“西南汇”联考2022-2023学年高三上学期9月开学考试文科数学试题（Word版含解析）
文档属性
| 名称 | “西南汇”联考2022-2023学年高三上学期9月开学考试文科数学试题（Word版含解析） |  | |
| 格式 | docx | ||
| 文件大小 | 89.7KB | ||
| 资源类型 | 教案 | ||
| 版本资源 | 人教A版（2019） | ||
| 科目 | 数学 | ||
| 更新时间 | 2022-09-11 10:37:24 | ||
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文档简介
2022年“西南汇”联考2023届高三第一学期开学考
文科数学总分: 150分
单选题（5分*12）
1. 设集合 ，则( )
A. B. C. D.
2. 设复数 满足 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 函数 的零点共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4. 已知 ，且 为第四象限角，则 ( )
A. B.
C. D.
5. 已知正方体 中， 分別为 的中点，则( )
A. B.
C. D.
6. 已知函数 ，下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期是
B. 的图象关于直线 对称
C. 在区间 上单调递增
D. 的图象可由 的图象向左平移 个单位得到
7. 已知 均为单位向量，且满足 ，命题 ，命题 ，则下列命题恒为真命题的是( )
A. B.
C. D.
8. 的最小值为( )
A. B. C. D.
9. 已知一个定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
10. 已知某校高三年级共 人，按照顺序从 到 编学号.为了如实了解学生“是否有带智能手机进入校园的行为”，设计如下调查方案：先从装有 个黑球和 个白球的不透明盒子中随机取出 个球，如果是白球，回答问题一；否则回答问题二.问题如下：一、你的学号的末位数字是奇数吗？二、你是否有带智能手机进入校园的行为？现在高三年级 人全部参与调查，经统计：有 人回答“否”，其余人回答“是”.则该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数大概为( )
A. B. C. D.
11. 单位正四面体的外接球内接的最大正三角形边长为( )
A. B.
C. D.
12. 设 ，则( )
A. B.
C. D.，
填空题（5分*4）
13. 已知函数 则 ____________.
14. 函数 的一条过原点的切线方程为____________.
15. 设 是抛物线 的焦点，点 在抛物线 上， ，若 ，则 ____________.
16. 的外心为 ，三个内角 所对的边分别为 ， .则 面积的最大值为____________.
解答题部分
17. （12分）记数列 前 项和为 .
(1)证明： 为等差数列；
(2)若 ，记 为数列 的前 项积，证明： .
18. （12分）已知 的内角 所对的边分别为 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 .
19. （12分）在三棱锥 中，平面 平面 是 的中点.
(1)证明： ；
(2)若 ，求点 到平面 的距离.
20. （12分）设函数 为常数).
(1)讨论 的单调性；
(2)讨论函数 的零点个数.
21. （12分）设椭圆 ，右焦点 ，短轴长为2，直线 与 轴的交点到右焦点的距离为 .
(1)求 的方程；
(2)点 均在 上，且满足 ，若 与 轴交点为 ，求满足条件的点 的坐标.
选考题
22. （10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程是 ( 为参数)，正方形 的顶点均在 上，且 依逆时针次序排列，点 .
(1)求 的普通方程及点 的坐标；
(2)设 为 上任意一点，求 的最小值.
23. （10分）[选修4-5：不等式选讲]
已知 为正实数， .
(1)求证： ；
(2)求证： .
试卷第2页，总3页
答案
1. B
【解析】
由题意，得 .
2. C
【解析】
由题意，得 .则 .
3. C
【解析】
当 时 无解；
当 时， 有解
综上，函数 有 个零点.
4. A
【解析】
为第四象限，
，
.
5. D
【解析】
建立如图坐标系，不妨设正方体的棱长为 .
则 .
故 .
6. D
【解析】
，故 选项错误；
令 ，
此时对应的 不为整数，
直线 不为其对称轴，故 选项错误；
上，函数 单调递减，故 选项错误；
将 的图象向左移 个单位得
.故D选项正确.
7. B
【解析】
条件说明 的夹角和 的夹角相等，作图知 命题必有一个为真命题，故恒为真命题的是 .
8. A
【解析】
原式 .
9. D
【解析】
由题意，得 .则 单调递增.
又 当 时， ；
当 时， .
时， 的解集为 .
又 为奇函数， 为偶函数，
的解集为 .
10. B
【解析】
理想情况下， 人分为 (人)和 (人)，
人中将有 人回答“否”，则 人中有 (人)回答“否”， 人回答“是”，
则问是否带手机的回答是人数约占 ，
该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数约为 (人).
11. C
【解析】
如图为单位正四面体 .
过点 作面 的垂线交面于点 为外接球球心，
则 为 的中心，
.
