2022-2023学年人教版八年级数学上册 12.3 角的平分线的性质 课件(共17页PPT)

(共17张PPT)
12.3 角的平分线的性质
下图是一个平分角的仪器，其中AB =AD，
BC =DC，将点A 放在角的顶点，AB 和AD 沿着角的两边放下，沿AC 画一条射线AE，AE 就是∠DAB 的平分线．你能说明它的道理吗？
A
B
D
C
E
尺规作角的平分线
观察领悟作法，探索思考证明方法：
A
Ｂ
Ｏ
Ｍ
Ｎ
Ｃ
画法：
　　１．以Ｏ为圆心，适当长为半径作弧，交ＯＡ于Ｍ，交ＯＢ于Ｎ．
　　２．分别以Ｍ，Ｎ为圆心．大于 1/2 ＭＮ的长为半径作弧．两弧在∠ＡＯＢ的内部交于Ｃ．
３．作射线ＯＣ．
射线ＯＣ即为所求．
画∠AOB平分线OC，在OC上任取一点P，过P向角的两边作垂线段PD、PE，你能得出什么结论？
思考
A
O
B
P
E
D
C
角平分线有什么性质？
猜一猜
角平分线线上的点到角的两边的距离相等。
通过动手实验、观察比较，我们发现“角的平分线上的点到角的两边的距离相等”，你能通过严格的逻辑推理证明这个结论吗？
已知：∠AOC = ∠BOC，点P在OC上，
PD⊥OA，PE⊥OB，
垂足分别为D，E．
求证：PD =PE．
A
B
O
P
C
D
E
证一证
已知：∠AOC= ∠BOC ，点P在OC上，PD⊥OA于D，
PE⊥OB于E．
求证: PD=PE．
O
A
B
E
D
P
C
∵ PD⊥OA，PE⊥OB
证明：
∴ ∠PDO= ∠PEO= 90°
在△POD 和 △PEO 中
　
∴ △PDO ≌△PEO（AAS）
　
∠ PDO＝∠PEO
∠ AOC＝∠BOC
OP=OP
∴ PD＝PE
　 由角的平分线的性质的证明过程，你能概
括出证明几何命题的一般步骤吗？
（1）明确命题中的已知和求证；
（2）根据题意，画出图形，并用数学符号
表示已知和求证；
（3）经过分析，找出由已知推出求证的途
径，写出证明过程．
归纳
　　角的平分线的性质的作用是什么？
　　主要是用于判断和证明两条线段相等，与以
前的方法相比，运用此性质不需要先证两个三角
形全等．
思考
例题学习
　例 如图，△ABC的角平分线BM、CN相交于点P．
求证：点P到三边AB、BC、CA的距离相等．
证明：过点P作PD⊥AB于D，
PE⊥BC于E，PF⊥AC于F.
∴PD=PE.
同理PE=PF.
∴PD=PE=PF
即点P到三边AB、BC、CA的距离相等.
练习1　判断对错
如图，OC 平分∠AOB，点P 在OC 上，PD⊥OA，垂足为D．若PD =3，则点P 到OB 的距离为3．
A
B
O
P
C
D
练习2 如图,在△ABC中，AC⊥BC，AD平分∠BAC，DE⊥AB，AB＝7㎝，AC＝3㎝，求BE的长
　　在此题的已知条件下，
你还能得到哪些三角形全等？
那些线段相等？
例题：　如图，△ABC中，BD = CD，AD 是∠BAC 的平分线， DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分别为E，F．求证：EB =FC．
A
B
C
D
E
F
证明：∵AD是角平分线，DE⊥AB，DF⊥AC，
∴DE = DF（角平分线上的点到角两边的距离相等）.
在Rt△DEB和Rt△DFC中，
∴Rt△DEB≌Rt△DFC（HL）.
∴EB = FC.
A
B
C
D
E
F
练习3.如图，点D、B分别在∠MAN的两边上，C是∠MAN内一点，AB =AD，BC = CD，CE⊥AM于E，CF⊥AN于F. 求证：CE = CF.
证明：在△ABC和△ADC中，
∴△ABC≌△ADC(SSS).
∴ ∠ DAC =∠BAC.
∴AC平分∠MAN.
∵CE⊥AM，CF⊥AN，
∴CE = CF.
课堂小结
A
B
O
M
N
C
角平分线的性质：角的平分线上的点到角的两边的距离相等．