专题2.2 平方根 课件（共46张PPT）

(共46张PPT)
八上数学同步精优课件
北师大版八年级上册
第二章 实数
2.2 平方根
精优教学课件
新课导入
讲授新课
当堂检测
课堂小结
学习目标
1、掌握并理解平方根的概念和意义；
2、掌握并理解算术平方根的概念和意义；
3、学会进行开平方的运算，并表示出结果；
4、可以求一个数的平方根或算术平方根；
导入新课
情境引入
请你说一说解决问题的思路．
　学校要举行美术作品比赛，小明想裁出一块面积为36 dm2的正方形画布，画上自己的得意之作参加比赛，这块正方形画布的边长应取多少？
若正方形的面积如下，请填表：
正方形的面积/dm2 4 9 25 36
正方形的边长/dm2 2 3
都是已知一个正数的平方，求这个正数.
讲授新课
知识点一 算术平方根的概念
请大家根据勾股定理，结合图形完成填空：
，
，
，
．
2
3
4
5
中哪些是有理数？哪些是无理数？你能表示它们吗？
例: ∵ 52=25,
∴ 5是25的算术平方根，即
(一)概念学习
定义:如果一个正数x的平方等于a,即x2=a ,
那么这个正数x就叫做a的算术平方根.
(1)记作: ，读作:根号a
(2)规定：0的算术平方根是0,
（3） 表示求a的算术平方根
一般地，如果一个正数 x 的平方等于a，即 x2＝a，那么这个正数 x 就叫做 a 的算术平方根，记作“ ”，读作“根号 a ”．
特别地，我们规定：0的算术平方根是0，即 ．
概念学习
典例精析
【例1】求下列各数的算术平方根
(1)900； (2)1； (3) ； (4)0.04； (5)14
解:(1)∵ 302=900,
∴ 900是30的算术平方根，即
(2)∵ 12=1,
∴ 1是1的算术平方根，即
(4)∵ (0.2)2=0.04,
∴ 0.04是0.2的算术平方根，即
解:(3)∵ 2=
∴ 900是30的算术平方根，即
(5) 14的算术平方根，即
练一练
1：求下各列的值
解：(1)∵ 82=64, ∴
(2)∵(0.7)2=0.49, ∴
(3)∵( )2 = , ∴
(4)∵ 132 = 169 , ∴
注意：带分数化为假分数
注意：不要等于-25
解: (1)因为 所以 的算术平方根是3;
2、求下列各数的算术平方根：
负数没有算术平方根；非负数才有算术平方根
(1)正数有一个正的算术平方根;
(2)0的算术平方根是0;
(3)负数没有算术平方根;
算术平方根的总结
知识点二 算术平方根的性质及实际应用
算术平方根的性质：
非负数
算术平方根具有双重非负性
(a≥0)
合作探究
问题1：负数有算术平方根吗？
问题2：一个非负数的算术平方根可能是负数吗？
典例精析
例2：自由下落物体下落的距离h（米）与下落时间t（秒）的关系为 ．有一铁球从19.6米高的建筑物上自由下落，到达地面需要多长时间？
解:将h＝19.6代入公式
，
得 ，
所以正数 (秒).
即铁球到达地面需要2秒.
练一练
解: 因为|m-1| ≥0， ≥0，又|m-1| + =0,
所以 |m-1| =0， =0，所以m=1,n=-3,
所以m+n=1+(-3)=-2.
1、 若|m-1| + =0,求m+n的值.
本题考查绝对值、算术平方根的非负性，记住一点：两个非负数相加得0，即可得到这两个数为0.
归纳
4.若 ，则a= ；
3.若 ，则m= ；
5.若｜a-3|+ ，则代数式 =___.
2.若|a+3|=0 ， 则a= ；
-3
7
5
-1
到目前为止，表示非负数的式子有：
a≥0, |a|≥0, a2 ≥0, ≥0,
6：
若|a-3|+
的值为 。
,则代数式
-1
|a-3|≥0
≥0
∵ |a-3|+
a-3=0, b+4=0
a=3, b=-4
知识点三 平方根的概念和性质
( )2 =
( )2 =
( )2=
( )2 =
( )2 =
9
0.64
9
( ) =
0.64
3
-3
0.8
-0.8
( )2 =
( )2 =
( )2 =
±3
±0.8
9
0.64
活动一：填一填
一般地，如果一个数x的平方等于a，即x2= a，那么这个数叫做a 的平方根（二次方根）.
