北师大版2022--2023八年级（上）数学第一单元质量检测试卷C（含答案）

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北师大版2022-2023学年八年级（上）第一章勾股定理检测试卷C
(时间120分钟，满分120分)
一、选择题（共12小题；每小题3分，共36分）
1. 下列各组数中能作为直角三角形的三边长的是
A. ，， B. ，， C. ，， D. ，，
2. 在 中，若 ，则
A. B.
C. D.
3. 如图，正方体的棱长为 ， 是正方体的一个顶点， 是侧面正方形对角线的交点．一只蚂蚁在正方体的表面上爬行，从点 爬到点 的最短路径长是
A. B. C. D.
4. 如图，小方格都是边长为 的正方形，则 中 边上的高是
A. B. C. D.
5. 如图，在 中，． 中 边上的高等于 的长度， 中 边上的高等于 的长度． 中 边上的高等于 的长度，且 ， 的面积分别是 和 ，则 的面积是
A. B. C. D.
6. 如图所示，将一根长为 的橡皮筋水平放置在桌面上，固定两端 和 ，然后把中点 竖直地向上拉升 至 点，则拉长后橡皮筋的长度为
A. B. C. D.
7. 如图，一圆柱高 ，底面半径为 ，一只蚂蚁从点 爬到点 处吃食，要爬行的最短路程是
A. B. C. D.
8. 如图，有一个绳索拉直的木马秋千，绳索 的长度为 米，若将它往水平方向向前推进 米（即 米），且绳索保持拉直的状态，则此时木马上升的高度为
A. 米 B. 米 C. 米 D. 米
9. 如图，在 中，，，，点 为 边上的中点，将 沿 对折，使点 落在同一平面内的点 处，连接 ，则 的长为
A. B. C. D.
10. 如图，在 中，，， 是边 上的点，连接 ，，先将边 沿 折叠，使点 的对称点 落在边 上；再将边 沿 折叠，使点 的对称点 落在 的延长线上．若 ，，则下列结论：① ，② ，③ ，④ ．其中正确的个数有
A. 个 B. 个 C. 个 D. 个
11. 如图，在 的方格中， 的形状是
A. 锐角三角形 B. 直角三角形 C. 钝角三角形 D. 等腰三角形
12. 如图所示，给出正方形网格中的 ，若小方格的边长为 ，则 是
A. 直角三角形 B. 锐角三角形
C. 钝角三角形 D. 以上答案都不对
二、填空题（共6小题；每小题4分，共24分）
13. 如图， 在正方形网格中，若每个小正方形的边长均为 ，则 的面积为 ．
14. 如图，点 ， 分别在 的边 ， 上，将 沿直线 翻折，设点 落在点 处，如果当 ， 时，点 ， 的距离为 ，那么折痕 的长为 ．
15. 如图所示，圆柱形玻璃杯高为 ，底面周长为 ，在杯内壁离杯底 的点 处有一滴蜂蜜，此时一只蚂蚁正好在杯外壁，离杯上沿 与蜂蜜相对的点 处，则蚂蚁从外壁 处到内壁 处的最短距离为 ．（杯璧厚度不计）
16. 如图，在 中，已知 ，，垂足为 ，．若 是 的中点，则 ．
17. 如图是高空秋千的示意图，小明从起始位置点 处绕着点 经过最低点 ，最终荡到最高点 处，若 ，点 与点 的高度差 米，水平距离 米，则点 与点 的高度差 为 米．
18. 如图，在 中，，， 边上的中线 ，则 的面积是 ．
三、解答题（共7小题；共60分）
19.（8分） 如图，在长方形 中，，在 上存在一点 ，沿直线 把 折叠，使点 恰好落在 边上，设此点为 ，若 的面积为 ，求折叠 的面积．
20. （8分）如图，在长方形 中，，， 为边 上的一点，，动点 从点 出发，以每秒 个单位长度的速度沿着边 向终点 运动，连接 ，，设点 运动的时间为 秒．
（1）求 的长；
（2）若 为直角三角形，求 的值；
（3）若点 在 的垂直平分线上，求 的长．
21. （8分）如图，有一个长方体纸盒，若长方体纸盒的长为 ，宽为 ，高为 ，求 点到 点的表面最短距离（结果精确到 ．参考数据：，，）．
22. （10分）某中学在校园一角开辟了一块四边形的试验田，把课堂的“死教材”转换为生动的“活景观”，学生们在课堂上学习理论之余，还可以到“试验田”实际操练，对生物的发展规律有了更为直观的认识．如图，四边形 是规划好的试验田，经过测量得知，，，，，．
（1）判断 是不是直角，并说明理由；
（2）求试验田 的面积．
23.（8分） 如图，某沿海开放城市 接到台风警报，在该市正南方向 的 处有一台风中心，沿 方向以 的速度向 移动，已知城市 到 的距离 ，那么台风中心经过多长时间从 点移到 点 如果在距台风中心 的圆形区域内都会受到台风的影响，正在 点休息的游人在接到台风警报后的几小时内撤离才可脱离危险
