2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修一1.1.1 空间向量及其线性运算 导学案（有答案）

1.1.1空间向量及其线性运算
【学习目标】
1. 熟练掌握空间向量的加法，减法，向量的数乘运算，向量的数量积运算及其坐标表示；
2. 熟练掌握空间线段的长度公式、夹角公式、两点间距离公式、中点坐标公式，并能熟练用这些公式解决有关问题.
【学习过程】
1. 具有 和 的量叫向量， 叫向量的模； 叫零向量，记着 ； 具有 叫单位向量.
2. 向量的加法和减法的运算法则有 法则 和 法则.
3.实数λ与向量a的积是一个 量，记作 ，其长度和方向规定如下：
(1)|λa|＝ .
(2)当λ＞0时，λa与A. ；当λ＜0时，λa与A. ；当λ＝0时，λa＝ .
4. 向量加法和数乘向量运算律：
交换律：a＋b＝ 结合律：(a＋b)＋c＝ 数乘分配律：λ(a＋b)＝
5.① 表示空间向量的 所在的直线互相 或 ，则这些向量叫共线向量，也叫平行向量.
②空间向量共线定理：对空间任意两个向量（）， 的充要条件是存在唯一实数， 使得 ；
③ 推论： l为经过已知点A且平行于已知非零向量的直线，对空间的任意一点O，点P在直线l上的充要条件是
6. 空间向量共面：
①共面向量： 同一平面的向量.
②定理：对空间两个不共线向量，向量与向量共面的充要条件是存在 ， 使得 .
③推论：空间一点P与不在同一直线上的三点A,B,C共面的充要条件是：
⑴ 存在 ，使
⑵ 对空间任意一点O，有
7.向量的数量积： .
8. 单位正交分解：如果空间一个基底的三个基向量互相 ，长度都为 ，则这个基底叫做单位正交基底，通常用｛i,j,k｝表示.
9.空间向量的坐标表示：给定一个空间直角坐标系O-xyz和向量a，且设i、j、k为 x轴、y轴、z轴正方向的单位向量，则存在有序实数组，使得，则称有序实数组为向量a的坐标，记着 .
10. 设A，B，则＝ .
11. 向量的直角坐标运算：
设a＝，b＝，则
⑴a＋b＝ ； ⑵a－b＝ ；⑶λa＝ ；
⑷a·b＝
二、动手试试
1．如图，在四棱柱的上底面中，，则下列向量相等的是（　　）
A．与 B．与 C．与 D．与
2．已知三棱锥中，E是的中点，则（ ）
A． B． C． D．
3．已知在长方体中，点E是的中点，点F是AE的三等分点，且，则（ ）
A． B．
C． D．
4．给出下列命题
①空间中所有的单位向量都相等；②方向相反的两个向量是相反向量；
③若满足，且同向，则；
④零向量没有方向；⑤对于任意向量，必有．
其中正确命题的序号为（ ）
A．①②③ B．⑤ C．④⑤ D．①⑤
5．如图，在长方体中，下列各式运算结果为的有（ ）
①; ②;③;
④;⑤;⑥．
A．3个 B．4个 C．5个 D．6个
6．如图所示，在平行六面体中，设，，，N是BC的中点，用，，表示为（ ）
A． B．
C． D．
7．如图所示，在平行六面体中，与的交点为M．设，则下列向量中与相等的向量是（ ）
A． B． C． D．
8．在直三棱柱中，若，则=____________.(用表示)
9．已知P和不共线三点A,B,C,四点共面且对于空间任意一点O，都有 ，则λ＝________.
10．如图，在正方体中，为其中心．
（1）化简；
（2）若，则可以是图中有向线段所示向量中的哪一个？（至少写出两个）
参考答案：
D2．D3．D4．B5．D6．A7．A8．
9．－2
10．（1）；（2）可以是中的任一个．
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