不妨设 .
在 中，由勾股定理，得 .解得 .
最大正三角形得边长为 .
12. B
【解析】
，
，
在 上 ，
在 上 单调递增 ，
.
13.
【解析】
原式 .
14.
【解析】
由题意，得 的切线方程为
当 时，此直线过原点，故函数 过原点的一条切线方程为 .
15.
【解析】
由题意，得 .
点 到抛物线准线的距离为 .
抛物线的准线方程为 ，
或 ，
.
16.
【解析】
设 的中点为 ，则 .
，
，
17.
证明：
(1)由题意，得 .
则 .
两式相减，得 ，
即 ，
是等差数列.
(2) ，
18.
(1) .(2) .
【解析】
(1)由题意，得 .
，
.
(2)将 代入(1)中两式，得 .
.
当 时，解得 ；
当 时，解得 .
又 ， .
，
.
19. (1)证明：由题意，得
面 .
又 ，
面 .
(2)根据中点性质，知点 到 的距离为点 到 的距离的平均值.
点 到 的距离为 .
20.
(1)由题意，得 .
又 ，
在 上， ，在 上， ，
在 上单调递减， 上单调递增.
(2)由(1)的结论不妨有 .
又 均 ，
只需证 .
构造函数 .
则
，
当 时，等号成立，不能取到，
故 ，
说明 恒成立，结论得证.
21.
(1) .
(2)符合条件的点 的坐标有 或 或 .
【解析】
(1)由题意，得
.
即椭圆 的方程为 .
(2)当 轴时，此时点 不存在；
当 不平行 轴时，不妨设 .
联立直线 和椭圆C的方程，得 .
则 .
由韦达定理，得 .
设 的中点为 ，则 .
.
结合直线 和 ，得 .
，
即 .
若 ，则 ，
将 代入 ，解得 .
.经验证：符合 ，此时点 的坐标为 ；
若 ，即 ，解得 .
经验证：符合 ，此时点 的坐标为 或 .
综上所述，符合条件的点 的坐标有 或 或 .
22.
(1)曲线 的普通方程为 ；
.
(2) .
【解析】
(1)曲线 的普通方程为 ；
.
(2)设 .
原式
.
当 时取等号，其最小值为 .
23.
证明：(1)由三元柯西不等式，得
原式 .
当 时，取等号.
(2)由平均不等式，得
整理，得 .
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
当 时，取等号.答案第8页，总8页
文科数学总分: 150分
单选题（5分*12）
1. 设集合 ，则( )
A. B. C. D.
2. 设复数 满足 ，则 ( )
A. B. C. D.
3. 函数 的零点共有( )
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
4. 已知 ，且 为第四象限角，则 ( )
A. B.
C. D.
5. 已知正方体 中， 分別为 的中点，则( )
A. B.
C. D.
6. 已知函数 ，下列说法正确的是( )
A. 的最小正周期是
B. 的图象关于直线 对称
C. 在区间 上单调递增
D. 的图象可由 的图象向左平移 个单位得到
7. 已知 均为单位向量，且满足 ，命题 ，命题 ，则下列命题恒为真命题的是( )
A. B.
C. D.
8. 的最小值为( )
A. B. C. D.
9. 已知一个定义在 上的奇函数 ，当 时， ，则不等式 的解集为( )
A. B.
C. D.
10. 已知某校高三年级共 人，按照顺序从 到 编学号.为了如实了解学生“是否有带智能手机进入校园的行为”，设计如下调查方案：先从装有 个黑球和 个白球的不透明盒子中随机取出 个球，如果是白球，回答问题一；否则回答问题二.问题如下：一、你的学号的末位数字是奇数吗？二、你是否有带智能手机进入校园的行为？现在高三年级 人全部参与调查，经统计：有 人回答“否”，其余人回答“是”.则该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数大概为( )
A. B. C. D.
11. 单位正四面体的外接球内接的最大正三角形边长为( )
A. B.
C. D.
12. 设 ，则( )
A. B.
C. D.，
填空题（5分*4）
13. 已知函数 则 ____________.
14. 函数 的一条过原点的切线方程为____________.
15. 设 是抛物线 的焦点，点 在抛物线 上， ，若 ，则 ____________.
16. 的外心为 ，三个内角 所对的边分别为 ， .则 面积的最大值为____________.
解答题部分
17. （12分）记数列 前 项和为 .
(1)证明： 为等差数列；
(2)若 ，记 为数列 的前 项积，证明： .
18. （12分）已知 的内角 所对的边分别为 .
(1)求 ；
(2)若 ，求 .
19. （12分）在三棱锥 中，平面 平面 是 的中点.
(1)证明： ；
(2)若 ，求点 到平面 的距离.
