湖北省武汉市第四十三高级中学2022-2023学年高二上学期9月开学检测数学试题（PDF版含答案）

武汉市第四十三高级中学2022-2023学年高二上学期9月开学检测
数学
一、单项选择题：本大题共 8小题，每小题 5分，共 40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合
题目要求的.
1．已知复数 z满足 z i i 2 i，则 z的虚部为（ ）
A． i B． 3i C． 1 D． 3
2．为了研究某种病毒与血型之间的关系，决定从被感染的人群中抽取样本进行调查，这些感染人群中 O型
血、A型血、B型血、AB型血的人数比为 4:3:3:2，现用比例分配的分层随机抽样方法抽取一个样本量为 n的
样本，已知样本中 O型血的人数比 AB型血的人数多 20，则 n （ ）
A．100 B．120 C．200 D．240
2 cos2 sin2
3 3 sin 2 ．若
cos
，则 sin 2 （ ）
4
2 2 1 1A． B． C． D．
3 3 3 3

4．设 x, y R

，向量a x，1 ，b （1, y），c 1, 2 , a c 且 ，b / /c ，则 x y （ ）
A．0 B．1 C．2 D．3
5．设 ， 是互不重合的平面， l，m， n是互不重合的直线，下列命题中正确的是（ ）
A．若m ， n ，m//n，则 // B．若 ， =l，m l，m ，则m
C．若 // ，m ，n ，则m//n D．若m l，n l，m ，n ，则 l

6．在 ABC中，角 A,B,C的对边分别为 a,b,c ，已知三个向量m a, cos
A
，n b, cos
B
, p c, cos
C
共
2 2 2
线，则 ABC的形状为（ ）
A．等边三角形 B．钝角三角形
C ．有一个角是 6 的直角三角形 D．等腰直角三角形
7．如图，在三棱锥 P ABC中， PA BC 3， PB AC 2，PC AB 5，
则三棱锥 P ABC外接球的体积为（ ）
A． 2 B． 3 C． 6 D．6
8．在正方体 ABCD A B C D 中， E为棱DC上的动点，F 为线段 B E的中点.给出下列四个
① B E AD ；②直线D F 与平面 ABB A 所成角不变；
试卷第 1页，共 4页
③点 F 到直线 AB的距离不变；④点 F 到 A,D,D ,A 四点的距离相等.其中，所有正确结论的序号为（ ）
A．②③ B．③④ C．①③④ D．①②④
二、多项选择题：本题共 4小题，每小题 5分，共 20分.在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，
全部选对的得 5分，部分选对的得 2分，有选错的得 0分.
1 i
9．已知复数 z ，以下结论正确的是（ ）
1 i
A． z 2021是纯虚数 B． z i 2
C． z z 1 D．在复平面内，复数 z z i对应的点位于第三象限
10．某学校为了了解学生一周内在生活方面的支出情况，从全校学生中随机抽取 n名学生进行调查，得到
频率分布直方图如图所示，其中支出在[50，60]内的学
生有 60人，则下列说法正确的是（ ）
A．样本中数据的中位数小于 41
B．样本中支出不少于 40元的人数为 132
C．全校学生支出的众数约为 45元
D．若该校有 2000名学生，则约有 600人的支出在[50，60]内
11．已知 f (x) sin( x ) 0,| |


7
的图象关于点 ,0 对称，相邻两条对称轴的距离为 ，则下
2 12 2
列说法正确的是（ ）
π
A． 2，
6
B ．将函数 f (x)的图象向右平移 6 个单位长度后，得到的图象关于 y轴对称