24. （8分）如图，一张直角三角形纸片，其中 ，，，现将三角形沿 对折，直角边 落在 上，点 落在点 处，求 的面积．
25. （10分）我们新定义一种三角形：两边平方和等于第三边平方的 倍的三角形叫常态三角形．例如：一个三角形的三边长分别是 ， 和 ，因为 ，所以这个三角形是常态三角形．
（1）若 的三边长分别是 ， 和 ，则此三角形 常态三角形（填“是”或“不是”）；
（2）若 是常态三角形，则此三角形的三边长之比为 （从小到大排列）；
（3）如图，在 中，，，，若 是常态三角形，求 的面积．
答案
第一部分
1. C
2. D
【解析】 在 中，若 ，
，
，
故选：D．
3. B
【解析】如图为正方体的部分展开图，连接 ，过 作 于 ，
则 ，，，
，
故从点 爬到点 的最短路径长是 ．
4. B
【解析】，
，
中 边上的高 ．
5. A
【解析】过点 作 于点 ，过点 作 于点 ，过点 作 延长线于 ，
，
又 ，
，
，
又 ，
，
，
又 ，
，
为直角三角形，
，
6. B
【解析】在 中，，．
根据勾股定理，得 ，
所以 ．
同理可得 ，
所以 ，
故拉长后橡皮筋的长度为 ．
7. C 【解析】如图为圆柱的侧面展开图，
为 的中点，则 就是蚂蚁爬行的最短路径．
，
．
，
，
即蚂蚁要爬行的最短路程是 ．
8. A
【解析】如图，过点 作 于点 ，
根据题意，得 米， 米，
在 中，由勾股定理，得 ，
，
米，
米．
此时木马上升的高度为 米，故选A．
9. B
【解析】设 交 于 ，如图：
点 为 边上的中点，，
，
将 沿 对折，使点 落在同一平面内的点 处，
，，，
，
，，
，
，
，，
，
，
，
，
在 中，．
10. B
【解析】，，
，
，
，
，
，
由折叠可知：，，，，
，
，故②正确，
，
，
，故③正确，
，
，
，
，故①正确，
，
，故④错误．
11. B
【解析】设题图中每个小方格的边长为 ，
，，，
，
是直角三角形．
12. A
【解析】由勾股定理可求得 ，，，则 ，因此 是直角三角形．
第二部分
13.
【解析】根据勾股定理得 ，，，
，
是直角三角形，
．
14.
15.
【解析】如图所示，圆柱形玻璃杯的侧面展开图的一半为 ，作点 关于 的对称点 ，连接 ，过点 作 ，垂足为点 ，
根据题意得 ，，
所以 ，．
因为 ，
所以 ，
即从外壁 处到内壁 处的最短距离为 ．
16.
【解析】设 ，，
，
，
，
在 中，，
，
在 中，，
．
17.
【解析】如图，作 于 ， 于 ，
，，
，，
．
在 与 中，
，
米．
设 米，在 中，，即 ，
解得 ，
则 （米）．
18.
【解析】如图，延长 到点 ，使 ，连接 ，
是 边上的中线，
．
在 和 中，
，
，，
，，，
，
，
，即 为直角三角形，
的面积 ．
第三部分
19. 由折叠的对称性，得 ，．
由 ，，
得 ．
在 中，由勾股定理，得
．
所以 ．
设 ，则 ，，，
在 中，，
即 ．
解得 ．
故 ．
20. （1） 在 中，由勾股定理得 的长为 ．
（2） 当 时，，；
当 时，过点 作 于点 ，易得 ．
在 中，易得 ．
在 中， 可得 ，
的值为 或 ．
（3） 设 ， 在 的垂直平分线上，
．
过点 作 于点 ．
易得 ．
在 中，，可得 的长为 ．
21. 由题意可得， 点到 点的表面距离有以下 种情况．
①如图 ，
连接 ，此时 就是 点到 点的表面距离．
，，，
在 中，由勾股定理，得 ，
．
②如图 ，
连接 ，此时 就是 点到 点的表面距离，
，，，
在 中，由勾股定理，得 ，
．
③如图 ，
连接 ，此时 就是 点到 点的表面距离，
，，，
在 中，由勾股定理，得 ，
．
，
点到 点的表面最短距离约为 ．
22. （1） 是直角．
理由：如图，连接 ．
，，，
，
．
又 ，，，
即 ，
是直角三角形， 是直角．
（2） ，
故试验田 的面积为 .
23. 在 中，根据勾股定理，得 ，
，．
则台风中心经过 小时从 点移动到 点，
如图，
距台风中心 的圆形区域内都会受到台风的影响，
人们要在台风中心到达 点之前撤离，
，，
游人在接到台风警报后 小时内撤离才可脱离危险．
24. 因为 ，，，
所以 ，
所以 ，
由折叠的性质可得 ，
所以 ，
设 ，在 中，，
所以 ，
解得 ，
所以 ．
25. （1） 是
（2）
（3） 设 ，则 ，
若 是常态三角形，则有以下两种可能．
①当 时，，
所以 ，，
由勾股定理得 ，
则 ．
②当 时，，
所以 ，，
由勾股定理得 ，
则 ．
所以 的面积为 或 ．
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