第一章 勾股定理单元质量检测试卷A（含答案）

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北师大版2022-20203年八年级（上）第一章勾股定理检测试卷A
(时间120分钟，满分120分)
一、选择题（共12小题；每小题3分，共36分）
1. 如图，在 中，，， 是 的两条中线， 是 上一个动点，则下列线段的长等于 最小值的是
A. B. C. D.
2. 如图所示，正方体的棱长为 ，一只蜘蛛从正方体的一个顶点 爬行到另一个顶点 ，则蜘蛛爬行的最短距离的平方是
A. B. C. D.
3. 如图，将一根长为 （）的橡皮筋水平放置在桌面上，固定两端 和 ，然后把中点 竖直地向上拉升 至 点，则拉长后橡皮筋的长度为
A. B. C. D.
4. 如图，在 中， 是 上一点，已知 ，，，，则 的长为
A. B. C. D.
5. 在 中，， 是 上异于 ， 的一点，则 的值是
A. B. C. D.
6. 如图， 是一张纸片，，，，现将其折叠，使点 与点 重合，折痕为 ，则 的长为
A. B. C. D.
7. 如图是一个四级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 ，，， 和 是这个台阶上两个相对的端点，点 处有一只蚂蚁，想到点 处去吃可口的食物，则蚂蚁沿着台阶面爬行到点 的最短路程为
A. B. C. D.
8. 如图，一根长 米的竹竿 斜靠在竖直的墙上，这时 为 米，若竹竿的顶端 沿墙下滑 米至 处，则竹竿底端 外移的距离
A. 小于 米 B. 等于 米 C. 大于 米 D. 以上都不对
9. 下列四组线段中，可以构成直角三角形的是
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
10. 图 是第七届国际数学教育大会（）的会徽图案，它是由一串有公共顶点 的直角三角形（如图 所示）演化而成的．如果图 中的 ，那么 的长为
A. B. C. D.
11. 如图所示，已知在三角形纸片 中，，，，在 上取一点 ，以 为折痕，折叠 ，使点 与 延长线上的点 重合，则 的长度为
A. B. C. D.
12. 如图，若圆柱的底面周长是 ，高是 ，从圆柱底部 处沿侧面缠绕一圈丝线到顶部 处，则这条丝线的最小长度是
A. B. C. D.
二、填空题（共6小题；每小题4分，共24分）
13. 如图，在一根长 的灯管上，缠满了彩色丝带，已知可近似地将灯管看作圆柱体，且底面周长为 ，彩色丝带均匀地缠绕了 圈，则彩色丝带的总长度为 ．
14. 如图，已知平行四边形 ， 是边 的中点，连接 并延长，与 的延长线交于点 ．设 ，，那么向量 用向量 ， 表示为 ．
15. 如图， 中，，，， 是 的中点，则 ．
16. 如图， 中，，点 为 边上的一点，延长 至点 ，使得 ，当 时，过 作 于 ，，，则 面积为 ．
17. 如图，在 中，，，点 ， 分别在 边和 边上，沿着直线 翻折 ，点 落在 边上，记为点 ，如果 ，那么 ．
18. 如图，在一款名为超级玛丽的游戏中，马里奥到达一个高为 的高台 ，利用旗杆顶部的绳索，划过 到达与高台 水平距离为 ，高为 的矮台 ，马里奥在荡绳索过程中离地面的最低点的高度 ．
三、解答题（共7小题；共60分）
19. （8分）如图，在四边形 中，，，，．分别以点 ， 为圆心，大于 的长为半径作弧，两弧交于点 ，作射线 交 于点 ，交 于点 ，点 是 的中点．
（1）求证：；
（2）求 的长．
20. （8分）如图，某圆柱形水杯的高为 ，底面周长为 ，在外侧杯底的点 处有一只蚂蚁，与它相对的内测距杯口 的 处有一滴蜂蜜，求蚂蚁吃到蜂蜜所走的最短路程．
21. （10分）如图，在边长为 的小正方形组成的网格中， 的三个顶点均在格点上，请按要求完成下列各题：
（1）画线段 且使 ，连接 ；
（2）线段 的长为 ， 的长为 ， 的长为 ；
（3） 为 三角形，四边形 的面积为 ．
22. （8分）如图，在 中，，，，将 折叠，使点 恰好落在边 上，与点 重合， 为折痕，求 的长．
23. （8分）“身边的方程思想”学习研究
人类对代数方程的研究源远流长，古埃及的纸草书和巴比伦的泥板书中，已有一元方程、二次方程及某些一元三次方程解法的记载，在我国，东汉初年编成的《 九章算术》中收集了许多关于方程（组）的算题，流传后世．
（1）【实践 】《九章算术》中有一题：“今有户高多于广六尺八寸，两隅相去适一丈．问户高、广各几何．”大意是说：已知长方形门的高比宽多 尺 寸，门的对角线长 丈，那么门的高和宽各是多少 （ 丈等于 尺， 尺等于 寸）