C

．函数 f (x)在 0, 上的单调递减区间为 2
,
3 2
D．为了得到 f (x)的图象，可以将函数 y sin 2x 的图象向右平移 6 个单位
12．已知正四面体的外接球、内切球的球面上各有一动点M 、 N，若线段MN的最小值为 6，则（ ）
A．正四面体的棱长为 6 B．正四面体的内切球的表面积为 6
C．正四面体的外接球的体积为8 6 D．线段MN的最大值为2 6
三、填空题：本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分请将答案填在答题卡对应题号的位置上，填错位置，
书写不清，模棱两可均不得分.
13．某同学5次上学途中所花的时间（单位：分钟）分别为 x，y，8，10，12 .已知这组数据的平均数为10，
标准差为 2，则 x y的值为____________.
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14 ．已知向量 a，b 满足 a 1, 3 ，b 1,0 ，则向量 a在b 上的投影向量为________．
15．如图，四边形 ABCD为正方形， AG 平面 ABCD， AG / /DF / /CE，若
AG AB 3，DF 2，CE 1，则VB EGD :VG BEF ______．
16．已知 ABC的内角 A，B，C所对的边分别为 a，b，c，且
sin B π cos
π 3
B

，若 ABC为钝角三角形， a c 3，则 外接圆
3 6 4
ABC
的半径 R的取值范围是__________．
四、解答题：本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.

17．（本小题满分 10分）平面内给定三个向量 a (2,5)， b ( 1,2)， c (4,1) .
(1) 求满足 a mb n c 的实数m， n；

(2)若 (a k c)//(3b a) ，求实数 k的值.
18．（本小题满分 12分）
已知 a,b,c分别为 ABC的内角 A,B,C所对的边，且满足 a c b sinA sinC sinB csinB
(1)求角A的大小；
(2)若 a 2 3，求 ABC面积的最大值.
19．（本小题满分 12分）如图，直三棱柱 ABC A1B1C1中， AC BC 1， ACB 120 ， AA1 3 .
(1)证明： A1B1∥平面 ABC1；
(2)求点C到平面 ABC1的距离.
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20．（本小题满分 12分）某校对 2021年高一上学期期中数学考试成绩（单位：分）进行分析，随机抽取100
名学生，将分数按照 30,50 ， 50,70 ， 70,90 ， 90,110 ， 110,130 ， 130,150 分成 6组，制成了如图
所示的频率分布直方图：
(1)估计该校高一期中数学考试成绩的平均分；
(2)估计该校高一期中数学考试成绩的第80百分位数；
(3)为了进一步了解学生对数学学习的情况，由频率分
布直方图，成绩在 50,70 和 70,90 的两组中，用按比
例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，再从这5
名学生中随机抽取 2．名学生进行问卷调查，求抽取的
这 2名学生至少有1人成绩在 50,70 内的概率．
21．（本小题满分 12分）如图，在四棱锥 P ABCD中，底面 ABCD是矩形，PA AD 4， AB 2，PA
平面 ABCD，且M 是 PD的中点.
(1)求证： AM 平面 PCD；
(2)求异面直线CD与 BM 所成角的正切值；
(3)求直线CD与平面 ACM 所成角的正弦值.

22．（本小题满分 12分）已知函数 f (x) 2sin 2x 1．
3
（1）求 f x 的单调递增区间；
7 13 2 （ ）当 x , 时，关于 x的方程[ f (x)]2 (2m 1) f (x) m
2 m 0恰有三个不同的实数根，求m的
12 12
取值范围．
试卷第 4页，共 4页
参考答案
1 2 3 4 5 6 7 8
D B A A B A C C
9 10 11 12
ABD BCD BC ABD
13 14 15 16
2 1,0 2 :1 (1, 3)
1．D
2 i
【详解】解：因为 z i i 2 i，所以 z i 1 3i，所以 z的虚部为 3 .故选：D
i
2．B
【详解】因为感染人群中 O型血、A型血、B型血、AB型血的人数比为 4:3:3:2，
4 2
所以，抽取样本量为 n的样本中，O型血的人数为 n， AB型血的人数为 n，所以，
4 3 3 2 4 3 3 2
4 n 2 n 20，解得n 120 故选：B
4 3 3 2 4 3 3 2
3．A
【详解】由 cos sin 0可得1 sin2 0，则 sin 2 1，
2 cos2 sin2
3 sin 2 2 cos sin 因为 2 ， cos sin
2
3sin2等式两边平方可得 2 4 1 sin 2 ，即3sin2 2 4sin2 4 0，
1 sin 2 2 1，解得 sin 2 .故选：A.
3
4．A

