2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修一1.1.2 空间向量的数量积运算 学案（有答案）
文档属性
| 名称 | 2022-2023学年高二上学期数学人教A版（2019）选择性必修一1.1.2 空间向量的数量积运算 学案（有答案） |  | |
| 格式 | zip | ||
| 文件大小 | 359.2KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-11 10:31:46 | ||
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文档简介
1.1.2空间向量的数量积运算
【学习目标】
1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律。
2．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题。
【学习过程】
一、预习
1．空间向量的夹角
定义 已知两个非零向量在空间中任取一点O，作则∠AOB叫做向量的夹角
记法
范围 _______。当<>=
想一想：<>与<>相等吗？<>与<>呢？
2．空间向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量，则||||
（2）数量积的运算律：
数乘向量与向量数量积的结合律
交换律 =________
分配律
（3）数量积的性质
两个向量积的性质 （1）若
（3）若θ为
（4）
想一想：类比平面向量，你能说出的几何意义吗？
3．如何理解空间向量的夹角？
（1）任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围同两个平面向量夹角范围一样，即；
（2）空间向量的夹解在之间，但直线夹角在内，利用向量求直线夹角时注意转化，两直线的夹角余弦值一定为非负数。
4．如何理解平面向量与空间向量数量积的关系？
由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等都与平面向量相同。
5．怎样理解向量的应用？
由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，所以许多立体几何中的问题，如距离、夹角、垂直等问题的求解，都可借助向量的数量积运算加以解决。
（1）=||||可用来求两个向量的夹角、两条异面直线所成的角。
（2），用于判断空间两个向量（或空间两条直线）的垂直。
（3），用于对向量模的计算，求两点间的距离和线段的长度。
拓展：（1）空间向量数量积运算不满足消去律，即
（2）空间向量的数量积运算不满足结合律，即不正确。
二、课堂互动
类型一：利用数量积求夹角
例1：如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线BC1与AC的夹角的大小。
类型二：利用数量积求两点间的距离
例2：如图，已知线段AB⊥平面αBCα，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF=30°，D与A在α的同侧，若AB=BC=CD=2，求A．D两点间的距离。
类型三：利用数量积证明垂直关系
例3：如图已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD，求证CA1⊥B1D1．
【达标检测】
一、单选题
1．在正方体中，等于（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
2．已知，，，且与垂直，则λ等于（ ）
A． B． C． D．1
3．已知在平行六面体中，，，，，，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
4．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
5．已知向量，，是一组单位向量，且两两垂直．若，，则的值为（ ）．
A．7 B． C．28 D．11
6．如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于，点，，分别是，，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．已知空间中四点，，，，若，则________．（填“”“”或“”）
9．已知，，，，，则以，为邻边的平行四边形的对角线的长为________．
10．在正方体中，有下列命题：①；②；③与的夹角为60°．
其中正确的命题序号是______．
三、解答题
11．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点分别是的中点，计算：
（1）；
（2）.
参考答案：
1．D2．A3．D4．A5．C6．B7．B8．9．10．①②11．（1）；（2）.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页
【学习目标】
1．掌握空间向量夹角的概念及表示方法，掌握两个向量的数量积概念、性质和计算方法及运算规律。
2．掌握两个向量的数量积的主要用途，会用它解决立体几何中一些简单的问题。
【学习过程】
一、预习
1．空间向量的夹角
定义 已知两个非零向量在空间中任取一点O，作则∠AOB叫做向量的夹角
记法
范围 _______。当<>=
想一想：<>与<>相等吗？<>与<>呢？
2．空间向量的数量积
（1）定义：已知两个非零向量，则||||
（2）数量积的运算律：
数乘向量与向量数量积的结合律
交换律 =________
分配律
（3）数量积的性质
两个向量积的性质 （1）若
（3）若θ为
（4）
想一想：类比平面向量，你能说出的几何意义吗？
3．如何理解空间向量的夹角？
（1）任意两个空间向量均是共面的，故空间向量夹角范围同两个平面向量夹角范围一样，即；
（2）空间向量的夹解在之间，但直线夹角在内，利用向量求直线夹角时注意转化，两直线的夹角余弦值一定为非负数。
4．如何理解平面向量与空间向量数量积的关系？
由于空间任意两个向量都可以转化为共面向量，所以空间两个向量的夹角的定义和取值范围、两个向量垂直的定义和表示符号、向量的模的概念和表示符号、以及运算律等都与平面向量相同。
5．怎样理解向量的应用？
由于空间向量的数量积与向量的模和夹角有关，所以许多立体几何中的问题，如距离、夹角、垂直等问题的求解，都可借助向量的数量积运算加以解决。
（1）=||||可用来求两个向量的夹角、两条异面直线所成的角。
（2），用于判断空间两个向量（或空间两条直线）的垂直。
（3），用于对向量模的计算，求两点间的距离和线段的长度。
拓展：（1）空间向量数量积运算不满足消去律，即
（2）空间向量的数量积运算不满足结合律，即不正确。
二、课堂互动
类型一：利用数量积求夹角
例1：如图，在正方体ABCD—A1B1C1D1中，求直线BC1与AC的夹角的大小。
类型二：利用数量积求两点间的距离
例2：如图，已知线段AB⊥平面αBCα，CD⊥BC，DF⊥平面α，且∠DCF=30°，D与A在α的同侧，若AB=BC=CD=2，求A．D两点间的距离。
类型三：利用数量积证明垂直关系
例3：如图已知平行六面体ABCD—A1B1C1D1的底面ABCD是菱形，且∠C1CB=∠C1CD=∠BCD，求证CA1⊥B1D1．
【达标检测】
一、单选题
1．在正方体中，等于（ ）
A．30° B．60° C．90° D．120°
2．已知，，，且与垂直，则λ等于（ ）
A． B． C． D．1
3．已知在平行六面体中，，，，，，，则的长为（ ）．
A． B． C． D．
4．在如图所示的正方体中，下列各对向量的夹角为45°的是（ ）
A．与
B．与
C．与
D．与
5．已知向量，，是一组单位向量，且两两垂直．若，，则的值为（ ）．
A．7 B． C．28 D．11
6．如图，空间四边形的每条边和对角线长都等于，点，，分别是，，的中点，则（ ）
A． B． C． D．
7．已知，是夹角为的两个单位向量，则与的夹角是（ ）
A． B． C． D．
二、填空题
8．已知空间中四点，，，，若，则________．（填“”“”或“”）
9．已知，，，，，则以，为邻边的平行四边形的对角线的长为________．
10．在正方体中，有下列命题：①；②；③与的夹角为60°．
其中正确的命题序号是______．
三、解答题
11．如图所示，已知空间四边形的每条边和对角线长都等于1，点分别是的中点，计算：
（1）；
（2）.
参考答案：
1．D2．A3．D4．A5．C6．B7．B8．9．10．①②11．（1）；（2）.
试卷第1页，共3页
试卷第1页，共3页