若用本章所学的知识来解决上述问题，可设长方形门的宽为 尺，高为 尺，则可列方程组为 ；
若设长方形门的宽为 尺，则可列方程为 ．
（2）【实践 】在数学史上，有许多数学家为代数方程理论的发展作出过贡献，请查阅相关资料，了解代数方程发展历史中的关键人物和相关数学成就．（如图中的数学家和相关数学著作可作为查阅的参考线索）
（3）【实践 】通过上述两项实践活动，我们知道古今中外，人们一直利用方程来解决实际问题．其实我们身边也有可以用方程思想解决问题的事例，请你以小组形式，展开研究，完成一份研究报告表（见表 ），并在班级中与同伴交流分享活动经验，完成组间互评表（见表 ）．
表 “身边的方程思想”研究报告表
表 “身边的方程思想”组间互评表
24. （10分）如果三角形有一边上的中线恰好等于这边的长，那么我们称这个三角形为“美丽三角形”．（注：直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半）
（1）如图 ，在 中，，，求证： 是“美丽三角形”；
（2）如图 ，在 中，，，若 是“美丽三角形”，求 的长．
25. （8分）如图所示的是一个三级台阶，它的每一级的长、宽、高分别为 ，，， 和 是这个台阶的两个相对的端点， 点有一只蚂蚁，想到 点去吃可口的食物，问：蚂蚁沿着台阶面爬行到 点的最短路程是多少
答案
第一部分
1. B
【解析】如图连接 ，
，，
，
，
，
，
，， 共线时， 的值最小，最小值为 的长度．
2. D
【解析】将正方体的前面、上面展开放在同一平面上，连接 ，如图所示，
爬行的最短路径为线段 ．
由勾股定理得，，
故选D．
3. B
【解析】 中，，；
根据勾股定理，得：；
同理可得 ，
；
故拉长后橡皮筋的长度为 ．
故选：B．
4. A
【解析】，，，
，，即 ，
为直角三角形，且 ，
，
，，
，
．
故选A．
5. B
【解析】过点 作 于 ．
，，
，，，
故选：B．
6. C
【解析】 在 中，，
，
．
由折叠可得 ，，，
设 ，则 ，
在 中，，即 ，解得 ．
在 中，，
．
7. C
8. A
【解析】在 中， 米， 米，
米，
在 中， 米， 米，
米，
（米）．
9. A
10. A
【解析】因为 ，
所以由勾股定理可得 ，
，
，
所以 ，
所以 ．
11. C
【解析】，，，
，
由翻折的性质得，，，
，，
在 中，，
即 ，
解得 ．
12. D
【解析】如图，圆柱侧面展开图为长方形，连接 ，
根据勾股定理得 ，
所以 ．
第二部分
13.
【解析】如图，
设彩色丝带的总长度为 ，
则 ，
．
14.
【解析】如图，连接 ，．
四边形 是平行四边形，
，．
．
又 是边 的中点，
，
，即点 是 的中点，
四边形 是平行四边形，
，故 ，
．
15.
【解析】，，，
，
由勾股定理的逆定理得 是直角三角形，
．
16.
【解析】，
，
，
，
，
，
，
设 ，
，
，
，
在 中，
，
解得：，
即 ，
，
过点 作 于点 ，如图，
在 和 中，
，
，，
，
设 ，
在 中，，
解得：，
即 ，
．
17.
18.
【解析】作 ，，
，
，
在 和 中，
，
，，
即 ，
，
，
，
，
，
，
在 中，由勾股定理得 ，
故 ，
．
马里奥在荡绳索过程中离地面的最低点的高度 为 ．
第三部分
19. （1） ，
，
，，
，
．
（2） 连接 ，
易证 垂直平分 ，
，
由（）知 ，
，．
在 中，
，
，
，
．
20. 如图为圆柱的侧面展开图，
设点 关于杯口所在直线的对称点为 ，连接 ，
易得 ，，
在 中，
，
．
故蚂蚁吃到蜂蜜所走的最短路程是 ．
21. （1） 如图：
（2） ；；
（3） 直角；
22. 根据折叠可得 ，，
设 ，则 ，
，，，
在 中，由勾股定理得，，
，
在 中，由勾股定理得，，
解得 ．
23. （1） ；
（2） 略．
（3） 略．
24. （1） 如图，过点 作 于 ，
因为 ，，，
所以 ，
又因为 ，
所以由勾股定理得，，
所以 ，
所以 是“美丽三角形”．
（2） 如图，作中线 ，，
当 边上的中线 时，
因为 ，点 为 的中点，
所以 ，，
所以 ，
当 边上的中线 时，
则 ，
由勾股定理得：，
即 ，
解得：（舍负）．
综上所述， 的长是 或 ．
25. 经分析，如图，
把台阶看成是由纸片折成的，将其拉平成一张长方形（宽为 ，长为 ）的纸，连接 ，则线段 即为最短路径，因为 ，所以 ，即蚂蚁沿着台阶面爬行到 点的最短路程是 ．
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