【详解】由题意向量 a x，1 ，b （1, y），c 1, 2 ,且 a c，b / /c ，
x 1 1 2 0 x 2
故得： ，解得 ，故 x y 0
1 2 y 1 0
，故选：A
y 2
5．B
【详解】对于 A，m ， n ，m//n，则 , 可能相交，也可能平行，故 A错误‘
对于 B, 若 ， =l，m l，m ，根据面面垂直的性质定理m ，故 B正确；
对于 C, 若 // ，m ，n ，则 m,n可能平行也可能异面，故 C错误；
对于 D，若m l，n l，m ，n ，由于不能确定 m,n是否相交，故不能确定 l ，故 D错误，故
选:B
答案第 1页，共 8页
6．A
A
【详解】 向量m (a, cos )， n (b, cos
B ) B A共线， a cos b cos ，
2 2 2 2
由正弦定理： sin Acos
B sin B cos A A A B B ， 2sin cos cos 2sin cos
B cos A，
2 2 2 2 2 2 2 2
则 sin
A
sin B，
2 2
0 A 0 B A B ， ， ，即 A B．同理可得 B C． ABC形状为等边三角形．故选：A．
2 2 2 2 2 2
7．C
【详解】解：由题意， PA BC 3， PB AC 2， PC AB 5，
将三棱锥 P ABC放到长方体中，可得长方体的三条对角线分别为 3，2， 5，
设长方体的长、宽、高分别为 a,b,c，
则 a2 b2 3， a2 c2 2， c2 b2 5，解得a 1，b 2， c 3．
所以三棱锥 P ABC R 1 a2 b2 c2 6外接球的半径 ．
2 2
4三棱锥 P ABC 3外接球的体积V R 6 ．故选：C
3
8．C
【详解】如下图，当 E在棱DC上运动时，B E始终在平面 A B CD中，由 AD A D, AD CD，A D CD D
可得 AD 平面A B CD，所以B E AD ，故①正确，
此时点 F的轨迹为线段 F1F2 ，如下图可知， F1F2 //AB， F1F2 过正方形 ADD A 中心G且 F1F2 平面ADD A ，
故③④正确，
如下图，延长D F 与 AB的延长线交于H，连接 A H，则 A HD 即为直线D F 与平面 ABB A 所成角，
A D
当点H在 BM 上运动时， A D 不变而HD 在变，所以 sin A HD 不是定值，
HD
故②错误.
故选：C.
答案第 2页，共 8页
9．ABD
1 i 1 iz 1 i 2i【详解】 i1 i 1 i 1 i 2
对于 A， z2021 i2021 i4 505 1 i， z2021为纯虚数，A正确；
对于 B， z i 2i 2，B正确；
对于 C， z z i i i2 1，C错误；
对于 D， z z i i i2 1 i， z z i对应的点为 1, 1 ，位于第三象限，D正确.故选：ABD.
10．BCD
【详解】在 A中，设样本数据的中位数为 x，则 0.01 0.024 10 x 40 0.036 0.5，解得 x≈44.44>41，
故 A错误；
在 B中，样本中支出在 50,60 内的频率为1 0.01 0.024 0.036 10 0.3，样本中支出不少于 40元的人
0.36 60
数为 60 132，故 B正确；
0
40 50
在 C中，由频率分布直方图得样本中学生支出的众数约为 45（元），所以全校学生支出的众数约
2
为 45元，故 C正确；
在 D中，若该校有 2000名学生，则约有 2000×0.3=600人的支出在 50,60 内，故 D正确.
故选：BCD.
11．BC

