
【解析】
【分析】（1）首选选择①②③其中之一，然后计算出等差数列的首项和公差，从而求得.
（2）根据数列的规律求得.
【小问1详解】
依题意，数列是公差不为零的等差数列，设其首项为，公差为.
若选①，则，解得，所以.
若选②，则，解得，所以.
若选③，则，所以.
【小问2详解】
若选①，，则当时，有：
，所以.
若选②，，则当时，有：
，所以.
若选③，,则当时，有：
，所以.
22. 已知正项数列的首项，前n项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列的前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
【答案】（1）；
（2）或.
【解析】
【分析】（1）化简数列的递推公式，得，进而可求解数列的通项公式；
（2）利用裂项法，求解，列出不等式，即求.
【小问1详解】
当时，，
∴，即，又，
所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，故，
又由（），
当时，也适合，
所以.
【小问2详解】
∵，
∴，
又∵对任意的，不等式恒成立，，
∴，解得或.
即所求实数的范围是或.仁寿第一中学校2022-2023学年高二上学期9月开学考试
数学试题 原卷版
一、选择题
1. 若点P（3，1）到直线l：3x+4y+a＝0（a＞0）的距离为3，则a＝（ ）
A. 2 B. 3 C. D. 4
2. 如图，中，，，点E是的三等分点，则（ ）
A. B. C. D.
3. 已知向量满足，，且与的夹角为，则（ ）
A. B. C. D.
4. 在中，，若使绕直线旋转一周，则所形成的几何体的表面积是（ ）
A B. C. D.
5. 一个由半球和四棱锥组成的几何体，其三视图如图所示. 则该几何体的体积为（ ）
A B.
C. D.
6. 设是两个不同的平面，是两条不同的直线，则下列命题中正确的是（ ）
A. 若，则
B. 若，则
C 若，则
D. 若，且与所成的角和与所成的角相等，则
7. 已知，则（ ）
A. B. C. D.
8. 圆锥底面半径为1，高为，其中有一个内接正方体，求这个内接正方体的棱长是（ ）
A. B. C. D.
9. 已知球O的半径为R，A，B，C三点在球O的球面上，球心O到平面的距离为，，，则球O的表面积为（ ）
A. B. C. D.
10. 在正方形ABCD中，O为BD中点，将平面ABD沿对角线BD翻折，使得平面平面BCD，则直线AB与CD所成角的大小为（ ）
A 30° B. 45° C. 60° D. 90°
11. 如图，为正方体，下列错误的是（ ）
A. BD平面
B.
C. 平面平面
D. 异面直线与所成的角为60°
12. 锐角中，若，则的取值范围是（ ）
A. B. C. D.
二、填空题
13. 已知△ABC的平面直观图是边长为的正三角形，那么原△ABC的面积为
14. 在球面上有四点P、A、B、C，如果PA、PB、PC两两垂直，且PA＝PB＝PC＝a，则这个球的表面积是
15. 如图,无人机在离地面高200m的A处,观测到山顶M处的仰角为15°、山脚C处的俯角为45°,已知∠MCN=60°,则山的高度MN为_________m.
16. 在中，.若，，且，则的值为
三、解答题
17. 已知P是平行四边形ABCD所在平面外一点，E、F分别为AB、PD的中点，求证：平面.
18. 如图四棱锥P﹣ABCD的底面ABCD是菱形，∠BCD＝60°，PA⊥面ABCD，E 是AB的中点，F是PC的中点.
（1）求证：DE⊥平面PAB
（2）求证：平面.
19. 已知函数.
(1)求函数的最小正周期;
(2)在中，角所对的边分别为，且满足，求的取值范围.
20. 已知△ABC的内角A，B，C所对的边分别是a，b，c，且
（1）求A；
（2）若，D是BC上的点，AD平分，求AD的长
21. 在①；②公差为，且成等比数列；③；三个条件中任选一个，补充在下面问题中，并给出解答.问题：已知数列是公差不为零的等差数列，其前项和为，______.
（1）求数列的通项公式；
（2）令，其中表示不超过的最大整数，求的值.
22. 已知正项数列的首项，前n项和满足.
（1）求数列的通项公式；
（2）记数列前n项和为，若对任意的，不等式恒成立，求实数a的取值范围.
