4.1.1 n次方根与分数指数幂教学设计-2022-2023学年高一上学期数学人教A版（2019）必修第一册

【课题】n次方根
教材分析
本节课是新版教材人教A版普通高中课程标准实验教科书数学必修1第四章第4.1节《n次方根与分数指数幂》第1课时。从内容上看它是我们初中学过的乘方运算、开平方和开立方运算的延伸，本节以此为出发点，引出了开n次方根的概念，并将指数由整数推广到了分数。体现了由特殊到一般的思想方法，同时本节课在整章中占有基础地位，为指数函数的学习奠定基础。
教学目标与核心素养
知识与技能
理解并掌握根式的概念、分数指数幂的概念；理解根式与分数指数幂的互化；掌握有理指数幂的运算性质。
过程与方法
让学生通过实例初步接触分数指数幂；将已知的平方根和立方根的概念推广到一般的n次方根，体会从一般到特殊的转化；从根式的意义出发将整数指数幂推广到分数指数幂从而推广到有理指数幂，学会根式与分数指数幂的互化，掌握有理数指数幂的运算性质。
情感态度与价值观
让学生在观察、探究、发现中学习，渗透应用意识，培养归纳思维能力和逻辑推理能力，形成对立统一、相互联系、相互转化的思想。培养学生勇于探索的精神，体会从特殊到一般的研究方法，发展数学核心素养。
学科素养
数学抽象：根式的概念；逻辑推理：根式与分数指数幂的互化；数学运算：根式的化简；直观想象：指数幂的运算法则；数学建模：将指数幂的运算性质推广到有理数的范围。
教学重难点
重点：根式的概念，分数指数幂的概念 ；
难点：根式与分数指数幂的互化；有理数指数幂的运算性质。
教学方法。
讲述法、练习法
教学手段
讲课
教学过程
教学过程设计
问题引入：
问题1：初中已经学过了整数指数幂，形如，例如：22，164.
而在学习幂函数时，我们把正方形场地的边长c关于面积S的函数记作。像这样以分数为指数的幂，其意义是什么呢？下面我们从已知的平方根和立方根的意义入手。
（二）新知探究：
【通过几道小题复习平方根和立方根的知识】
1、复习辨析
（1）实数a的立方根只有一个。（）
（2）当时，。 （）
（3）。（）
【答案】（1）√（2）×（3）×
思考探究
【思考1】4的平方根是什么？任何一个实数都有平方根吗？一个数的平方根有几个？
【思考2】-27的立方根是什么？任何一个实数都有立方根吗？一个数的立方根有几个？
【思考3】一般地，实常数a的平方根、立方根是什么概念？
平方根：如果，那么x叫做a的平方根。例如：2就是4的平方根。
立方根：如果，那么x叫做a的立方根。例如：2就是8的立方根。
【思考4】如果、、，参照上面的说法，这里的x分别叫什么名称？
【思考5】那一般地，如果，那么我们该如何称呼x？（推广到一般情形，a的n次方根是一个什么概念？试给出其定义）
3、n次方根的概念
n次方根：一般地，如果，那么x叫做a的n次方根，其中,且
设计意图：通过温故知新，帮助学生在学方根和立方根概念的基础上，正确理解根式的概念，培养和发展数学抽象、逻辑推理和数学运算的核心素养。
4、根式的概念
我们把式子（,且）叫做根式，这里n叫做根指数，a叫做被开方数。
【思考】：a的n次方根用根式怎么表示？
当n是奇数时，a的n次方根为 .
当n是偶数时,若a>0，则a的n次方根为： ;
若a=0，则a的n次方根为：0；
若a<0，则a的n次方根：不存在.【思考：为什么负数没有偶次方根？】
（三）巩固练习
填空
（1）已知，则x=_____
（2）32的五次方根是_____；-32的五方根是_____；的立方根是______；
（3）16的4次方根是______；-16的4次方根是_____；
（4）0的六次方根是_______；0的七次方根是______.
【总结n次方根的性质】（填空）
当n是奇数时，正数的n次方根是一个正数，负数的n次方根是一个负数。
当n是偶数时，正数的n次方根有两个，这两个数互为相反数。
负数没有偶次方根。
0的任何次方根都是0，记作
若有意义，求实数x的取值范围。
【反思感悟】a的n次方根的表示
n的奇偶性 a的n次方根的表示符号 a的取值范围
n为奇数 a∈R
n为偶数 [0，＋∞)
跟踪训练1、已知，，给出下列四个式子：①②③④其中无意义的有（）
A.1个 B.2个 C.3个 D.0个
【答案】A
跟踪训练2、若有意义，则x的取值范围是______。
若有意义，则x的取值范围是______。
探究根式的性质
【思考1】分别等于什么？一般地 等于什么？
根据n次方根的意义，可得【用定义证明这个等式成立】。
【思考2】分别等于什么？一般地等于什么？
当n为奇数时，；
当n为偶数时，
【思考3】中的字母a的取值范围是否一样
求下列各式的值：
； （2）； （3）；（4）
化简
【反思感悟】
跟踪训练1、化简：
； （2）
（3）
跟踪训练2、若，求a的取值范围。
（四）课堂小结：
1.知识清单：
(1)n次方根的概念、表示及性质.
(2)根式的性质.
2.常见误区：
(1)根式中根指数要求n>1且n∈N*.
(2)对于，当n为偶数时，a≥0.