【详解】解：因为相邻两条对称轴的距离为 ，故周期为 ，则 2，
2
7
图象关于点 ,0

对称，则 2
7
k ，因为 | |

，所以 ，A错；
12 12 2 6

f (x) sin(2x 6 )
f (x) ，将函数 的图象向右平移 6 个单位长度后得
y sin 2x cos2x，该函数是偶函数，
2
图象关于 y轴对称，B正确；

令 2k
3
2x 2k k x 5 ，得 k ,k Z，
2 6 2 3 6

所以函数 f (x)
0, 在 上的单调递减区间为 , 2 3 2
，C正确；

为了得到 f (x)

的图象，应该将函数 y sin 2x的图象向右平移 12 个单位，D错．故选：BC.
答案第 3页，共 8页
12．ABD
2
【详解】设这个四面体的棱长为 a，则此四面体可看作棱长为 a的正方体截得的，所以四面体的外接球
2
即为正方体的外接球，外接球直径为正方体的对角线长，
2
2 6 6
设外接球的半径为 R，内切球的半径为 r，则 2R 3 a a，所以R a，
2 2 4
2
3 6 1 1
四面体的高为 h a2 a a，则等体积法可得 Sh 4 Sr r
1 h 6，所以 a，
3 3 3 3 4 12
R r 6 6由题意得 ，所以 a 6 a 6，解得 a 6所以 A正确，
4 12
3
6 4 4 3 6
所以 R 6 3 6 ，所以外接球的体积为 R3 27 6 ，所以 C错误，
4 2 3 3
2
2
6 6 6
因为内切球半径为 r 6 ，所以内切球的表面积为 4 r 2 4 6 ，所以 B正确，12 2 2
线段MN 3 6 6的最大值为R r 2 6 ，所以 D正确，故选：ABD
2 2
13． 2
1
【详解】平均数为 (x y 10 12 8) 10 x y 205 ，即 ①，
1
方差为 [(x 10)2 (y 10)2 (10 10)2 (12 10)2 (8 10)2 ] 2，即 (x 10)2 (y 10)2 25 ②，
由①②解得 x 9， y 11或 x 11， y 9，
所以当 x 9， y 11时， x y 2；当 x 11， y 9， x y 2 故答案为： 2．
14． 1,0

a

b
【详解】由题知， a在b 上的投影为 a cos a,b ，又 a 1, 3 ，b 1,0b ，

所以 a b 1 1 3 0 1 ， b 12 02 1 ；

所以 a cos a,b 1 ，即 a在b 上的投影为 1 ；

b
又b 的单位向量为 1,0 b ，所以 a在b 上的投影向量为 1,0 故答案为： 1,0 .
答案第 4页，共 8页
15． 2 :1
【详解】将几何体补全为正方体，如下图示，
VG BEF VABCD GIHJ VG HEBJ VG HIFE VB CDFE VB DFGA
27 1 3 1 5 3 1 3 1 3 3 1 3 1 3 3 1 3 1 5 3 3
3 2 3 2 3 2 3 2 .
VB EGD VABCD GIHJ VG HEBJ VG HIDE VE BCD VG ABD
27 1 3 1 5 3 1 3 1 5 3 1 1 1 1 3 3 3 1 3 3 6 .
3 2 3 2 3 2 3 2
所以VB EGD :VG BEF 2 :1 .故答案为： 2 :1
16． (1, 3)
π π 3 π 3 π 3
【详解】因为 sin B cos B ，所以 sin2 B sin B ，
3 6 4 3 4 3 2
0 B π π B π 4π B π 2π B π又因为： ，所以 ，
3 3 3 3 3 3
a c a c 3
由正弦定理有： 2R ,
sin A sinC sin A sinC sin A sinC
sin A sinC sin A 2π sin A 3而 sin A
3
cos A 3 sin A
π
,
3 2 2 6
π 2π 2π π 5π
又因为 ABC为钝角三角形，不妨设 A 1 π, A sin A 3则 ，则 ,
2 3 3 6 6 2 6 2
3 3 3
所以 sin A+sinC ,所以 ABC外接圆的半径 R (1, 3) .故答案为： (1, 3) .
2 2 2 sin A sinC

17 (1) ． 解：因为 a (2,5)， b ( 1,2)， c (4,1)，且 a mb n c ，
m 4n 2
2,5 m 1,2 n 4,1 m 4n, 2m n ， ，解得m 2， n 1
2m n 5
(2) 解： a k c 2,5 k 4,1 4k 2,k 5 ，3b a 3 1,2 2,5 5,1 .