记作：
读作：正负根号a .
平方根
例: ∵ （±5)2=25
∴ 5是25的算术平方根，即
± = ±5
( 2可以省略)
( )2 = 36 ( )2 =0
( )2 = -9 ( )2 =-0.64
0
不存在
不存在
一个正数有两个平方根；0只有一个平方根，它是0本身；负数没有平方根。
思考：一个正数、0有多少个平方根？负数呢？
±6
只有非负数才有平方根
（算术平方根）
一个正数a的两个平方根互为相反数
正平方根：
负平方根：
平方根 算术平方根
联 系 区 别
平方根与算术平方根的联系与区别
一个正数有两个平方根，其中正平方根就是算术平方根
包含关系
相同性
只有非负数才有平方根和算术平方根
0的平方根和算术平方根都是0.
表示方法不同
个数不同
正数有两个平方根
正数只有一个算术平方根
知识点四 开平方及相关运算
求一个数a的平方根的运算,叫做开平方,a叫做被开方数
开平方运算
平方运算
平方与开平方的关系
互为
逆运算
（±5)2=25
± = ±5
求一个数a的平方根的运算，叫做开平方，a叫做被开方数.
可以看出,平方与开平方互为逆运算,根据这种关系可以求出一个数的平方根.
平方与开平方有什么关系？
开平方的定义：
a的平方根
底数
幂
被开方数
互为
逆运算
指数
根号
平方运算
开平方运算
开平方与平方的对比填空
正数与零
任何数
幂
平方根
开方
平方
运算符号
适用范围
运算结果名称
性质
正数有 个平方根,它们是 ,
零的平方根是 , 负数 .
正数的平方是 数; 零的平方是 ; 负数的平方是 数.
正
正
0
2
0
没有平方根
互为相反数
典例精析
例3 求下列各数的平方根:
(1)64 ； (2)
(4)
(5) 11.
(3)0.0004；
解：（1）∵ ，∴64的平方根为±8;
（2）∵ ，∴ 的平方根为 ;
（3）∵ ，∴0.0004的平方根为±0.02;
（4）∵ ，∴ 的平方根为 ±25;
（5）11的平方根是 .
方法总结
运用平方运算求一个非负数的平方根是常用的方法，如被开方数是小数，要注意小数点的位置，也可先将小数化为分数，再求它的平方根，如被开方数是带分数，先要把它化为假分数.
注意:要弄清 ， ， 的意义， 不能用来表示a的平方根，如：64的平方根不要写成 .
练一练
1. 求满足下列各式的未知数x：
(1)x2 =25； (2)x2 - =0； (3) (2x-1)2 = 25.
解：(1) ∵ (±5)2 = 25， ∴ x=± =±5.
(2) ∵ x2- =0，得x2= .
∴ x = ± .
(3) (2x-1)2=25，得2x-1=± =±5.
∴ 2x-1 =5， 2x-1 =-5
∴ x=3或x=-2.
2. 已知2a-1的平方根是 ，3a-2b-1的平方根是±3, 求5a-3b的平方根.
解:∵ 2a-1的平方根是± ，3a-2b-1的平方根是±3，
∴ 2a-1=3，3a-2b-1=9.
∴ a=2.
将a=2代入3a-2b-1=9,得b=-2.
∴± = ± =±4，
∴ 5a-3b的平方根是±4.
3.已知：|x+2y|+ +(5y+z)2=0
求x-3y+4z的值.
解：由题意得：
x+2y=0，3x-6=0，5y+z=0
解得 x=2，y=-1，z=5
x-3y+4z
=2-3×(-1)+4×5
=25
当堂练习
课堂小结
（1）算术平方根的概念，式子 中的双重非负性：
一是a≥0，
二是 ≥0．
（2）算术平方根的性质：
一个正数的算术平方根是一个正数；
0的算术平方根是0；
负数没有算术平方根．
（3）求一个正数的算术平方根的运算与平方运算是互逆的运算，利用这个互逆运算关系求非负数的算术平方根．
如果 ，那么 就叫做 的平方根，记作：
当 时， 有两个平方根，即 ，
表示的正平方根 ， 表示负平方根。
a
| a |
a (a ≥ 0)
-a (a < 0)
谢谢
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