20. （12分）设函数 为常数).
(1)讨论 的单调性；
(2)讨论函数 的零点个数.
21. （12分）设椭圆 ，右焦点 ，短轴长为2，直线 与 轴的交点到右焦点的距离为 .
(1)求 的方程；
(2)点 均在 上，且满足 ，若 与 轴交点为 ，求满足条件的点 的坐标.
选考题
22. （10分）[选修4-4：坐标系与参数方程]
在平面直角坐标系 中，曲线 的参数方程是 ( 为参数)，正方形 的顶点均在 上，且 依逆时针次序排列，点 .
(1)求 的普通方程及点 的坐标；
(2)设 为 上任意一点，求 的最小值.
23. （10分）[选修4-5：不等式选讲]
已知 为正实数， .
(1)求证： ；
(2)求证： .
试卷第2页，总3页
答案
1. B
【解析】
由题意，得 .
2. C
【解析】
由题意，得 .则 .
3. C
【解析】
当 时 无解；
当 时， 有解
综上，函数 有 个零点.
4. A
【解析】
为第四象限，
，
.
5. D
【解析】
建立如图坐标系，不妨设正方体的棱长为 .
则 .
故 .
6. D
【解析】
，故 选项错误；
令 ，
此时对应的 不为整数，
直线 不为其对称轴，故 选项错误；
上，函数 单调递减，故 选项错误；
将 的图象向左移 个单位得
.故D选项正确.
7. B
【解析】
条件说明 的夹角和 的夹角相等，作图知 命题必有一个为真命题，故恒为真命题的是 .
8. A
【解析】
原式 .
9. D
【解析】
由题意，得 .则 单调递增.
又 当 时， ；
当 时， .
时， 的解集为 .
又 为奇函数， 为偶函数，
的解集为 .
10. B
【解析】
理想情况下， 人分为 (人)和 (人)，
人中将有 人回答“否”，则 人中有 (人)回答“否”， 人回答“是”，
则问是否带手机的回答是人数约占 ，
该校高三年级“带智能手机进入校园”的人数约为 (人).
11. C
【解析】
如图为单位正四面体 .
过点 作面 的垂线交面于点 为外接球球心，
则 为 的中心，
.
不妨设 .
在 中，由勾股定理，得 .解得 .
最大正三角形得边长为 .
12. B
【解析】
，
，
在 上 ，
在 上 单调递增 ，
.
13.
【解析】
原式 .
14.
【解析】
由题意，得 的切线方程为
当 时，此直线过原点，故函数 过原点的一条切线方程为 .
15.
【解析】
由题意，得 .
点 到抛物线准线的距离为 .
抛物线的准线方程为 ，
或 ，
.
16.
【解析】
设 的中点为 ，则 .
，
，
17.
证明：
(1)由题意，得 .
则 .
两式相减，得 ，
即 ，
是等差数列.
(2) ，
18.
(1) .(2) .
【解析】
(1)由题意，得 .
，
.
(2)将 代入(1)中两式，得 .
.
当 时，解得 ；
当 时，解得 .
又 ， .
，
.
19. (1)证明：由题意，得
面 .
又 ，
面 .
(2)根据中点性质，知点 到 的距离为点 到 的距离的平均值.
点 到 的距离为 .
20.
(1)由题意，得 .
又 ，
在 上， ，在 上， ，
在 上单调递减， 上单调递增.
(2)由(1)的结论不妨有 .
又 均 ，
只需证 .
构造函数 .
则
，
当 时，等号成立，不能取到，
故 ，
说明 恒成立，结论得证.
21.
(1) .
(2)符合条件的点 的坐标有 或 或 .
【解析】
(1)由题意，得
.
即椭圆 的方程为 .
(2)当 轴时，此时点 不存在；
当 不平行 轴时，不妨设 .
联立直线 和椭圆C的方程，得 .
则 .
由韦达定理，得 .
设 的中点为 ，则 .
.
结合直线 和 ，得 .
，
即 .
若 ，则 ，
将 代入 ，解得 .
.经验证：符合 ，此时点 的坐标为 ；
若 ，即 ，解得 .
经验证：符合 ，此时点 的坐标为 或 .
综上所述，符合条件的点 的坐标有 或 或 .
22.
(1)曲线 的普通方程为 ；
.
(2) .
【解析】
(1)曲线 的普通方程为 ；
.
(2)设 .
原式
.
当 时取等号，其最小值为 .
23.
证明：(1)由三元柯西不等式，得
原式 .
当 时，取等号.
(2)由平均不等式，得
整理，得 .
本卷由系统自动生成，请仔细校对后使用，答案仅供参考。
当 时，取等号.答案第8页，总8页
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