因为 (a k c)//(3b a) ， 4k 2 5 k 5 9k 27 0，解得 k 3 .
答案第 5页，共 8页
18．（1）在 ABC中，由题意及正弦定理得 a c b a c b bc，整理得b2 c2 a 2 bc，由余弦定理
b2 c2 2
得 cosA a bc 1 ，因为0 A ，所以 A ；
2bc 2bc 2 3

（2）方法一：由（1）知，A ，又 a 2 3，所以12 b2 c2 bc 2bc bc bc ，所以 bc 12，当且仅当
3
1 1 3
b c 2 3时，等号成立，所以 S ABC bcsinA 12 3 3 ；方法二：由（1）知，A ，又 a 2 3，max 2 2 2 3
a b c 2 3
4
所以由正弦定理，知 sinA sinB sinC ，所以b 4sinB,c 4sinC，所以sin
3
2
S 1 ABC bcsinA 8sinBsinC
3
4 3sinBsinC，又因为 B C ，所以
2 2 3

4 3sinBsinC 4 3sinBsin 2 B

4 3sinB
3
cosB
1
sinB 3 2 3 sin2B
1 cos2B

3

2 2 2 2
2 3sin 2B

3 B C 2 2 7 ，因为 ，所以0 B , 2B ，所以当 2B ，即 B
6 3 3 6 6 6 6 2 3
时， ABC的面积取得最大值，最大值为3 3 .
19．(1)证明：∵ ABC A1B1C1为直三棱柱，∴ A1B1∥ AB
又 A1B1 平面 ABC1， AB 平面 ABC1，∴ A1B1∥平面 ABC1
(2)解：在 ABC中， AC BC 1， ACB 120 ，
则 AB 3， ABC 1 3的面积为 1 1 sin120
2 4
∵ ABC A1B1C1为直三棱柱，∴CC1⊥平面 ABC，
∴CC1⊥AC，从而 AC1 BC1 2
取 AB的中点D，连接C1D，则C1D AB，C1D
13

2
ABC 1 3 13 39∴ 1的面积为 ，
2 2 4
设点C到平面 ABC1的距离为 h，
V =V 1 3 1 39 39由于 C1 ABC C ABC1 ∴ 3 h，解得 h 3 4 3 4 13
故点C到平面 ABC 391的距离为 .
13
答案第 6页，共 8页
20． (1)解：由0.005 20 0.005 20 0.0075 20 0.02 20 a 20 0.0025 20 1，得 a 0.01.
数学成绩在： 30,50 频率0.0050 20 0.1， 50,70 频率 0.0050 20 0.1，
70,90 频率0.0075 20 0.15， 90,110 频率0.0200 20 0.4，
110,130 频率0.0100 20 0.2， 130,150 频率 0.0025 20 0.05，
样本平均值为： 40 0.1 60 0.1 80 0.15 100 0.4 120 0.2 140 0.05 93，
可以估计样本数据中数学成绩均值为93分，据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩估计93分．
(2)解：由 1 知样本数据中数学考试成绩在110分以下所占比例为0.1 0.1 0.15 0.4 0.75，
在130分以下所占比例为0.75 0.2 0.95
因此，第80百分位数一定位于 110,130 110 20 0.8 0.75内，由 115，
0.95 0.75
可以估计样本数据的第80百分位数约为115分，
据此可以估计该校高一下学期期中数学考试成绩第80百分位数约为115分.
(3)解：由题意可知， 50,70 分数段的人数为100 0.1 10 (人)，
70,90 分数段的人数为100 0.15 15 (人)．
用按比例分配的分层随机抽样的方法抽取5名学生，则需在 50,70 分数段内抽 2人，分别记为 A1， A2，需
在 70,90 分数段内抽3人，分别记为 B1， B2， B3，
设“从样本中任取 2人，至少有1人在分数段 50,70 内”为事件A，
则样本空间 A1A2 , A1B1, A1B2 , A1B3, A2B1, A2B2 , A2B3,B1B2 ,B1B3,B2B3 共包含10个样本点
而A的对立事件 A B1B2 ,B1B3,B2B3 包含3个样本点
所以 P A 3 ，所以 P A 1 P A 7 7 ，即抽取的这 2名学生至少有1人在 50,70 内的概率为 ．10 10 10
21．（1）解：∵ PA 平面 ABCD，CD 平面 ABCD，∴ PA CD，又四边形 ABCD是矩形，
∴CD DA，∵DA PA A，∴CD 平面 PAD，∵ AM 平面 PAD，∴CD AM ，
又M 是 PD的中点， PA AD 4，∴ AM PD，∵CD PD D，所以 AM 平面 PCD .
（2）解：∵底面 ABCD是矩形，∴CD / /BA，∴异面直线CD与 BM所成角为直线 BA与直线 BM 所成的角，
由（1）得CD 平面 PAD，∴ BA⊥平面 PAD，
∵ AM 平面 PAD，∴ BA AM ，∴ BAM 为直角三角形，
答案第 7页，共 8页
又M 是 PD的中点，PA AD 4，∴ AM 2 2，∴在Rt BAM中， ABM 为异面直线CD与 BM 所成角，
故 tan ABM
AM
2，∴异面直线CD与 BM 所成角的正切值为 .
AB 2
（3）解：取 AD中点为 N ，连接MN， AC，在△PAD中，M ,N分别为线段 PD, AD的中点，
故MN / /PA,MN
1
PA 2，∵ PA 平面 ABCD，∴MN 平面 ABCD，
2
V 1 MN 1∴ M ACD AD CD
8
，由（1）得 AM 平面 PCD，∵MC 平面 PCD，∴ AM MC，
3 2 3
∵ PA AD 4，∴ PD 4 2,MD 2 2
1
又 AB CD 2，∴MC 2 3 ,∴ S AMC AM MC 2 6，2
设点D到平面 AMC的距离为 h，直线CD与平面 ACM所成角为 ，
1 8 4 h 6
则VD AMC h S V3 AMC M ACD
，解得： h ，故
3 6 sin
，
CD 3
所以直线CD与平面 ACM 6所成角的正弦值为 .
3
5
22．【详解】（1）令 2k 2x 2k (k Z)2 3 2 ，解得 k x k (k Z)12 12 ，
f x k ,k 5 故 的单调递增区间为 (k Z) 12 12
（2） [ f (x)]2 (2m 1) f (x) m2 m 0等价于 [ f (x) (m 1)][ f (x) m] 0，
解得 f x m 1或 f x m，
x 7 因为 ,
13 5 11
，所以 2x , ， f (x) [ 1,2]，如图，绘出函数
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f x 的图像，方程 [ f (x)]2 (2m 1) f (x) m2 m 0有三个不同的实数根
等价于 f (x) m 1有一个实数解且 f x m有两个不同的实数解
或 f x m 1有两个不同的实数解且 f x m有一个实数解，
①当m 1或m 2时， f x m无解，不符合题意；
②当m 1时，则m 1 0， f x m有一个实数解， f x m 1有两个不同的实数解，符合题意；
③当 1 m 0时，则0 m 1 2， f x m有两个不同的实数解， f x m 1有一个实数解，符合题意；
④当0 m 2时，则1 m 1 3， f x m有一个实数解， f x m 1至多有一个实数解，不符合题意.
综上，m的取值范围为[ 1,0]．
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